Spotykamy się w życiu z ułamkami znacznie wcześniej niż zaczynają się one uczyć w szkole. Jeśli pokroisz całe jabłko na pół, otrzymamy część owocu - ½. Przetnij ponownie - będzie ¼. Oto czym są ułamki. I wydaje się, że wszystko jest proste. Dla osoby dorosłej. Dla dziecka (a zaczyna studiować ten temat pod koniec szkoły podstawowej) abstrakcyjne pojęcia matematyczne są wciąż przerażająco niezrozumiałe, a nauczyciel musi w przystępny sposób wyjaśnić, co to jest ułamek właściwy, a co niewłaściwy, zwyczajny i dziesiętny, jakie operacje można z nimi wykonać, a co najważniejsze, dlaczego to wszystko jest potrzebne.
Co to są ułamki
Wprowadzenie do nowego tematu w szkole zaczyna się od zwykłych ułamków. Łatwo je rozpoznać po poziomej linii oddzielającej dwie liczby – powyżej i poniżej. Góra nazywa się licznikiem, dół nazywa się mianownikiem. Istnieje również wersja pisania małymi literami ułamków zwykłych i niewłaściwych - poprzez ukośnik, na przykład: ½, 4/9, 384/183. Ta opcja jest używana, gdy wysokość linii jest ograniczona i nie jest możliwe zastosowanie „dwukondygnacyjnej” formy wpisu. Czemu? Tak, bo tak jest wygodniej. Nieco później myupewnimy się o tym.
Oprócz zwykłych ułamków zwykłych istnieją również ułamki dziesiętne. Bardzo łatwo je rozróżnić: jeśli w jednym przypadku użyto poziomego lub ukośnika, to w drugim przecinek oddzielający ciągi liczb. Zobaczmy przykład: 2, 9; 163, 34; 1, 953. Celowo użyliśmy średnika jako separatora do oddzielenia liczb. Pierwszy z nich przeczyta tak: „dwie całe, dziewięć dziesiątych.”
Nowe koncepcje
Wróćmy do zwykłych ułamków. Występują w dwóch odmianach.
Definicja ułamka właściwego jest następująca: jest to ułamek, którego licznik jest mniejszy niż mianownik. Dlaczego to jest ważne? Zobaczymy teraz!
Masz kilka jabłek pokrojonych na połówki. W sumie - 5 części. Jak mówisz: masz jabłka „dwa i pół” lub „pięć sekund”? Oczywiście pierwsza opcja brzmi bardziej naturalnie, a rozmawiając ze znajomymi, skorzystamy z niej. Ale jeśli trzeba obliczyć, ile owoców otrzyma każdy, jeśli w firmie jest pięć osób, zapiszemy liczbę 5/2 i podzielimy ją przez 5 - z punktu widzenia matematyki będzie to jaśniejsze.
Więc dla nazywania ułamków właściwych i niewłaściwych reguła jest następująca: jeśli ułamek może mieć część całkowitą (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), to jest nieprawidłowe. Jeśli nie da się tego zrobić, jak w przypadku ½, 13/16, 9/10, to będzie dobrze.
Podstawowa właściwość ułamka
Jeśli licznik i mianownik ułamka są jednocześnie mnożone lubpodzielona przez tę samą liczbę, jej wartość się nie zmienia. Wyobraź sobie: ciasto zostało pokrojone na 4 równe części i dali ci jedną. To samo ciasto zostało pokrojone na osiem kawałków i dano ci dwa. Czy to nie to samo? W końcu ¼ i 2/8 to to samo!
Skrót
Autorzy problemów i przykładów w podręcznikach do matematyki często próbują zmylić uczniów, oferując nieporęczne ułamki, które można w rzeczywistości zmniejszyć. Oto przykład właściwego ułamka: 167/334, który wygląda na bardzo „przerażający”. Ale w rzeczywistości możemy zapisać to jako ½. Liczba 334 jest podzielna przez 167 bez reszty - po wykonaniu tej operacji otrzymujemy 2.
Liczby mieszane
Ułamek niewłaściwy może być reprezentowany jako liczba mieszana. Wtedy cała część jest przesunięta do przodu i zapisana na poziomie linii poziomej. W rzeczywistości wyrażenie ma postać sumy: 11/2=5 + ½; 13/6=2 + 1/6 i tak dalej.
Aby wyjąć całą część, musisz podzielić licznik przez mianownik. Pozostałą część dzielenia napisz powyżej, nad linią, a całą część przed wyrażeniem. W ten sposób otrzymujemy dwie części strukturalne: całe jednostki + ułamek właściwy.
Możesz również wykonać operację odwrotną - w tym celu musisz pomnożyć część całkowitą przez mianownik i dodać wynikową wartość do licznika. Nic skomplikowanego.
Mnożenie i dzielenie
Co dziwne, mnożenie ułamków jest łatwiejsze niż ich dodawanie. Wystarczy wydłużyć linię poziomą: (2/3)(3/5)=23 / 35=2/5.
Podział to też wszystkoproste: musisz pomnożyć ułamki na krzyż: (7/8) / (14/15)=715 / 814=15/16.
Dodawanie ułamków
Co zrobić, jeśli musisz dodać lub odjąć ułamki, a mają one różne liczby w mianowniku? Nie będzie działać tak samo, jak przy mnożeniu - tutaj należy rozumieć definicję właściwego ułamka i jego istotę. Konieczne jest sprowadzenie wyrazów do wspólnego mianownika, to znaczy, że dolna część obu ułamków powinna mieć te same liczby.
Aby to zrobić, powinieneś użyć podstawowej właściwości ułamka: pomnóż obie części przez tę samą liczbę. Na przykład 2/5 + 1/10=(22)/(52) + 1/10=5/10=½.
Jak wybrać mianownik, do którego mają zostać wprowadzone warunki? Musi to być najmniejsza wielokrotność obu mianowników: dla 1/3 i 1/9 będzie to 9; dla ½ i 1/7 - 14, ponieważ nie ma mniejszej wartości, którą można podzielić bez reszty przez 2 i 7.
Użyj
Do czego służą ułamki niewłaściwe? W końcu o wiele wygodniej jest od razu wybrać całą część, uzyskać mieszaną liczbę - i to wszystko! Okazuje się, że jeśli trzeba pomnożyć lub podzielić dwa ułamki, bardziej opłaca się użyć niewłaściwych.
Weź następujący przykład: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Wydawać by się mogło, że w ogóle nie ma co ciąć. A co, jeśli wynik dodawania zapiszemy w pierwszych nawiasach jako ułamek niewłaściwy? Spójrz na: (37/17) / (37/68)
Teraz wszystko się układa!Zapiszmy przykład w taki sposób, aby wszystko stało się oczywiste: (3768) / (1737).
Zredukujmy 37 w liczniku i mianowniku, a na koniec podzielmy górną i dolną część przez 17. Czy pamiętasz podstawową zasadę dotyczącą ułamków prawidłowych i niewłaściwych? Możemy mnożyć i dzielić przez dowolną liczbę, o ile robimy to jednocześnie dla licznika i mianownika.
Otrzymujemy więc odpowiedź: 4. Przykład wyglądał na skomplikowany, a odpowiedź zawiera tylko jedną cyfrę. To się często zdarza w matematyce. Najważniejsze, żeby się nie bać i przestrzegać prostych zasad.
Częste błędy
Podczas wykonywania czynności z ułamkami, uczeń może łatwo popełnić jeden z najpopularniejszych błędów. Zwykle pojawiają się z powodu nieuwagi, a czasem z powodu tego, że badany materiał nie został jeszcze prawidłowo zdeponowany w głowie.
Często suma liczb w liczniku powoduje chęć zmniejszenia jego poszczególnych składowych. Załóżmy, że w przykładzie: (13 + 2) / 13, napisane bez nawiasów (linia pozioma), wielu uczniów z powodu braku doświadczenia skreśla 13 z góry i z dołu. Ale w żadnym wypadku nie powinno się tego robić, ponieważ jest to poważny błąd! Gdyby zamiast dodawania był znak mnożenia, w odpowiedzi otrzymalibyśmy liczbę 2. Ale podczas dodawania nie są dozwolone żadne operacje z jednym z wyrazów, tylko z całą sumą.
Ponadto faceci często popełniają błędy podczas dzielenia ułamków. Weźmy dwie regularne nieredukowalne ułamki i podzielmy przez siebie: (5/6) / (25/33). Uczeń potrafi pomylić i zapisać wynikowe wyrażenie jako (525) / (633). Ale to byokazało się podczas mnożenia, ale w naszym przypadku wszystko będzie trochę inne: (533) / (625). Ograniczamy to, co jest możliwe, aw odpowiedzi zobaczymy 11/10. Wynikowy ułamek niewłaściwy zapisujemy jako ułamek dziesiętny - 1, 1.
Nawiasy
Pamiętaj, że w każdym wyrażeniu matematycznym kolejność operacji jest określona przez pierwszeństwo znaków operacji i obecność nawiasów. Jeśli inne rzeczy są równe, kolejność działań jest liczona od lewej do prawej. Dotyczy to również ułamków - wyrażenie w liczniku lub mianowniku jest obliczane ściśle według tej zasady.
Po tym wszystkim, czym jest właściwy ułamek? Jest to wynik dzielenia jednej liczby przez drugą. Jeśli nie dzielą się równo, to jest to ułamek i tyle.
Jak zapisać ułamek na komputerze
Ponieważ standardowe narzędzia nie zawsze pozwalają na stworzenie frakcji składającej się z dwóch „poziomów”, uczniowie czasami sięgają po różne sztuczki. Na przykład kopiują liczniki i mianowniki do edytora Paint i sklejają je ze sobą, rysując między nimi poziomą linię. Oczywiście istnieje prostsza opcja, która, nawiasem mówiąc, zapewnia również wiele dodatkowych funkcji, które przydadzą Ci się w przyszłości.
Otwórz Microsoft Word. Jeden z paneli u góry ekranu nazywa się „Wstaw” – kliknij go. Po prawej stronie, po stronie, na której znajdują się ikony zamykania i minimalizowania okna, znajduje się przycisk Formuła. Dokładnie tego potrzebujemy!
Jeśli użyjesz tej funkcji, na ekranie pojawi się prostokątny obszar, w którym możesz użyć dowolnego matematycznegoznaki, których nie ma na klawiaturze, a także pisać ułamki w klasycznej formie. Oznacza to oddzielenie licznika i mianownika poziomym paskiem. Możesz nawet zdziwić się, że tak łatwo jest napisać tak właściwy ułamek.
Ucz się matematyki
Jeżeli jesteś w klasach 5-6, to już wkrótce znajomość matematyki (w tym umiejętność pracy z ułamkami!) będzie wymagana z wielu przedmiotów szkolnych. W prawie każdym problemie fizyki, przy pomiarze masy substancji w chemii, w geometrii i trygonometrii, nie można zrezygnować z ułamków. Wkrótce nauczysz się obliczać wszystko w swoim umyśle, nawet bez pisania wyrażeń na papierze, ale będą pojawiać się coraz bardziej złożone przykłady. Dlatego dowiedz się, czym jest właściwy ułamek i jak z nim pracować, nadążaj za programem nauczania, odrabiaj zadania domowe na czas, a wtedy odniesiesz sukces.
