Ułamki są wspólne i dziesiętne. Kiedy uczeń dowiaduje się o istnieniu tego ostatniego, zaczyna konwertować wszystko, co możliwe, na postać dziesiętną przy każdej okazji, nawet jeśli nie jest to wymagane.
Co dziwne, uczniowie szkół średnich i studenci mają różne preferencje, ponieważ na zwykłych ułamkach łatwiej jest wykonać wiele operacji arytmetycznych. A wartości, z którymi mają do czynienia absolwenci, mogą czasami być po prostu niemożliwe do przeliczenia na postać dziesiętną bez strat. W rezultacie oba rodzaje frakcji są w taki czy inny sposób dostosowane do przypadku i mają swoje wady i zalety. Zobaczmy, jak z nimi pracować.
Definicja
Ułamki to te same ułamki. Jeśli w pomarańczy jest dziesięć plasterków, a dostałeś jeden, masz w dłoni 1/10 owocu. Przy takim zapisie, jak w poprzednim zdaniu, ułamek będzie nazywany ułamkiem zwykłym. Jeśli napiszesz to samo co 0, 1 jest dziesiętne. Obie opcje są równe, ale mają swoje zalety. Pierwsza opcja jest wygodniejsza przy mnożeniu idzielenie, drugi - do dodawania, odejmowania oraz w wielu innych przypadkach.
Jak przekonwertować ułamek na inny formularz
Załóżmy, że masz wspólny ułamek zwykły i chcesz go przekonwertować na ułamek dziesiętny. Co należy w tym celu zrobić?
Nawiasem mówiąc, musisz z góry zdecydować, że nie można bez problemu zapisać żadnej liczby w postaci dziesiętnej. Czasem trzeba zaokrąglić wynik, tracąc pewną liczbę miejsc po przecinku, a w wielu dziedzinach – na przykład w naukach ścisłych – jest to luksus całkowicie nieopłacalny. Jednocześnie działania z ułamkami dziesiętnymi i zwykłymi w piątej klasie umożliwiają takie przejście z jednej formy do drugiej bez zakłóceń, przynajmniej jako praktyka.
Jeśli możesz uzyskać wielokrotność 10 z mianownika, mnożąc lub dzieląc przez liczbę całkowitą, transfer przejdzie bez żadnych trudności: ¾ stanie się 0,75, 13/20 stanie się 0,65.
Procedura odwrotna jest jeszcze łatwiejsza, ponieważ z ułamka dziesiętnego zawsze można uzyskać zwykły ułamek bez utraty dokładności. Na przykład 0,2 staje się 1/5, a 0,08 staje się 4/25.
Przekształcenia wewnętrzne
Przed wykonaniem wspólnych działań ze zwykłymi ułamkami, musisz przygotować liczby do możliwych operacji matematycznych.
Przede wszystkim musisz sprowadzić wszystkie ułamki z przykładu do jednej wspólnej formy. Muszą być zwykłe lub dziesiętne. Zróbmy od razu rezerwację, że wygodniej jest wykonać mnożenie i dzielenie z pierwszymi.
W przygotowaniu liczb do dalszych działań pomoże Ci reguła znana jako podstawowa własność ułamka i stosowana zarówno we wczesnych latach studiowania przedmiotu, jak i w matematyce wyższej, którą studiuje się na uniwersytetach.
Właściwości ułamków
Załóżmy, że masz jakąś wartość. Powiedzmy, że 2/3. Co się stanie, jeśli pomnożysz licznik i mianownik przez 3? Zdobądź 6/9. A jeśli to milion? 2000000/3000000. Ale poczekaj, bo liczba wcale się nie zmienia jakościowo - 2/3 pozostaje równe 2000000/3000000. Zmienia się tylko forma, nie treść. To samo dzieje się, gdy obie części są podzielone tą samą wartością. Jest to główna właściwość ułamka, która będzie wielokrotnie pomagać w wykonywaniu działań z ułamkami dziesiętnymi i zwykłymi w testach i egzaminach.
Mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę nazywamy rozwinięciem ułamka, a dzielenie nazywamy redukcją. Muszę powiedzieć, że przekreślanie tych samych liczb na górze i na dole podczas mnożenia i dzielenia ułamków jest zaskakująco przyjemną procedurą (oczywiście w ramach lekcji matematyki). Wydaje się, że odpowiedź jest bliska, a przykład prawie rozwiązany.
Ułamki nieregularne
Ułamek niewłaściwy to taki, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi. Innymi słowy, jeśli można odróżnić od niej całą część, podlega ona tej definicji.
Jeśli taka liczba (większa lub równa jeden) jest reprezentowana jako zwykły ułamek, zostanie nazwanazło. A jeśli licznik jest mniejszy niż mianownik - popraw. Oba typy są równie wygodne w realizacji możliwych działań ze zwykłymi ułamkami. Można je dowolnie mnożyć i dzielić, dodawać i odejmować.
Jeżeli część całkowita zostanie wybrana w tym samym czasie, a reszta w postaci ułamka, wynikowa liczba będzie nazywana mieszaną. W przyszłości natkniesz się na różne sposoby łączenia takich struktur ze zmiennymi, a także rozwiązywania równań, w których ta wiedza jest wymagana.
Operacje arytmetyczne
Jeśli wszystko jest jasne z podstawową własnością ułamka, to jak się zachować podczas mnożenia ułamków? Czynności ze zwykłymi ułamkami w 5 klasie obejmują wszelkiego rodzaju operacje arytmetyczne, które są wykonywane na dwa różne sposoby.
Mnożenie i dzielenie są bardzo łatwe. W pierwszym przypadku liczniki i mianowniki dwóch ułamków są po prostu mnożone. W drugim - to samo, tylko w poprzek. W ten sposób licznik pierwszego ułamka mnoży się przez mianownik drugiego i odwrotnie.
Aby wykonać dodawanie i odejmowanie, musisz wykonać dodatkową akcję - sprowadzić wszystkie składniki wyrażenia do wspólnego mianownika. Oznacza to, że dolne części ułamków muszą zostać zmienione na tę samą wartość - wielokrotność obu dostępnych mianowników. Na przykład dla 2 i 5 będzie to 10. Dla 3 i 6 - 6. Ale co zrobić z blatem? Nie możemy tego zostawić tak, jak było, gdybyśmy zmienili dolny. Zgodnie z podstawową własnością ułamka mnożymy licznik przez tę samą liczbę,który jest mianownikiem. Tę operację należy wykonać na każdej z liczb, które będziemy dodawać lub odejmować. Jednak takie działania ze zwykłymi ułamkami w szóstej klasie są już wykonywane „na maszynie”, a trudności pojawiają się dopiero na początkowym etapie studiowania tematu.
Porównanie
Jeśli dwa ułamki mają ten sam mianownik, to ten z większym licznikiem będzie większy. Jeśli górne części są takie same, to ta z mniejszym mianownikiem będzie większa. Należy pamiętać, że takie udane sytuacje dla porównania zdarzają się rzadko. Najprawdopodobniej zarówno górna, jak i dolna część wyrażeń nie będą pasować. Następnie musisz pamiętać o możliwych akcjach ze zwykłymi ułamkami i zastosować technikę dodawania i odejmowania. Pamiętaj też, że jeśli mówimy o liczbach ujemnych, to większy ułamek będzie mniejszy.
Zalety wspólnych ułamków
Zdarza się, że nauczyciele podają dzieciom jedno zdanie, którego treść można wyrazić w następujący sposób: im więcej informacji zostanie podanych podczas formułowania zadania, tym łatwiejsze będzie rozwiązanie. Czy to brzmi dziwnie? Ale tak naprawdę: przy dużej liczbie znanych wartości możesz użyć prawie każdej formuły, ale jeśli podano tylko kilka liczb, mogą być wymagane dodatkowe refleksje, będziesz musiał zapamiętać i udowodnić twierdzenia, podać argumenty na swoją korzyść w prawo…
Po co to robimy? A poza tym zwykłe frakcje, mimo całej swojej uciążliwości, mogą znacznie uprościć życie.uczniowi, pozwalając podczas mnożenia i dzielenia zmniejszać całe wiersze wartości, a podczas obliczania sumy i różnicy usuwać wspólne argumenty i ponownie je zmniejszać.
Gdy konieczne jest wykonanie wspólnych działań z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi, przekształcenia są przeprowadzane na korzyść pierwszego: jak przekonwertować 3/17 na postać dziesiętną? Tylko z utratą informacji, nie inaczej. Ale 0, 1 można przedstawić jako 1/10, a następnie jako 17/170. A następnie dwie wynikowe liczby można dodać lub odjąć: 30/170 + 17/170=47/170.
Korzyści z ułamków dziesiętnych
Jeżeli operacje na zwykłych ułamkach są wygodniejsze, to pisanie wszystkiego za ich pomocą jest wyjątkowo niewygodne, ułamki dziesiętne mają tutaj znaczną przewagę. Porównaj: 1748/1000 i 0,1748. To ta sama wartość prezentowana w dwóch różnych wersjach. Oczywiście drugi sposób jest łatwiejszy!
Ponadto, ułamki dziesiętne są łatwiejsze do przedstawienia, ponieważ wszystkie dane mają wspólną podstawę, która różni się tylko o rzędy wielkości. Powiedzmy, że z łatwością rozpoznamy 30% rabatu, a nawet ocenimy go jako znaczny. Czy od razu zrozumiesz, które jest więcej - 30% czy 137/379? W ten sposób ułamki dziesiętne zapewniają standaryzację obliczeń.
W szkole średniej uczniowie rozwiązują równania kwadratowe. Wykonywanie tutaj czynności ze zwykłymi ułamkami jest już niezwykle problematyczne, ponieważ formuła obliczania wartości zmiennej zawiera pierwiastek kwadratowy z sumy. W obecności ułamka, którego nie da się zredukować do ułamka dziesiętnego, rozwiązanie staje się tak skomplikowane, żeprawie niemożliwe staje się obliczenie dokładnej odpowiedzi bez kalkulatora.
Więc każdy sposób przedstawiania ułamków ma swoje zalety w odpowiednim kontekście.
Formularze zgłoszeniowe
Istnieją dwa sposoby zapisywania akcji ze zwykłymi ułamkami: przez poziomą linię, na dwa „poziomy” i przez ukośnik (aka „ukośnik”) - w linię. Kiedy uczeń pisze w zeszycie, pierwsza opcja jest zwykle wygodniejsza, a zatem bardziej powszechna. Rozkład liczby liczb na komórki przyczynia się do rozwoju uwagi w obliczeniach i przekształceniach. Pisząc do ciągu, możesz nieumyślnie pomieszać kolejność działań, stracić jakiekolwiek dane - czyli popełnić błąd.
Dość często w naszych czasach istnieje potrzeba drukowania liczb na komputerze. Możesz oddzielać ułamki za pomocą tradycyjnego poziomego paska za pomocą funkcji w programie Microsoft Word 2010 i nowszych. Faktem jest, że w tych wersjach oprogramowania istnieje opcja o nazwie „formuła”. Wyświetla prostokątne, przekształcalne pole, w którym można łączyć dowolne symbole matematyczne, tworzyć zarówno dwu-, jak i „czteropiętrowe” ułamki. W mianowniku i liczniku można używać nawiasów, znaków operacji. Dzięki temu będziesz mógł zapisywać dowolne wspólne działania z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi w formie tradycyjnej, czyli tak, jak uczono ich w szkole.
Jeśli używasz standardowego edytora tekstu w Notatniku, to wszystkowyrażenia ułamkowe będą musiały zostać zapisane przez ukośnik. Niestety nie ma tu innej drogi.
Wniosek
Przyjrzeliśmy się więc wszystkim podstawowym czynnościom ze zwykłymi ułamkami, których, jak się okazuje, nie jest tak wiele.
Jeśli na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to trudna sekcja matematyki, to jest to tylko chwilowe wrażenie - pamiętaj, kiedyś myślałeś tak o tabliczce mnożenia, a jeszcze wcześniej - o zwykłych zeszytach i liczeniu od jeden do dziesięciu.
Ważne jest, aby zrozumieć, że ułamki są używane wszędzie w życiu codziennym. Zajmiesz się obliczeniami finansowymi i inżynierskimi, informatyką i umiejętnościami muzycznymi i wszędzie - wszędzie! - pojawią się liczby ułamkowe. Dlatego nie bądź leniwy i dokładnie przestudiuj ten temat - zwłaszcza, że nie jest to takie trudne.
