Sekcja fizyki zajmująca się badaniem cech ruchu mediów ciekłych nazywa się hydrodynamiką. Jednym z głównych matematycznych wyrażeń hydrodynamiki jest równanie Bernoulliego dla płynu idealnego. Artykuł poświęcony jest temu tematowi.
Jaki jest idealny płyn?
Wiele osób wie, że płynna substancja jest takim skupionym stanem materii, który zachowuje objętość w stałych warunkach zewnętrznych, ale zmienia swój kształt przy najmniejszym wpływie na nią. Idealny płyn to płynna substancja, która nie ma lepkości i jest nieściśliwa. Są to dwie główne właściwości, które odróżniają go od rzeczywistych płynów.
Zauważ, że prawie wszystkie prawdziwe ciecze można uznać za nieściśliwe, ponieważ niewielka zmiana ich objętości wymaga ogromnego ciśnienia zewnętrznego. Na przykład, jeśli wytworzysz ciśnienie 5 atmosfer (500 kPa), woda zwiększy swoją gęstość tylko o 0,024%. Jeśli chodzi o kwestię lepkości, w przypadku wielu praktycznych problemów, gdy woda jest uważana za płyn roboczy, można ją pominąć. W trosce o kompletność zauważamy, żelepkość dynamiczna wody w temperaturze 20 oC wynosi 0,001 Pas2, co jest skromną wartością w porównaniu z wartością miodu (>2000).
Ważne jest, aby nie mylić pojęć płynu idealnego i gazu doskonałego, ponieważ ten drugi jest łatwo ściśliwy.
Równanie ciągłości
W hydrodynamice ruch płynu idealnego zaczyna się rozważać na podstawie badania równania ciągłości jego przepływu. Aby zrozumieć istotę problemu, należy wziąć pod uwagę ruch płynu przez rurę. Wyobraź sobie, że na wlocie rura ma powierzchnię przekroju A1, a na wylocie A2.
Załóżmy teraz, że ciecz przepływa na początku rury z prędkością v1, co oznacza, że w czasie t przez odcinek A1objętość przepływu V1=A1v1t. Ponieważ ciecz jest idealna, to znaczy nieściśliwa, dokładnie taka sama objętość wody musi wyjść z końca rury w czasie t, otrzymujemy: V2=A2 v2t. Z równości objętości V1 i V2 wynika równanie ciągłości przepływu płynu idealnego:
A1v1=A2v2.
Z otrzymanego równania wynika, że jeśli A1>A2, to v1 powinna być mniejsza niż v2. Innymi słowy, zmniejszając przekrój rury, zwiększamy w ten sposób prędkość wypływającego z niej płynu. Oczywiście efekt ten zaobserwowała każda osoba w swoim życiu, która choć raz podlewała rabaty kwiatowe wężem lubogród, więc zakrywając palcem otwór węża, możesz obserwować, jak bijący z niego strumień wody staje się silniejszy.
Równanie ciągłości dla rozgałęzionej rury
Interesujące jest rozważenie przypadku ruchu idealnego płynu przez rurę, która nie ma jednego, ale dwa lub więcej wyjść, to znaczy jest rozgałęziona. Na przykład pole przekroju rury na wlocie wynosi A1, a w kierunku wylotu rozgałęzia się na dwie rury o odcinkach A2i A3. Określmy natężenia przepływu v2 i v3, jeśli wiadomo, że woda wpływa do wlotu z prędkością v 1.
Używając równania ciągłości otrzymujemy wyrażenie: A1v1=A2 v 2 + A3v3. Aby rozwiązać to równanie dla nieznanych prędkości, musisz zrozumieć, że na wylocie, w dowolnej rurze przepływ, porusza się z tą samą prędkością, czyli v2=v3. Ten fakt można zrozumieć intuicyjnie. Jeśli rura wylotowa jest podzielona na dwie części jakąś przegrodą, natężenie przepływu nie ulegnie zmianie. Biorąc pod uwagę ten fakt, otrzymujemy rozwiązanie: v2=v3 =A1v1/(A2 + A3).
Równanie Bernoulliego dla płynu idealnego
Daniil Bernoulli, szwajcarski fizyk i matematyk holenderskiego pochodzenia, w swojej pracy „Hydrodynamika” (1734) przedstawił równanie idealnego płynu opisującego jego ruch. Jest napisany w następującej formie:
P+ ρv2/2 + ρgh=const.
To wyrażenie odzwierciedla prawo zachowania energii w przypadku przepływu płynu. Zatem pierwszy składnik (P) to ciśnienie skierowane wzdłuż wektora przemieszczenia płynu, który opisuje pracę przepływu, drugi składnik (ρv2/2) to kinetyczny energia substancji płynnej, a trzeci termin (ρgh) to jej energia potencjalna.
Przypomnij sobie, że to równanie jest poprawne dla płynu idealnego. W rzeczywistości zawsze występuje tarcie płynnej substancji o ścianki rury i wewnątrz jej objętości, dlatego do powyższego równania Bernoulliego wprowadza się dodatkowy wyraz opisujący te straty energii.
Korzystanie z równania Bernoulliego
Ciekawe jest przytoczenie niektórych wynalazków, które wykorzystują dedukcje z równania Bernoulliego:
- Komin i okapy. Z równania wynika, że im większa prędkość ruchu substancji płynnej, tym mniejsze jej ciśnienie. Prędkość ruchu powietrza w górnej części komina jest większa niż u jego podstawy, więc przepływ dymu zawsze ma tendencję do góry ze względu na różnicę ciśnień.
- Wodociągi. Równanie pomaga zrozumieć, jak zmieni się ciśnienie wody w rurze, jeśli zmieni się jej średnica.
- Samoloty i Formuła 1. Kąt skrzydeł samolotu i skrzydła F1 zapewnia różnicę w ciśnieniu powietrza nad i pod skrzydłem, co powoduje odpowiednio siłę podnoszenia i opuszczania.
Tryby przepływu płynu
Równanie Bernoulliego nie jestuwzględnia tryb ruchu płynów, który może być dwojakiego rodzaju: laminarny i turbulentny. Przepływ laminarny charakteryzuje się przepływem spokojnym, w którym warstwy płynu poruszają się po stosunkowo gładkich trajektoriach i nie mieszają się ze sobą. Tryb turbulentny ruchu płynu charakteryzuje się chaotycznym ruchem każdej cząsteczki, która tworzy przepływ. Cechą burzliwego reżimu jest obecność wirów.
Droga przepływu cieczy zależy od wielu czynników (cech systemu, na przykład obecności lub braku chropowatości na wewnętrznej powierzchni rury, lepkości substancji i szybkości jej ruch). Przejście pomiędzy rozważanymi trybami ruchu jest opisane liczbami Reynoldsa.
Uderzającym przykładem przepływu laminarnego jest powolny przepływ krwi przez gładkie naczynia krwionośne. Przykładem przepływu turbulentnego jest silne ciśnienie wody z kranu.
