Niektóre zadania matematyczne wymagają umiejętności obliczania pierwiastka kwadratowego. Problemy te obejmują rozwiązywanie równań drugiego rzędu. W tym artykule przedstawiamy skuteczną metodę obliczania pierwiastków kwadratowych i używamy jej podczas pracy ze wzorami na pierwiastki równania kwadratowego.
Co to jest pierwiastek kwadratowy?
W matematyce pojęcie to odpowiada symbolowi √. Dane historyczne podają, że zaczęto go stosować po raz pierwszy w Niemczech około pierwszej połowy XVI wieku (pierwsza niemiecka praca o algebrze autorstwa Christopha Rudolfa). Naukowcy uważają, że ten symbol jest przekształconą literą łacińską r (podstawa oznacza „korzeń” po łacinie).
Pierwiastek dowolnej liczby jest równy takiej wartości, której kwadrat odpowiada wyrażeniu pierwiastka. W języku matematyki ta definicja będzie wyglądać tak: √x=y jeśli y2=x.
Rdzeń liczby dodatniej (x > 0) również jestliczba dodatnia (y > 0), ale jeśli pierwiastek pochodzi z liczby ujemnej (x < 0), to jej wynikiem będzie już liczba zespolona, zawierająca jednostkę urojoną i.
Oto dwa proste przykłady:
√9=3, ponieważ 32 =9; √(-9)=3i, ponieważ i2=-1.
Iteracyjny wzór Herona do znajdowania pierwiastków kwadratowych
Powyższe przykłady są bardzo proste, a obliczenie w nich korzeni nie jest trudne. Trudności zaczynają się pojawiać już przy znajdowaniu wartości pierwiastkowych dla dowolnej wartości, której nie można przedstawić jako kwadrat liczby naturalnej, na przykład 10, √11, 12, √13, nie mówiąc już o tym, że w praktyce konieczne jest znalezienie pierwiastków dla liczb niecałkowitych: na przykład √(12, 15), √(8, 5) i tak dalej.
We wszystkich powyższych przypadkach należy użyć specjalnej metody obliczania pierwiastka kwadratowego. Obecnie znanych jest kilka takich metod: na przykład rozwinięcie w szereg Taylora, dzielenie przez kolumnę i kilka innych. Ze wszystkich znanych metod, być może najprostszą i najskuteczniejszą jest zastosowanie wzoru iteracyjnego Herona, znanego również jako babilońska metoda wyznaczania pierwiastków kwadratowych (istnieją dowody na to, że starożytni Babilończycy używali go w swoich praktycznych obliczeniach).
Niech będzie konieczne określenie wartości √x. Wzór na znalezienie pierwiastka kwadratowego jest następujący:
an+1=1/2(a+x/a), gdzie limn->∞(a)=> x.
Odszyfruj ten zapis matematyczny. Aby obliczyć √x, powinieneś wziąć pewną liczbę a0 (może to być dowolna, ale aby uzyskać szybki wynik, powinieneś wybrać ją tak, że (a0) 2 był jak najbliżej x, a następnie zastąp go określoną formułą pierwiastka kwadratowego i uzyskaj nową liczbę a1, która już będzie być bliżej żądanej wartości. Konieczne jest zastąpienie a1 w wyrażeniu i uzyskanie a2 Tę procedurę należy powtarzać aż do uzyskania wymaganej dokładności.
Przykład zastosowania wzoru iteracyjnego Herona
Opisany powyżej algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego z danej liczby może dla wielu wydawać się dość skomplikowany i mylący, ale w rzeczywistości wszystko okazuje się znacznie prostsze, ponieważ ten wzór bardzo szybko się zbiega (zwłaszcza jeśli szczęśliwa liczba jest wybrany a0).
Weźmy prosty przykład: musimy obliczyć √11. Wybieramy a0=3, ponieważ 32=9, co jest bliższe 11 niż 42=16. Podstawiając do wzoru, otrzymujemy:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Kontynuowanie obliczeń nie ma sensu, ponieważ uzyskaliśmy, że a2 i a3 zaczynają się różnić tylko w piątym miejscu po przecinku miejsce. Wystarczyło więc zastosować tylko 2 razy formułę dooblicz √11 z dokładnością do 0,0001.
Obecnie kalkulatory i komputery są powszechnie używane do obliczania pierwiastków, jednak warto zapamiętać zaznaczony wzór, aby móc ręcznie obliczyć ich dokładną wartość.
Równania drugiego rzędu
Zrozumienie, czym jest pierwiastek kwadratowy i umiejętność jego obliczania, jest wykorzystywane podczas rozwiązywania równań kwadratowych. Równania te są równościami z jedną niewiadomą, których ogólna postać jest pokazana na poniższym rysunku.
Tu c, b i a to pewne liczby, a a nie może być równe zeru, a wartości c i b mogą być całkowicie dowolne, w tym zero.
Wszelkie wartości x, które spełniają równość wskazaną na rysunku, są nazywane pierwiastkami (tego pojęcia nie należy mylić z pierwiastkiem kwadratowym √). Ponieważ rozważane równanie jest drugiego rzędu (x2), to nie może być więcej niż dwie liczby dla jego pierwiastków. Zobaczmy, jak znaleźć te korzenie w dalszej części artykułu.
Znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego (wzór)
Ta metoda rozwiązywania rozważanego typu równości jest również nazywana uniwersalną lub metodą dyskryminacyjną. Można go zastosować do dowolnych równań kwadratowych. Wzór na dyskryminację i pierwiastki równania kwadratowego jest następujący:
Pokazuje, że pierwiastki zależą od wartości każdego z trzech współczynników równania. Ponadto obliczeniax1 różni się od obliczenia x2 tylko znakiem przed pierwiastkiem kwadratowym. Wyrażenie radykalne, które jest równe b2 - 4ac, jest niczym innym jak wyróżnikiem rozważanej równości. Wyróżnik we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego odgrywa ważną rolę, ponieważ określa liczbę i rodzaj rozwiązań. Więc jeśli jest zero, to będzie tylko jedno rozwiązanie, jeśli jest dodatnie, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, w końcu dyskryminator ujemny prowadzi do dwóch pierwiastków zespolonych x1 i x 2.
Twierdzenie Viety lub niektóre własności pierwiastków równań drugiego rzędu
Pod koniec XVI wieku jeden z twórców współczesnej algebry Francois Viet, badający równania drugiego rzędu, był w stanie uzyskać właściwości jej pierwiastków. Matematycznie można je zapisać tak:
x1 + x2=-b / a i x1 x 2=c / a.
Obie równości może łatwo uzyskać każdy, do tego konieczne jest tylko wykonanie odpowiednich operacji matematycznych na pierwiastkach uzyskanych ze wzoru z wyróżnikiem.
Kombinację tych dwóch wyrażeń można słusznie nazwać drugą formułą pierwiastków równania kwadratowego, która umożliwia odgadywanie jego rozwiązań bez użycia wyróżnika. Należy tutaj zauważyć, że chociaż oba wyrażenia są zawsze poprawne, wygodnie jest używać ich do rozwiązywania równania tylko wtedy, gdy można je rozłożyć na czynniki.
Zadanie konsolidacji zdobytej wiedzy
Rozwiążmy problem matematyczny, w którym zademonstrujemy wszystkie techniki omówione w artykule. Warunki zadania są następujące: musisz znaleźć dwie liczby, dla których iloczyn to -13, a suma to 4.
Ten warunek natychmiast przypomina twierdzenie Viety, stosując wzory na sumę pierwiastków kwadratowych i ich iloczyn, piszemy:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Zakładając a=1, a następnie b=-4 i c=-13. Te współczynniki pozwalają nam napisać równanie drugiego rzędu:
x2 - 4x - 13=0.
Użyj wzoru z wyróżnikiem, otrzymamy następujące pierwiastki:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Oznacza to, że zadanie zostało zredukowane do znalezienia liczby √68. Zauważ, że 68=417, a następnie używając pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy: √68=2√17.
Teraz użyjmy wzoru na pierwiastek kwadratowy: a0=4, a następnie:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nie ma potrzeby obliczania a3, ponieważ znalezione wartości różnią się tylko o 0,02 Zatem √68=8,246. Podstawiając to do wzoru na x 1, 2, otrzymujemy:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 i x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Jak widać, suma znalezionych liczb rzeczywiście wynosi 4, ale jeśli znajdziesz ich iloczyn, będzie ona równa -12,999, który spełnia warunek problemu z dokładnością 0,001.
