Świat jest ułożony w taki sposób, że rozwiązanie dużej liczby problemów sprowadza się do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Korzenie równań są ważne dla opisu różnych wzorców. Wiedzieli o tym nawet geodeci starożytnego Babilonu. Astronomowie i inżynierowie również zostali zmuszeni do rozwiązania takich problemów. W VI wieku naszej ery indyjski naukowiec Aryabhata opracował podstawy znajdowania pierwiastków równania kwadratowego. Formuły zostały ukończone w XIX wieku.
Pojęcia ogólne
Zapraszamy do zapoznania się z podstawowymi prawidłowościami równości kwadratowych. Ogólnie rzecz biorąc, równość można zapisać w następujący sposób:
ax2 + bx + c=0, Liczba pierwiastków równania kwadratowego może być równa jeden lub dwa. Szybka analiza może być wykonana przy użyciu koncepcji dyskryminacyjnej:
D=b2 - 4ac
W zależności od obliczonej wartości otrzymujemy:
- Gdy D > 0 istnieją dwa różne pierwiastki. Ogólny wzór na określenie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco (-b± √D) / (2a).
- D=0, w tym przypadku pierwiastek jest jeden i odpowiada wartości x=-b / (2a)
- D < 0, dla ujemnej wartości dyskryminatora nie ma rozwiązania równania.
Uwaga: jeśli dyskryminator jest ujemny, równanie nie ma pierwiastków tylko w obszarze liczb rzeczywistych. Jeśli algebra zostanie rozszerzona do pojęcia pierwiastków zespolonych, to równanie ma rozwiązanie.
Podajmy łańcuch działań, który potwierdza formułę wyszukiwania pierwiastków.
Z ogólnej postaci równania wynika:
ax2 + bx=-c
Mnożymy prawą i lewą część przez 4a i dodajemy b2, otrzymujemy
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Przekształć lewą stronę w kwadrat wielomianu (2ax + b)2. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), przenosimy współczynnik b na prawą stronę, otrzymujemy:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Z tego miejsca:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Co było wymagane do pokazania.
Przypadek specjalny
W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu można uprościć. Tak więc dla parzystego współczynnika b otrzymujemy prostszy wzór.
Oznacz k=1/2b, to wzór ogólnej postaci pierwiastków równania kwadratowego przyjmuje postać:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Kiedy D=0, otrzymujemy x=-k / a
Innym szczególnym przypadkiem jest rozwiązanie równania z a=1.
Dla postaci x2 + bx + c=0 pierwiastki będą wynosić x=-k ± √(k2 - c) z dyskryminacją większą niż 0. Dla przypadku, gdy D=0, pierwiastek zostanie określony prostym wzorem: x=-k.
Użyj wykresów
Każda osoba, nawet o tym nie wiedząc, stale ma do czynienia ze zjawiskami fizycznymi, chemicznymi, biologicznymi, a nawet społecznymi, które są dobrze opisane przez funkcję kwadratową.
Uwaga: krzywa zbudowana na podstawie funkcji kwadratowej nazywana jest parabolą.
Oto kilka przykładów.
- Podczas obliczania trajektorii pocisku wykorzystywana jest właściwość ruchu wzdłuż paraboli ciała wystrzelonego pod kątem do horyzontu.
- Właściwość paraboli do równomiernego rozłożenia obciążenia jest szeroko stosowana w architekturze.
Zrozumienie znaczenia funkcji parabolicznej, zastanówmy się, jak używać wykresu do badania jego właściwości, używając pojęć „dyskryminant” i „pierwiastek równania kwadratowego”.
W zależności od wartości współczynników a i b, istnieje tylko sześć opcji położenia krzywej:
- Wyróżnik jest dodatni, a i b mają różne znaki. Gałęzie paraboli patrzą w górę, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
- Wyróżnik i współczynnik b są równe zeru, współczynnik a jest większy od zera. Wykres znajduje się w strefie dodatniej, równanie ma 1 pierwiastek.
- Wyróżnik i wszystkie współczynniki są dodatnie. Równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.
- Wyróżnik i współczynnik a są ujemne, b jest większe od zera. Gałęzie wykresu skierowane są w dół, równanie ma dwa pierwiastki.
- Wyróżniające się iwspółczynnik b jest równy zero, współczynnik a jest ujemny. Parabola patrzy w dół, równanie ma jeden pierwiastek.
- Wartości dyskryminatora i wszystkich współczynników są ujemne. Nie ma rozwiązań, wartości funkcji są całkowicie w strefie ujemnej.
Uwaga: opcja a=0 nie jest brana pod uwagę, ponieważ w tym przypadku parabola przeradza się w linię prostą.
Wszystko powyższe dobrze ilustruje poniższy rysunek.
Przykłady rozwiązywania problemów
Warunek: używając ogólnych właściwości, utwórz równanie kwadratowe, którego pierwiastki są sobie równe.
Rozwiązanie:
w zależności od stanu problemu x1 =x2 lub -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Uproszczenie notacji:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, otwórz nawiasy i podaj podobne terminy. Równanie to 2√(b2 - 4ac)=0. To stwierdzenie jest prawdziwe, gdy b2 - 4ac=0, stąd b 2=4ac, to wartość b=2√(ac) jest podstawiona do równania
ax2 + 2√(ac)x + c=0, w zredukowanej postaci otrzymujemy x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Odpowiedź:
dla a nie równego 0 i dowolnego c, istnieje tylko jedno rozwiązanie, jeśli b=2√(c / a).
Równania kwadratowe, mimo całej swojej prostoty, mają ogromne znaczenie w obliczeniach inżynierskich. Prawie każdy proces fizyczny można opisać z pewnym przybliżeniem za pomocąfunkcje potęgowe rzędu n. Równanie kwadratowe będzie pierwszym takim przybliżeniem.
