Wszyscy uczyliśmy się arytmetyki pierwiastków kwadratowych na lekcji algebry w szkole. Zdarza się, że jeśli wiedza nie jest odświeżona, to szybko się o niej zapomina, tak samo z korzeniami. Ten artykuł przyda się ósmoklasistom, którzy chcą odświeżyć swoją wiedzę w tej dziedzinie, a także innym uczniom w wieku szkolnym, ponieważ pracujemy z korzeniami w klasach 9, 10 i 11.
Historia korzenia i stopnia
Nawet w czasach starożytnych, a szczególnie w starożytnym Egipcie, ludzie potrzebowali stopni naukowych, aby wykonywać operacje na liczbach. Gdy nie było takiej koncepcji, Egipcjanie zapisali produkt o tej samej liczbie dwadzieścia razy. Wkrótce jednak wynaleziono rozwiązanie problemu - w prawym górnym rogu nad nią zaczęto pisać ile razy liczba musi być sama przez siebie pomnożona, i ta forma zapisu przetrwała do dziś.
A historia pierwiastka kwadratowego zaczęła się około 500 lat temu. Oznaczono go na różne sposoby i dopiero w XVII wieku Kartezjusz wprowadził taki znak, którym posługujemy się do dziś.
Co to jest pierwiastek kwadratowy
Zacznijmy od wyjaśnienia, czym jest pierwiastek kwadratowy. Pierwiastek kwadratowy z pewnej liczby c jest liczbą nieujemną, która po podniesieniu do kwadratu będzie równa c. W tym przypadku c jest większe lub równe zero.
Aby umieścić liczbę pod pierwiastkiem, podnosimy ją do kwadratu i umieszczamy nad nią znak pierwiastka:
32=9, 3=√9
Ponadto nie możemy uzyskać wartości pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, ponieważ dowolna liczba w kwadracie jest dodatnia, czyli:
c2 ≧ 0, jeśli √c jest liczbą ujemną, to c2 < 0 - niezgodnie z regułą.
Aby szybko obliczyć pierwiastki kwadratowe, musisz znać tabelę kwadratów liczb.
Właściwości
Rozważmy algebraiczne własności pierwiastka kwadratowego.
1) Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z produktu, musisz wyciągnąć pierwiastek z każdego czynnika. Oznacza to, że można go zapisać jako iloczyn pierwiastków czynników:
√ac=√a × √c, na przykład:
√36=√4 × √9
2) Podczas wydobywania pierwiastka z ułamka, konieczne jest wyodrębnienie pierwiastka oddzielnie od licznika i mianownika, czyli zapisanie go jako iloraz ich pierwiastków.
3) Wartość uzyskana przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby jest zawsze równa modułowi tej liczby, ponieważ moduł może być tylko dodatni:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Aby podnieść korzeń do jakiejkolwiek mocy, podnosimy do niejradykalne wyrażenie:
(√с)4=√с4, na przykład:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Kwadrat pierwiastka arytmetycznego c jest równy tej liczbie:
(√s)2=s.
Pierwiastki liczb niewymiernych
Powiedzmy, że pierwiastek z szesnastu jest łatwy, ale jak wziąć pierwiastek z liczb takich jak 7, 10, 11?
Liczba, której pierwiastek jest nieskończonym ułamkiem nieokresowym, nazywana jest irracjonalną. Nie możemy sami wydobyć z niego korzenia. Możemy to porównać tylko z innymi liczbami. Na przykład weź pierwiastek z 5 i porównaj go z √4 i √9. Oczywiste jest, że √4 < √5 < √9, potem 2 < √5 < 3. Oznacza to, że wartość pierwiastka z piątki jest gdzieś między dwoma a trzema, ale jest między nimi dużo ułamków dziesiętnych i wybranie każdego z nich jest wątpliwym sposobem na znalezienie korzenia.
Możesz wykonać tę operację na kalkulatorze - to najłatwiejszy i najszybszy sposób, ale w 8 klasie nigdy nie będziesz musiał wyciągać liczb niewymiernych z pierwiastka arytmetycznego. Wystarczy zapamiętać przybliżone wartości pierwiastka z dwóch i pierwiastka z trzech:
√2 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Przykłady
Teraz, w oparciu o właściwości pierwiastka kwadratowego, rozwiążemy kilka przykładów:
1) √172 - 82
Zapamiętaj wzór na różnicę kwadratów:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Znamy właściwość pierwiastka arytmetycznego kwadratowego - aby wyodrębnić pierwiastek z produktu, musisz wyodrębnić go z każdego czynnika:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Zastosuj inną właściwość pierwiastka - kwadrat pierwiastka arytmetycznego liczby jest równy tej liczbie:
2 × 3 + 6=12
Ważne! Często, rozpoczynając pracę i rozwiązywanie przykładów z arytmetycznymi pierwiastkami kwadratowymi, uczniowie popełniają następujący błąd:
√12 + 3=√12 + √3 - nie możesz tego zrobić!
Nie możemy zaczerpnąć korzeni z każdego terminu. Nie ma takiej reguły, ale myli się ją z zakorzenieniem każdego czynnika. Gdybyśmy mieli ten wpis:
√12 × 3, wtedy byłoby sprawiedliwie napisać √12 × 3=√12 × √3.
Więc możemy tylko napisać:
√12 + 3=√15
