W algebrze istnieje pojęcie dwóch typów równości - tożsamości i równań. Tożsamości to takie równości, które są możliwe dla dowolnych wartości zawartych w nich liter. Równania są również równościami, ale są wykonalne tylko dla określonych wartości zawartych w nich liter.
Listy są zwykle nierówne pod względem zadania. Oznacza to, że niektóre z nich mogą przyjmować dowolne dozwolone wartości, zwane współczynnikami (lub parametrami), podczas gdy inne – nazywane niewiadomymi – przyjmują wartości, które należy znaleźć w procesie rozwiązywania. Z reguły nieznane wielkości są oznaczane w równaniach literami, ostatnie w alfabecie łacińskim (x.y.z itd.) lub tymi samymi literami, ale z indeksem (x1, x 2 itd.), a znane współczynniki są podane przez pierwsze litery tego samego alfabetu.
Na podstawie liczby niewiadomych rozróżniane są równania z jedną, dwiema i kilkoma niewiadomymi. Tak więc wszystkie wartości niewiadomych, dla których rozwiązywane równanie zamienia się w tożsamość, nazywane są rozwiązaniami równań. Równanie można uznać za rozwiązane, jeśli znaleziono wszystkie jego rozwiązania lub udowodniono, że nie ma żadnego. Zadanie „rozwiąż równanie” w praktyce jest powszechne i oznacza, że musisz znaleźć pierwiastek równania.
Definicja: pierwiastki równania to te wartości niewiadomych z zakresu dopuszczalnych wartości, przy których rozwiązywane równanie staje się tożsamością.
Algorytm rozwiązywania absolutnie wszystkich równań jest taki sam, a jego celem jest zredukowanie tego wyrażenia do prostszej postaci za pomocą przekształceń matematycznych. Równania, które mają te same pierwiastki, są nazywane w algebrze równoważnymi.
Najprostszy przykład: 7x-49=0, pierwiastek równania x=7;x-7=0, podobnie pierwiastek x=7, zatem równania są równoważne. (W szczególnych przypadkach równoważne równania mogą w ogóle nie mieć pierwiastków.)
Jeżeli pierwiastek równania jest jednocześnie pierwiastkiem innego, prostszego równania otrzymanego z pierwotnego przez przekształcenia, to to drugie nazywa się konsekwencją poprzedniego równania.
Jeżeli jedno z dwóch równań jest konsekwencją drugiego, to są one uważane za równoważne. Nazywa się je również ekwiwalentami. Powyższy przykład ilustruje to.
Rozwiązywanie nawet najprostszych równań w praktyce jest często trudne. W wyniku rozwiązania można uzyskać jeden pierwiastek równania, dwa lub więcej, a nawet nieskończoną liczbę - zależy to od rodzaju równania. Są też takie, które nie mają korzeni, nazywane są nierozstrzygalnymi.
Przykłady:
1) 15x -20=10; x=2. To jest jedyny pierwiastek równania.
2) 7x - y=0. Równanie ma nieskończoną liczbę pierwiastków, ponieważ każda zmienna może mieć niezliczoną ilośćliczba wartości.
3) x2=- 16. Liczba podniesiona do drugiej potęgi zawsze daje wynik dodatni, więc nie można znaleźć pierwiastka równania. Jest to jedno z nierozwiązywalnych równań wspomnianych powyżej.
Prawidłowość rozwiązania jest sprawdzana poprzez zastąpienie znalezionych rdzeni zamiast liter i rozwiązanie otrzymanego przykładu. Jeśli tożsamość jest zachowana, rozwiązanie jest poprawne.
