Nogi i przeciwprostokątna są bokami trójkąta prostokątnego. Pierwszy to segmenty, które sąsiadują z kątem prostym, a przeciwprostokątna jest najdłuższą częścią figury i jest przeciwna do kąta 90o. Trójkąt pitagorejski to taki, którego boki są równe liczbom naturalnym; ich długości są w tym przypadku nazywane „trójką pitagorejską”.
Trójkąt egipski
Aby obecne pokolenie mogło uczyć się geometrii w takiej formie, w jakiej uczy się jej teraz w szkole, rozwija się ona od kilku stuleci. Podstawowym punktem jest twierdzenie Pitagorasa. Boki trójkąta prostokątnego (figura jest znana na całym świecie) to 3, 4, 5.
Niewiele osób nie zna wyrażenia „Pitagorejskie spodnie są równe we wszystkich kierunkach”. Jednak twierdzenie brzmi tak: c2 (kwadrat przeciwprostokątnej)=a2+b2(suma kwadratów nóg).
Wśród matematyków trójkąt o bokach 3, 4, 5 (cm, m, itd.) nazywany jest „egipskim”. Ciekawe, że promień okręgu, który jest wpisany na figurze, jest równy jeden. Nazwa powstała około V wieku pne, kiedy greccy filozofowie podróżowali do Egiptu.
Podczas budowy piramid architekci i geodeci używali proporcji 3:4:5. Takie konstrukcje okazały się proporcjonalne, miłe dla oka i przestrzenne, a także rzadko zawalane.
Aby zbudować kąt prosty, budowniczowie użyli liny, na której zawiązano 12 węzłów. W tym przypadku prawdopodobieństwo skonstruowania trójkąta prostokątnego wzrosło do 95%.
Znaki liczb równych
- Kąt ostry w trójkącie prostokątnym i dużym boku, które są równe tym samym elementom w drugim trójkącie, jest niepodważalnym znakiem równości figur. Biorąc pod uwagę sumę kątów, łatwo wykazać, że drugie kąty ostre są również równe. Zatem trójkąty są identyczne w drugiej funkcji.
- Kiedy dwie figury nałożą się na siebie, obróć je w taki sposób, aby połączone tworzyły jeden trójkąt równoramienny. Zgodnie z jego właściwością boki, a raczej przeciwprostokątne, są równe, podobnie jak kąty u podstawy, co oznacza, że liczby te są takie same.
Przy pierwszym znaku bardzo łatwo jest udowodnić, że trójkąty są naprawdę równe, najważniejsze jest to, że dwa mniejsze boki (tj. nogi) są sobie równe.
Trójkąty będą takie same w drugiej funkcji, której istotą jest równość nogi i kąt ostry.
Właściwości trójkąta o kącie prostym
Wysokość obniżona pod kątem prostym dzieli figurę na dwie równe części.
Boki trójkąta prostokątnego i jego medianę łatwo rozpoznać dzięki regule: mediana, która jest obniżona do przeciwprostokątnej, jest równa jej połowie. Pole powierzchni figury można określić zarówno wzorem Herona, jak i stwierdzeniem, że jest równa połowie iloczynu nóg.
W trójkącie prostokątnym właściwości kątów przy 30o, 45o i 60o.
- Przy kącie 30o pamiętaj, że przeciwległa noga będzie równa 1/2 największego boku.
- Jeśli kąt wynosi 45o, to drugi kąt ostry również wynosi 45o. Sugeruje to, że trójkąt jest równoramienny, a jego nogi są takie same.
- Właściwość kąta 60o polega na tym, że trzeci kąt ma miarę 30o.
Obszar można łatwo określić za pomocą jednej z trzech formuł:
- przez wysokość i stronę, na którą spada;
- zgodnie ze wzorem Herona;
- na bokach i pod kątem między nimi.
Boki trójkąta prostokątnego, a raczej nogi, zbiegają się na dwóch wysokościach. Aby znaleźć trzeci, należy wziąć pod uwagę powstały trójkąt, a następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczyć wymaganą długość. Oprócz tego wzoru istnieje również stosunek dwukrotności powierzchni i długości przeciwprostokątnej. Najczęstszym wyrażeniem wśród studentów jest pierwsze, ponieważ wymaga mniej obliczeń.
Twierdzenia zastosowane do prostokątatrójkąt
Geometria trójkąta prostokątnego obejmuje użycie twierdzeń takich jak:
- Twierdzenie Pitagorasa. Jego istota polega na tym, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg. W geometrii euklidesowej ta relacja jest kluczowa. Możesz użyć wzoru, jeśli podano trójkąt, na przykład SNH. SN jest przeciwprostokątną i należy ją znaleźć. Następnie SN2=NH2+HS2.
- Twierdzenie cosinusa. Uogólnia twierdzenie Pitagorasa: g2=f2+s2-2fscos kąta między nimi. Na przykład, mając trójkąt DOB. Odnoga DB i przeciwprostokątna DO są znane, konieczne jest znalezienie OB. Następnie formuła przyjmuje następującą postać: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos kąt D. Konsekwencje są trzy: kąt trójkąta będzie ostry, jeśli od sumy kwadratów dwóch boków odejmiemy kwadrat długości trzeciego, wynik musi być mniejszy od zera. Kąt jest rozwarty, jeśli to wyrażenie jest większe od zera. Kąt jest kątem prostym, gdy jest równy zero.
- Twierdzenie sinusa. Pokazuje stosunek boków do przeciwnych kątów. Innymi słowy, jest to stosunek długości boków do sinusów przeciwnych kątów. W trójkącie HFB, gdzie przeciwprostokątną jest HF, będzie to prawda: HF/sin kąta B=FB/sin kąta H=HB/sin kąta F.
