Jedną z podstawowych sekcji analizy matematycznej jest rachunek całkowy. Obejmuje najszersze pole obiektów, gdzie pierwszym jest całka nieoznaczona. Warto pozycjonować go jako klucz, który już w liceum ujawnia coraz więcej perspektyw i możliwości, które opisuje matematyka wyższa.
Wygląd
Na pierwszy rzut oka całka wydaje się całkowicie nowoczesna, istotna, ale w praktyce okazuje się, że pojawiła się już w 1800 r. p.n.e. Egipt jest oficjalnie uważany za ojczyznę, gdyż nie dotarły do nas wcześniejsze dowody na jego istnienie. On, z powodu braku informacji, przez cały ten czas był pozycjonowany po prostu jako fenomen. Po raz kolejny potwierdził poziom rozwoju nauki wśród ówczesnych narodów. Wreszcie odnaleziono prace starożytnych matematyków greckich z IV wieku p.n.e. Opisali metodę, w której zastosowano całkę nieoznaczoną, której istotą było znalezienie objętości lub powierzchni figury krzywoliniowej (trójwymiaroweji płaszczyzny dwuwymiarowe, odpowiednio). Zasada obliczeń polegała na podzieleniu oryginalnej figury na nieskończenie małe składowe, pod warunkiem, że znana jest ich objętość (powierzchnia). Z biegiem czasu metoda się rozrosła, Archimedes wykorzystał ją do znalezienia obszaru paraboli. Podobne obliczenia zostały przeprowadzone w tym samym czasie przez naukowców w starożytnych Chinach i były one całkowicie niezależne od swoich greckich odpowiedników w nauce.
Rozwój
Następnym przełomem w XI wieku naszej ery była praca arabskiego naukowca – „uniwersalnego” Abu Ali al-Basri, który przesunął granice tego, co już było znane, wyprowadzając formuły oparte na całce do obliczania sum wierszy i sumy potęg od pierwszego do czwartego, stosując do tego znaną nam metodę indukcji matematycznej.
Umysły współczesnych czasów podziwiają, jak starożytni Egipcjanie tworzyli niesamowite zabytki architektoniczne bez żadnych specjalnych urządzeń, może z wyjątkiem rąk, ale czy siła umysłu ówczesnych naukowców nie jest nie mniejszym cudem? W porównaniu do dzisiejszego ich życie wydaje się niemal prymitywne, ale rozwiązanie całek nieoznaczonych zostało wyprowadzone wszędzie i wykorzystane w praktyce do dalszego rozwoju.
Kolejny krok miał miejsce w XVI wieku, kiedy włoski matematyk Cavalieri opracował metodę niepodzielności, którą podjął Pierre Fermat. To właśnie te dwie osobowości położyły podwaliny pod współczesny rachunek całkowy, który jest obecnie znany. Połączyli dotychczasowe pojęcia zróżnicowania i integracjitraktowane jako jednostki autonomiczne. Matematyka tamtych czasów była na ogół rozdrobniona, cząstki wniosków istniały same, o ograniczonym zakresie. Ścieżka unifikacji i poszukiwania wspólnej płaszczyzny była wówczas jedyną prawdziwą, dzięki której współczesna analiza matematyczna zyskała możliwość rozwoju i rozwoju.
Wszystko się zmieniło w czasie, łącznie z zapisem całki. Ogólnie rzecz biorąc, naukowcy określili to za wszelką cenę, na przykład Newton użył kwadratowej ikony, w której umieścił funkcję całkowalną lub po prostu umieścił ją obok niej.
Ta niespójność trwała aż do XVII wieku, kiedy naukowiec Gottfried Leibniz, przełomowy moment dla całej teorii analizy matematycznej, wprowadził tak znajomy nam symbol. Wydłużone „S” jest rzeczywiście oparte na tej literze alfabetu łacińskiego, ponieważ oznacza sumę elementów pierwotnych. Całka otrzymała swoją nazwę dzięki Jacobowi Bernoulli 15 lat później.
Definicja formalna
Całka nieoznaczona bezpośrednio zależy od definicji funkcji pierwotnej, więc rozważmy ją najpierw.
Funkcja pierwotna to funkcja będąca odwrotnością pochodnej, w praktyce nazywana jest również funkcją pierwotną. W przeciwnym razie: funkcją pierwotną funkcji d jest funkcja D, której pochodna jest równa v V'=v. Poszukiwanie funkcji pierwotnej polega na obliczeniu całki nieoznaczonej, a sam ten proces nazywa się całkowaniem.
Przykład:
Funkcja s(y)=y3 i jej funkcja pierwotna S(y)=(y4/4).
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych rozważanej funkcji to całka nieoznaczona, oznaczana w następujący sposób: ∫v(x)dx.
Ponieważ V(x) jest tylko pewną funkcją pierwotną pierwotnej funkcji, wyrażenie ma postać: ∫v(x)dx=V(x) + C, gdzie C jest stałą. Dowolna stała to dowolna stała, ponieważ jej pochodna jest równa zero.
Właściwości
Własności całki nieoznaczonej są oparte na definicji głównej i własności pochodnych.
Przyjrzyjmy się kluczowym punktom:
- całka z pochodnej funkcji pierwotnej jest samą funkcją pierwotną plus dowolna stała С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- pochodną całki funkcji jest funkcją pierwotną (∫v(x)dx)'=v(x);
- stała jest pobierana spod znaku całki ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, gdzie k jest dowolne;
- całka wzięta z sumy jest identycznie równa sumie całek ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Z dwóch ostatnich własności możemy wywnioskować, że całka nieoznaczona jest liniowa. Dzięki temu mamy: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Aby skonsolidować, rozważ przykłady rozwiązywania całek nieoznaczonych.
Konieczne jest znalezienie całki ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Z przykładu możemy wywnioskować:nie wiesz jak rozwiązać całki nieoznaczone? Po prostu znajdź wszystkie prymitywne! Ale zasady wyszukiwania zostaną omówione poniżej.
Metody i przykłady
Aby rozwiązać całkę, możesz skorzystać z następujących metod:
- użyj przygotowanej tabeli;
- integruj według części;
- integruj poprzez zmianę zmiennej;
- wprowadzenie pod znak różnicowy.
Stoły
Najłatwiejszy i najprzyjemniejszy sposób. W chwili obecnej analiza matematyczna może pochwalić się dość obszernymi tablicami, w których zapisane są podstawowe wzory całek nieoznaczonych. Innymi słowy, istnieją szablony, które zostały opracowane przed tobą i dla ciebie pozostaje tylko ich używać. Oto lista głównych pozycji tabeli, do których można wyprowadzić prawie każdy przykład, który ma rozwiązanie:
- ∫0dy=C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy=y + C, gdzie C jest stałą;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, gdzie C jest stałą i n - liczba niejednoznaczna;
- ∫(1/r)dy=ln|y| + C, gdzie C jest stałą;
- ∫eydy=ey + C, gdzie C jest stałą;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, gdzie C jest stałą;
- ∫cosydy=siny + C, gdzie C jest stałą;
- ∫sinydy=-przytulne + C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, gdzie C jest stałą;
- ∫chydy=nieśmiały + C, gdzie C -stała;
- ∫shydy=chy + C, gdzie C jest stałą.
W razie potrzeby zrób kilka kroków, sprowadź całkę do postaci tabelarycznej i ciesz się zwycięstwem. Przykład: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Zgodnie z rozwiązaniem jest jasne, że w przykładzie tabelarycznym całka nie ma współczynnika 5. Dodajemy go, mnożąc równolegle przez 1/5, aby wyrażenie ogólne się nie zmieniło.
Integracja przez części
Rozważ dwie funkcje - z(y) i x(y). Muszą być stale różnicowalne w całej domenie definicji. Zgodnie z jedną z własności różniczkowania mamy: d(xz)=xdz + zdx. Całkując obie części równania, otrzymujemy: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Przepisując wynikową równość, otrzymujemy wzór opisujący sposób całkowania przez części: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Dlaczego jest to potrzebne? Chodzi o to, że niektóre przykłady można uprościć, mówiąc warunkowo, sprowadzić ∫zdx do ∫xdz, jeśli ta ostatnia jest zbliżona do postaci tabelarycznej. Ponadto tę formułę można stosować więcej niż jeden raz, uzyskując optymalne rezultaty.
Jak rozwiązać całki nieoznaczone w ten sposób:
trzeba obliczyć ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
trzeba obliczyć ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Podstawianie zmiennej
Ta zasada rozwiązywania całek nieoznaczonych jest nie mniej pożądana niż dwie poprzednie, chociaż jest bardziej skomplikowana. Metoda jest następująca: niech V(x) będzie całką jakiejś funkcji v(x). W przypadku, gdy sama całka w przykładzie wydaje się złożona, istnieje duże prawdopodobieństwo pomylenia i wybrania niewłaściwej ścieżki rozwiązania. Aby tego uniknąć, praktykowane jest przejście od zmiennej x do z, w którym ogólne wyrażenie jest wizualnie uproszczone przy zachowaniu zależności z od x.
Matematycznie wygląda to tak: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), gdzie x=y(z) jest podstawieniem. I oczywiście funkcja odwrotna z=y-1(x) w pełni opisuje zależność i związek zmiennych. Ważna uwaga - różniczka dx jest koniecznie zastąpiona nową różniczką dz, ponieważ zastąpienie zmiennej w całce nieoznaczonej implikuje jej zastąpienie wszędzie, a nie tylko w całce.
Przykład:
trzeba znaleźć ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Zastosuj podstawienie z=(s+1)/(s2+2s-5). Wtedy dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. W rezultacie otrzymujemy następujące wyrażenie, które bardzo łatwo obliczyć:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
musisz znaleźć całkę∫2sesdx
Aby rozwiązać, przepisujemy wyrażenie w następującej postaci:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Oznacz przez a=2e (ten krok nie zastępuje argumentu, to nadal jest s), przenosimy naszą pozornie złożoną całkę do elementarnej postaci tabelarycznej:
∫(2e)sds=∫asds=as /lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Wprowadzenie pod znak różnicowy
Ogólnie rzecz biorąc, ta metoda całek nieoznaczonych jest bratem bliźniakiem zasady zmiennej zmiany, ale istnieją różnice w procesie projektowania. Przyjrzyjmy się bliżej.
Jeżeli ∫v(x)dx=V(x) + C i y=z(x), to ∫v(y)dy=V(y) + C.
W tym przypadku nie należy zapominać o trywialnych przekształceniach całkowych, wśród których:
- dx=d(x + a), gdzie a jest dowolną stałą;
- dx=(1 / a)d(ax + b), gdzie a jest ponownie stałą, ale nie jest równe zeru;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Jeśli weźmiemy pod uwagę ogólny przypadek obliczania całki nieoznaczonej, przykłady można podsumować ogólnym wzorem w'(x)dx=dw(x).
Przykłady:
trzeba znaleźć ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Pomoc online
W niektórych przypadkach, których winą może być lenistwo lub pilna potrzeba, można skorzystać z porad internetowych, a raczej skorzystać z kalkulatora całki nieoznaczonej. Mimo całej pozornej złożoności i dyskusyjności całek, ich rozwiązanie podlega pewnemu algorytmowi, który opiera się na zasadzie „jeśli nie… to…”.
Oczywiście taki kalkulator nie opanuje szczególnie zawiłych przykładów, ponieważ zdarzają się przypadki, w których rozwiązanie trzeba znaleźć sztucznie, „na siłę” wprowadzając pewne elementy w procesie, ponieważ rezultatu nie da się w oczywisty sposób osiągnąć sposoby. Mimo wszystkich kontrowersji związanych z tym stwierdzeniem jest to prawda, ponieważ matematyka jest w zasadzie nauką abstrakcyjną i za swoje główne zadanie uważa potrzebę poszerzania granic możliwości. Rzeczywiście, niezwykle trudno jest iść w górę i rozwijać się zgodnie z gładkimi, zmiennymi teoriami, więc nie należy zakładać, że podane przez nas przykłady rozwiązywania całek nieoznaczonych są szczytem możliwości. Wróćmy jednak do technicznej strony rzeczy. Przynajmniej po to, by sprawdzić obliczenia, możesz skorzystać z usług, w których wszystko zostało napisane przed nami. Jeśli istnieje potrzeba automatycznego obliczania złożonego wyrażenia, nie można ich obejść, będziesz musiał skorzystać z poważniejszego oprogramowania. Warto zwrócić uwagę przede wszystkim na środowisko MatLab.
Aplikacja
Rozwiązanie całek nieoznaczonych na pierwszy rzut oka wydaje się całkowicie oderwane od rzeczywistości, ponieważ trudno dostrzec oczywiste obszary zastosowań. Owszem, nie mogą być stosowane bezpośrednio nigdzie, ale są uważane za niezbędny element pośredni w procesie wyprowadzania rozwiązań stosowanych w praktyce. Zatem całkowanie jest odwrotne do różniczkowania, dzięki czemu aktywnie uczestniczy w procesie rozwiązywania równań.
Z kolei równania te mają bezpośredni wpływ na rozwiązywanie problemów mechanicznych, obliczanie trajektorii i przewodności cieplnej - krótko mówiąc na wszystko, co składa się na teraźniejszość i kształtuje przyszłość. Całka nieoznaczona, której przykłady omówiliśmy powyżej, jest banalna tylko na pierwszy rzut oka, ponieważ jest podstawą do dokonywania coraz to nowych odkryć.
