Walec to jedna z prostych trójwymiarowych figur, które są studiowane na szkolnym kursie geometrii (sekcja geometria bryłowa). W takim przypadku często pojawiają się problemy z obliczeniem objętości i masy cylindra, a także określeniem jego pola powierzchni. Odpowiedzi na zaznaczone pytania znajdują się w tym artykule.
Co to jest cylinder?
Zanim przejdziemy do odpowiedzi na pytanie, jaka jest masa walca i jego objętość, warto zastanowić się, czym jest ta figura przestrzenna. Należy od razu zauważyć, że cylinder jest obiektem trójwymiarowym. Oznacza to, że w przestrzeni można zmierzyć trzy jego parametry wzdłuż każdej z osi w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. W rzeczywistości, aby jednoznacznie określić wymiary cylindra, wystarczy znać tylko dwa jego parametry.
Cylinder to trójwymiarowa figura utworzona przez dwa koła i cylindryczną powierzchnię. Aby wyraźniej przedstawić ten obiekt, wystarczy wziąć prostokąt i zacząć go obracać wokół któregoś z jego boków, które będą osią obrotu. W takim przypadku obracający się prostokąt opisze kształtobrót - cylinder.
Dwie okrągłe powierzchnie nazywane są podstawami cylindra, charakteryzują się pewnym promieniem. Odległość między podstawami nazywana jest wysokością. Dwie podstawy są połączone cylindryczną powierzchnią. Linia przechodząca przez środki obu okręgów nazywana jest osią cylindra.
Objętość i powierzchnia
Jak widać z powyższego, walec jest zdefiniowany przez dwa parametry: wysokość h i promień jego podstawy r. Znając te parametry, można obliczyć wszystkie inne cechy rozważanego ciała. Poniżej znajdują się główne:
- Obszar baz. Wartość ta jest obliczana według wzoru: S1=2pir2, gdzie pi jest równe 3, 14. Cyfra 2 we wzorze pojawia się, ponieważ cylinder ma dwie identyczne podstawy.
- Powierzchnia cylindryczna. Można go obliczyć w następujący sposób: S2=2pirh. Łatwo zrozumieć tę formułę: jeśli cylindryczna powierzchnia zostanie przecięta pionowo od jednej podstawy do drugiej i rozszerzona, wówczas uzyskany zostanie prostokąt, którego wysokość będzie równa wysokości cylindra, a szerokość będzie odpowiadać obwód podstawy figury trójwymiarowej. Ponieważ pole wynikowego prostokąta jest iloczynem jego boków, które są równe h i 2pir, otrzymujemy powyższy wzór.
- Powierzchnia cylindra. Jest równa sumie powierzchni S1 i S2, otrzymujemy: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Głośność. Ta wartość jest łatwa do znalezienia, wystarczy pomnożyć powierzchnię jednej podstawy przez wysokość figury: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Wyznaczanie masy walca
Na koniec warto przejść bezpośrednio do tematu artykułu. Jak określić masę butli? Aby to zrobić, musisz znać jego objętość, wzór na obliczenie, który został przedstawiony powyżej. I gęstość substancji, z której się składa. Masę określa się za pomocą prostego wzoru: m=ρV, gdzie ρ jest gęstością materiału, z którego wykonany jest przedmiot.
Pojęcie gęstości charakteryzuje masę substancji, która znajduje się w jednostce objętości przestrzeni. Na przykład. Wiadomo, że żelazo ma większą gęstość niż drewno. Oznacza to, że w przypadku równych ilości żelaza i drewna, ta pierwsza będzie miała znacznie większą masę niż ta druga (około 16 razy).
Obliczanie masy walca miedzianego
Rozważ prosty problem. Konieczne jest znalezienie masy walca wykonanego z miedzi. Dla pewności niech cylinder ma średnicę 20 cm i wysokość 10 cm.
Zanim zaczniesz rozwiązywać problem, powinieneś zająć się danymi źródłowymi. Promień walca jest równy połowie jego średnicy, co oznacza r=20/2=10 cm, a wysokość h=10 cm. Ponieważ walec rozpatrywany w zadaniu jest wykonany z miedzi, to odnosząc się do danych referencyjnych wypisujemy gęstość tego materiału: ρ=8, 96 g/cm3 (dla temperatury 20 °C).
Teraz możesz zacząć rozwiązywać problem. Najpierw obliczmy objętość: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Wtedy masa butli będzie wynosić: m=ρV=8,963140=28134 gramów lub około 28 kilogramów.
Należy zwrócić uwagę na wymiary jednostek podczas ich używania w odpowiednich formułach. Tak więc w zadaniu wszystkie parametry zostały przedstawione w centymetrach i gramach.
Jednorodne i puste cylindry
Z powyższego wyniku można zauważyć, że miedziany cylinder o stosunkowo małych wymiarach (10 cm) ma dużą masę (28 kg). Wynika to nie tylko z tego, że jest wykonany z ciężkiego materiału, ale także z tego, że jest jednorodny. Jest to ważne, aby zrozumieć, ponieważ powyższy wzór na obliczenie masy może być użyty tylko wtedy, gdy cylinder jest całkowicie (na zewnątrz i wewnątrz) wykonany z tego samego materiału, to znaczy jest jednorodny.
W praktyce często stosuje się puste cylindry (na przykład cylindryczne beczki na wodę). Oznacza to, że są wykonane z cienkich arkuszy jakiegoś materiału, ale wewnątrz są puste. W przypadku pustego cylindra wskazany wzór do obliczenia masy nie może być użyty.
Obliczanie masy pustego cylindra
Interesujące jest obliczenie, jaką masę będzie miał miedziany cylinder, jeśli jest pusty w środku. Na przykład niech będzie wykonany z cienkiej blachy miedzianej o grubości tylko d=2 mm.
Aby rozwiązać ten problem, musisz znaleźć objętość samej miedzi, z której wykonany jest przedmiot. Nie objętość cylindra. Ponieważ grubośćarkusz jest mały w porównaniu do wymiarów walca (d=2 mm i r=10 cm), to objętość miedzi z której wykonany jest przedmiot można obliczyć mnożąc całą powierzchnię walca przez grubość blachy miedzianej otrzymujemy: V=dS 3=d2pir(r+h). Zastępując dane z poprzedniego zadania, otrzymujemy: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Masę pustego cylindra można uzyskać, mnożąc uzyskaną objętość miedzi, która była wymagana do jego wytworzenia, przez gęstość miedzi: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g lub 2,3 kg. Oznacza to, że rozważany pusty cylinder waży 12 (28, 1/2, 3) razy mniej niż jednorodny.
