Często przy rozwiązywaniu problemów musisz dowiedzieć się, czy dana liczba jest podzielna przez podaną cyfrę bez reszty. Ale za każdym razem dzielenie się nim zajmuje bardzo dużo czasu. Ponadto istnieje duże prawdopodobieństwo popełnienia błędu w obliczeniach i ucieczki od prawidłowej odpowiedzi. Aby uniknąć tego problemu, znaleziono oznaki podzielności na podstawowe liczby pierwsze lub jednocyfrowe: 2, 3, 9, 11. A co jeśli trzeba podzielić przez inną, większą liczbę? Na przykład, jak obliczyć znak podzielności przez 15? Postaramy się znaleźć odpowiedź na to pytanie w tym artykule.
Jak sformułować test na podzielność przez 15?
Jeśli znaki podzielności są dobrze znane dla liczb pierwszych, to co zrobić z resztą?
Jeśli liczba nie jest liczbą pierwszą, można ją rozłożyć na czynniki. Na przykład 33 jest iloczynem 3 i 11, a 45 to 9 i 5. Istnieje właściwość, zgodnie z którą liczba jest podzielna przez podaną liczbę bezresztę, jeśli można ją podzielić przez oba czynniki. Oznacza to, że dowolną dużą liczbę można przedstawić w postaci liczb pierwszych i na ich podstawie możemy sformułować znak podzielności.
Więc musimy dowiedzieć się, czy tę liczbę można podzielić przez 15. Aby to zrobić, przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo. Liczbę 15 można przedstawić jako iloczyn 3 i 5. Oznacza to, że aby liczba była podzielna przez 15, musi być wielokrotnością zarówno 3, jak i 5. Jest to znak podzielności przez 15. w przyszłości rozważymy to bardziej szczegółowo i sformułujemy bardziej precyzyjnie.
Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 3?
Przypomnij test na podzielność przez 3.
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr (liczba jedynek, dziesiątek, setek itd.) jest podzielna przez 3.
Na przykład musisz dowiedzieć się, które z tych liczb można podzielić przez 3 bez reszty: 76348, 24606, 1128904, 540813.
Oczywiście możesz po prostu podzielić te liczby na kolumnę, ale zajmie to dużo czasu. Dlatego użyjemy kryterium podzielności przez 3.
- 7 + 6 + 3 + 4 + 8=28. Liczba 28 nie jest podzielna przez 3, więc 76348 nie jest podzielne przez 3.
- 2 + 4 + 6 + 0 + 6=18. Liczbę 18 można podzielić przez 3, co oznacza, że ta liczba jest również podzielna przez 3 bez reszty. Rzeczywiście, 24 606: 3=8 202.
Przeanalizuj pozostałe liczby w ten sam sposób:
- 1 + 1 + 2 + 8 + 9 + 4=25. Liczba 25 nie jest podzielna przez 3. Zatem 1 128 904 nie jest podzielna przez 3.
- 5 + 4 + 0 + 8 + 1 + 3=21. Liczba 21 jest podzielna przez 3, co oznacza, że 540 813 jest podzielne przez 3. (540 813: 3=180271)
Odpowiedź: 24 606 i 540 813.
Kiedy liczba jest podzielna przez 5?
Jednak znak, że liczba jest podzielna przez 15, obejmuje również nie tylko podzielność przez 3, ale także wielokrotność pięciu.
Znak podzielności przez 5 jest następujący: liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się na 5 lub 0.
Na przykład musisz znaleźć wielokrotności 5: 11 467, 909, 670, 840 435, 67 900
Liczby 11467 i 909 nie są podzielne przez 5.
Liczby 670, 840 435 i 67 900 kończą się cyframi 0 lub 5, co oznacza, że są wielokrotnościami 5.
Przykłady z rozwiązaniem
Więc teraz możemy w pełni sformułować znak podzielności przez 15: liczba jest podzielna przez 15, gdy suma jej cyfr jest wielokrotnością 3, a ostatnia cyfra to 5 lub 0. To ważne zauważyć, że oba te warunki muszą być spełnione jednocześnie. W przeciwnym razie otrzymamy liczbę, która nie jest wielokrotnością 15, a tylko 3 lub 5.
Znak podzielności liczb przez 15 jest bardzo często potrzebny do rozwiązywania zadań kontrolnych i egzaminacyjnych. Na przykład, często na podstawowym poziomie egzaminu z matematyki są zadania oparte na zrozumieniu tego konkretnego tematu. Rozważ niektóre z ich rozwiązań w praktyce.
Zadanie 1.
Wśród liczb znajdź te, które są podzielne przez 15.
9 085 475; 78 545; 531; 12.000; 90 952
Więc na początek odrzucimy te liczby, które oczywiście nie spełniają naszych kryteriów. Są to 531 i 90 952. Pomimo tego, że suma 5+3+1=9 jest podzielna przez 3, liczba kończy się na jeden, co oznacza, że nie pasuje. To samo dotyczy 90952, którykończy się na 2.
9 085 475, 78 545 i 12 000 spełniają pierwsze kryterium, teraz porównajmy je z drugim.
9+0+8+5+4+7+5=38, 38 nie jest podzielne przez 3. Więc ta liczba jest dodatkowa w naszej serii.
7+8+5+4+5=29. 29 nie jest wielokrotnością 3, nie spełnia warunków.
Ale 1+2=3, 3 jest równo podzielne przez 3, co oznacza, że ta liczba jest odpowiedzią.
Odpowiedź: 12.000
Zadanie 2.
Trzycyfrowa liczba C jest większa niż 700 i podzielna przez 15. Zapisz najmniejszą taką liczbę.
Więc zgodnie z kryterium podzielności przez 15, liczba ta powinna kończyć się na 5 lub 0. Ponieważ potrzebujemy najmniejszej możliwej liczby, weź 0 - będzie to ostatnia cyfra.
Ponieważ liczba jest większa niż 700, pierwsza liczba może wynosić 7 lub więcej. Pamiętając, że powinniśmy znaleźć najmniejszą wartość, wybieramy 7.
Aby liczba była podzielna przez 15, warunek 7+x+0=wielokrotność 3, gdzie x jest liczbą dziesiątek.
Więc 7+x+0=9
X=9 -7
X=2
Liczba 720 jest tym, czego szukasz.
Odpowiedź: 720
Problem 3.
Usuń dowolne trzy cyfry z 3426578, aby wynikowa liczba była wielokrotnością 15.
Po pierwsze, żądana cyfra musi kończyć się cyfrą 5 lub 0. Tak więc dwie ostatnie cyfry - 7 i 8 należy natychmiast przekreślić.
34265 pozostało.
3+4+2+6+5=20, 20 nie jest podzielne przez 3. Najbliższa wielokrotność 3 to 18. Aby ją otrzymać, musisz odjąć 2. Wykreśl liczbę 2.
Okazuje się 3465. Sprawdź swoją odpowiedź, 3465: 15=231.
Odpowiedź:3465
W tym artykule główne oznaki podzielności przez 15 zostały omówione na przykładach. Materiał ten powinien pomóc uczniom w rozwiązywaniu zadań tego typu i podobnych, a także zrozumieć algorytm pracy z nimi.
