Grecy zaczęli wszystko. Nie aktualne, ale te, które żyły wcześniej. Nie było jeszcze kalkulatorów, a potrzeba obliczeń była już obecna. I prawie każda kalkulacja kończyła się trójkątami prostokątnymi. Dali rozwiązanie wielu problemów, z których jeden brzmiał tak: „Jak znaleźć przeciwprostokątną, znając kąt i nogę?”.
Trójkąty pod kątem prostym
Pomimo prostoty definicji ta postać w samolocie może zadać wiele zagadek. Wielu doświadczyło tego na własne oczy, przynajmniej w szkolnym programie nauczania. Dobrze, że sam udziela odpowiedzi na wszystkie pytania.
Ale czy nie można jeszcze bardziej uprościć tej prostej kombinacji boków i narożników? Okazało się, że to możliwe. Wystarczy zrobić jeden kąt prosty, czyli równy 90 °.
Wygląda na to, jaka jest różnica? Olbrzymi. Jeśli zrozumienie całej różnorodności kątów jest prawie niemożliwe, to po ustaleniu jednego z nich łatwo jest dojść do niesamowitych wniosków. Tak właśnie zrobił Pitagoras.
Czy wymyślił słowa „noga” i „hipoprostokątna”, czy też?zrobił to ktoś inny, to nie ma znaczenia. Najważniejsze, że mają swoje imiona nie bez powodu, ale dzięki ich relacji z odpowiednim kątem. Do niego przylegały dwie strony. To były łyżwy. Trzecia była przeciwna, stała się przeciwprostokątną.
I co z tego?
Przynajmniej była okazja, aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć przeciwprostokątną po nodze i kącie. Dzięki pojęciom wprowadzonym przez starożytnych Greków możliwa stała się logiczna konstrukcja relacji boków i kątów.
Sam trójkąty, w tym prostokątne, zostały użyte podczas budowy piramid. Słynny egipski trójkąt o bokach 3, 4 i 5 mógł skłonić Pitagorasa do sformułowania słynnego twierdzenia. Ona z kolei stała się rozwiązaniem problemu znalezienia przeciwprostokątnej, znając kąt i nogę
Kwadraty boków okazały się być ze sobą połączone. Zaletą starożytnego Greka nie jest to, że zauważył to, ale to, że był w stanie udowodnić swoje twierdzenie dla wszystkich innych trójkątów, nie tylko egipskiego.
Teraz łatwo jest obliczyć długość jednej strony, znając pozostałe dwie. Ale w życiu w większości pojawiają się problemy innego rodzaju, gdy trzeba znaleźć przeciwprostokątną, znając nogę i kąt. Jak określić szerokość rzeki bez moczenia stóp? Łatwo. Budujemy trójkąt, którego jedna odnoga to szerokość rzeki, druga jest nam znana z konstrukcji. Poznać przeciwną stronę… Zwolennicy Pitagorasa już znaleźli rozwiązanie.
Zadanie brzmi: jak znaleźć przeciwprostokątną, znając kąt i nogę
Oprócz stosunku kwadratów boków odkryli znacznie więcejciekawy związek. Do ich opisu wprowadzono nowe definicje: sinus, cosinus, tangens, cotangens i inna trygonometria. Oznaczenia dla wzorów to: Sin, Cos, Tg, Ctg. Co to jest jest pokazane na obrazku.
Wartości funkcji, jeśli kąt jest znany, zostały obliczone dawno temu i zestawione przez słynnego rosyjskiego naukowca Bradisa. Na przykład Sin30º=0.5 I tak dla każdego kąta. Wróćmy teraz do rzeki, po której jednej stronie narysowaliśmy linię SA. Znamy jego długość: 30 metrów. Zrobili to sami. Po przeciwnej stronie znajduje się drzewo w punkcie B. Zmierzenie kąta A nie będzie trudne, niech będzie 60°.
W tabeli sinusów znajdujemy wartość dla kąta 60° - to jest 0,866. Zatem CA\AB=0,866. Dlatego AB jest zdefiniowane jako CA:0,866=34,64. Teraz, gdy znane są 2 boki trójkąt prostokątny, obliczenie trzeciego nie będzie trudne. Pitagoras zrobił dla nas wszystko, wystarczy podstawić liczby:
BC=√AB2 - AC2=√1199, 93 - 900=√299, 93=17, 32 metry.
W ten sposób zabiliśmy dwie pieczenie na jednym ogniu: wymyśliliśmy, jak znaleźć przeciwprostokątną, znając kąt i odnogę, i obliczyliśmy szerokość rzeki.
