Wzór na objętość heksagonalnej piramidy: przykład rozwiązania problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Obliczanie objętości figur przestrzennych jest jednym z ważnych zadań stereometrii. W tym artykule rozważymy kwestię określenia objętości takiego wielościanu jako ostrosłupa, a także podamy wzór na objętość ostrosłupa sześciokątnego foremnego.

piramida heksagonalna

Najpierw spójrzmy, jaka jest liczba, która zostanie omówiona w artykule.

Zróbmy dowolny sześciokąt, którego boki niekoniecznie są sobie równe. Załóżmy również, że wybraliśmy punkt w przestrzeni, który nie znajduje się na płaszczyźnie sześciokąta. Łącząc wszystkie rogi tego ostatniego z wybranym punktem, otrzymujemy piramidę. Na poniższym rysunku pokazano dwie różne piramidy o sześciokątnej podstawie.

Widać, że oprócz sześciokąta figura składa się z sześciu trójkątów, których punkt połączenia nazywa się wierzchołkiem. Różnica między przedstawionymi piramidami polega na tym, że wysokość h prawej z nich nie przecina sześciokątnej podstawy w jej geometrycznym środku, a wysokość lewej figury spadadokładnie w tym centrum. Dzięki temu kryterium lewa piramida została nazwana prostą, a prawa - ukośną.

Ponieważ podstawa lewej figury na rysunku jest utworzona przez sześciokąt o równych bokach i kątach, nazywa się to poprawną. W dalszej części artykułu porozmawiamy tylko o tej piramidzie.

Objętość sześciokątnej piramidy

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, obowiązuje następujący wzór:

V=1/3hS_o

Tu h to długość wysokości figury, S_{o to powierzchnia jej podstawy. Użyjmy tego wyrażenia, aby określić objętość regularnej sześciokątnej piramidy.}

Ponieważ rozważana figura jest oparta na sześciokątnym równobocznym, aby obliczyć jego powierzchnię, możesz użyć następującego ogólnego wyrażenia dla n-kąta:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Tutaj n jest liczbą całkowitą równą liczbie boków (rogów) wielokąta, a jest długością jego boku, funkcja cotangens jest obliczana przy użyciu odpowiednich tabel.

Stosując wyrażenie dla n=6, otrzymujemy:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Teraz pozostaje zastąpić to wyrażenie ogólnym wzorem dla objętości V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Dlatego, aby obliczyć objętość rozważanej piramidy, konieczne jest poznanie jej dwóch parametrów liniowych: długości boku podstawy i wysokości figury.

Przykład rozwiązywania problemów

Pokażmy, jak otrzymane wyrażenie dla V_{6 można wykorzystać do rozwiązania następującego problemu.}

Wiadomo, że objętość regularnej sześciokątnej piramidy wynosi 100 cm3. Konieczne jest określenie boku podstawy i wysokości figury, jeśli wiadomo, że są one powiązane ze sobą następującą równością:

a=2h

Ponieważ tylko a i h są zawarte we wzorze na objętość, każdy z tych parametrów może być do niego podstawiony, wyrażony jako drugi. Na przykład podstawiamy a, otrzymujemy:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Aby znaleźć wartość wysokości figury, musisz wziąć pierwiastek trzeciego stopnia z objętości, który odpowiada wymiarowi długości. Podstawiamy wartość objętości V_{6piramidy ze zdania problemu, otrzymujemy wysokość:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Ponieważ bok podstawy, zgodnie ze stanem problemu, jest dwukrotnością znalezionej wartości, otrzymujemy dla niej wartość:

a=2h=23, 0676=6, 1352cm

Objętość sześciokątnej piramidy można określić nie tylko na podstawie wysokości figury i wartości boku jej podstawy. Wystarczy znać dwa różne parametry liniowe piramidy, aby ją obliczyć, na przykład apotemę i długość bocznej krawędzi.