Obrót to typowy rodzaj ruchu mechanicznego, często spotykany w naturze i technologii. Każda rotacja powstaje w wyniku działania jakiejś siły zewnętrznej na rozważany system. Ta siła tworzy tak zwany moment obrotowy. Co to jest, od czego to zależy, zostało omówione w artykule.
Proces rotacji
Zanim zajmiemy się pojęciem momentu obrotowego, scharakteryzujmy systemy, do których ta koncepcja może być zastosowana. System rotacji zakłada obecność w nim osi, wokół której wykonywany jest ruch okrężny lub obrót. Odległość od tej osi do punktów materialnych układu nazywana jest promieniem obrotu.
Z punktu widzenia kinematyki proces charakteryzuje się trzema wartościami kątowymi:
- kąt obrotu θ (mierzony w radianach);
- prędkość kątowa ω (mierzona w radianach na sekundę);
- przyspieszenie kątowe α (mierzone w radianach na sekundę kwadratową).
Te ilości są ze sobą powiązane w następujący sposóbrówna się:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Przykładami rotacji w przyrodzie są ruchy planet na ich orbitach i wokół ich osi, ruchy tornad. W życiu codziennym i technice ruch, o którym mowa, jest typowy dla silników silnikowych, kluczy, dźwigów budowlanych, otwierania drzwi i tak dalej.
Określenie momentu siły
Teraz przejdźmy do właściwego tematu artykułu. Zgodnie z definicją fizyczną moment siły jest iloczynem wektorowym wektora przyłożenia siły względem osi obrotu i wektora samej siły. Odpowiednie wyrażenie matematyczne można zapisać w następujący sposób:
M¯=[r¯F¯].
Tutaj wektor r¯ jest skierowany od osi obrotu do punktu przyłożenia siły F¯.
W tym wzorze na moment obrotowy M¯, siła F¯ może być skierowana w dowolnym kierunku względem kierunku osi. Jednak składnik siły równoległej do osi nie spowoduje obrotu, jeśli oś jest sztywno zamocowana. W większości problemów fizyki należy uwzględnić siły F¯, które leżą w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. W takich przypadkach wartość bezwzględną momentu obrotowego można określić za pomocą następującego wzoru:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Gdzie β jest kątem między wektorami r¯ i F¯.
Co to jest dźwignia?
Dźwignia siły odgrywa ważną rolę w określaniu wielkości momentu siły. Aby zrozumieć, o czym mówimy, rozważnastępne zdjęcie.
Tutaj pokazujemy pręt o długości L, który jest zamocowany w punkcie obrotu jednym z jego końców. Na drugi koniec działa siła F skierowana pod kątem ostrym φ. Zgodnie z definicją momentu siły można napisać:
M=FLsin(180o-φ).
Kąt (180o-φ) pojawił się, ponieważ wektor L¯ jest skierowany od stałego końca do wolnego końca. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji trygonometrycznej sinus, możemy przepisać tę równość w następującej postaci:
M=FLsin(φ).
Zwróćmy teraz uwagę na trójkąt prostokątny zbudowany na bokach L, d i F. Z definicji funkcji sinus, iloczyn przeciwprostokątnej L i sinusa kąta φ daje wartość ramienia d. Wtedy dochodzimy do równości:
M=Fd.
Wartość liniowa d nazywana jest dźwignią siły. Jest równa odległości wektora siły F¯ od osi obrotu. Jak widać ze wzoru, wygodnie jest posługiwać się pojęciem dźwigni siły przy obliczaniu momentu M. Wynikowy wzór mówi, że maksymalny moment obrotowy dla pewnej siły F wystąpi tylko wtedy, gdy długość wektora promienia r¯ (L¯ na powyższym rysunku) jest równe dźwigni siły, czyli r¯ i F¯ będą wzajemnie prostopadłe.
Kierunek M¯
Powyżej pokazano, że moment obrotowy jest wektorem charakterystycznym dla danego układu. Gdzie jest skierowany ten wektor? Odpowiedz na to pytanie niejest to szczególnie trudne, jeśli pamiętamy, że wynikiem iloczynu dwóch wektorów jest trzeci wektor, który leży na osi prostopadłej do płaszczyzny pierwotnych wektorów.
Pozostaje decyzja, czy moment siły będzie skierowany w górę czy w dół (w kierunku lub od czytnika) w stosunku do wspomnianej płaszczyzny. Możesz to określić za pomocą reguły świderka lub za pomocą reguły prawej ręki. Oto obie zasady:
- Zasada prawej ręki. Jeśli prawą rękę ułożymy tak, aby jej cztery palce przesunęły się od początku wektora r¯ do jego końca, a następnie od początku wektora F¯ do jego końca, to wystający kciuk wskaże kierunek momentu M¯.
- Reguła świdra. Jeżeli kierunek obrotu wyobrażonego świdra pokrywa się z kierunkiem ruchu obrotowego układu, to ruch translacyjny świdra wskaże kierunek wektora M¯. Przypomnij sobie, że obraca się tylko zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Obie zasady są równe, więc każdy może skorzystać z tej, która jest dla niego wygodniejsza.
Przy rozwiązywaniu praktycznych problemów, różne kierunki momentu obrotowego (góra - dół, lewo - prawo) są brane pod uwagę za pomocą znaków "+" lub "-". Należy pamiętać, że kierunek dodatni momentu M¯ jest uważany za ten, który prowadzi do obrotu układu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W związku z tym, jeśli jakaś siła doprowadzi do obrotu układu w kierunku zegara, to utworzony przez nią moment będzie miał wartość ujemną.
Fizyczne znaczenieilości M¯
W fizyce i mechanice obrotu wartość M¯ określa zdolność siły lub sumy sił do obracania się. Ponieważ matematyczne określenie wielkości M¯ zawiera nie tylko siłę, ale także promień jej przyłożenia, to ten ostatni w dużej mierze determinuje odnotowaną zdolność obrotową. Aby było bardziej jasne, o jakiej umiejętności mówimy, oto kilka przykładów:
- Każda osoba, przynajmniej raz w życiu, próbowała otworzyć drzwi, nie trzymając za klamkę, ale dociskając je do zawiasów. W tym drugim przypadku trzeba włożyć znaczny wysiłek, aby osiągnąć pożądany rezultat.
- Aby odkręcić nakrętkę od śruby, użyj specjalnych kluczy. Im dłuższy klucz, tym łatwiej odkręcić nakrętkę.
- Aby poczuć znaczenie dźwigni mocy, zachęcamy czytelników do przeprowadzenia następującego eksperymentu: weź krzesło i spróbuj trzymać je jedną ręką na wadze, w jednym przypadku oprzyj rękę o ciało, w drugi wykonaj zadanie na prostym ramieniu. To ostatnie okaże się dla wielu przytłaczającym zadaniem, chociaż waga krzesła pozostała taka sama.
Jednostki momentu siły
Kilka słów należy również powiedzieć o jednostkach układu SI, w których mierzony jest moment obrotowy. Zgodnie z zapisaną dla niego formułą mierzy się ją w niutonach na metr (Nm). Jednak jednostki te mierzą również pracę i energię w fizyce (1 Nm=1 dżul). Dżul dla momentu M¯ nie ma zastosowania, ponieważ praca jest wielkością skalarną, a M¯ jest wektorem.
Mimo tozbieżność jednostek momentu siły z jednostkami energii nie jest przypadkowa. Pracę nad obrotem układu, wykonaną do momentu M, oblicza się ze wzoru:
A=Mθ.
Gdzie otrzymujemy, że M można również wyrazić w dżulach na radian (J/rad).
Dynamika rotacji
Na początku artykułu spisaliśmy charakterystyki kinematyczne, które są używane do opisu ruchu obrotowego. W dynamice obrotowej głównym równaniem wykorzystującym te cechy jest:
M=Iα.
Działanie momentu M na układ z momentem bezwładności I prowadzi do pojawienia się przyspieszenia kątowego α.
Ten wzór służy do określania częstotliwości kątowych obrotu w technologii. Np. znając moment obrotowy silnika asynchronicznego, który zależy od częstotliwości prądu w cewce stojana i wielkości zmieniającego się pola magnetycznego, a także znając właściwości bezwładności wirującego wirnika, można określić do jakiej prędkości obrotowej ω wirnik silnika obraca się w znanym czasie t.
Przykład rozwiązywania problemów
Dźwignia w stanie nieważkości, o długości 2 metrów, ma podpórkę pośrodku. Jaki ciężar należy umieścić na jednym końcu dźwigni, aby była w stanie równowagi, jeśli po drugiej stronie podpory w odległości 0,5 metra od niej leży masa 10 kg?
Oczywiście równowaga dźwigni nastąpi, jeśli momenty sił wytworzone przez obciążenia będą równe w wartości bezwzględnej. Moc, która tworzymoment w tym problemie reprezentuje wagę ciała. Dźwignie siły są równe odległościom od obciążników do podpory. Napiszmy odpowiednią równość:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/d2.
Waga P2 otrzymamy, jeśli podstawimy wartości m1=10 kg ze stanu problemowego, d 1=0,5 m, d2=1 m. Zapisane równanie daje odpowiedź: P2=49,05 niutonów.
