Pryzmat to wielościan lub wielościan, który jest badany na szkolnym kursie geometrii bryłowej. Jedną z ważnych właściwości tego wielościanu jest jego objętość. Zastanówmy się w artykule, jak można obliczyć tę wartość, a także podaj wzory na objętość pryzmatów - regularny czworokąt i sześciokąt.
Pryzmat w stereometrii
Ta figura jest rozumiana jako wielościan, który składa się z dwóch identycznych wielokątów umieszczonych w równoległych płaszczyznach i kilku równoległoboków. W przypadku niektórych typów pryzmatów równoległoboki mogą przedstawiać prostokątne czworokąty lub kwadraty. Poniżej przykład tak zwanego pryzmatu pięciokątnego.
Aby zbudować figurę jak na powyższym rysunku, musisz wziąć pięciokąt i przeprowadzić jego równoległe przeniesienie na określoną odległość w przestrzeni. Łącząc boki dwóch pięciokątów za pomocą równoległoboków otrzymujemy pożądany pryzmat.
Każdy pryzmat składa się z powierzchni, wierzchołków i krawędzi. Wierzchołki pryzmatuw przeciwieństwie do piramidy są równe, każda z nich odnosi się do jednej z dwóch podstaw. Ściany i krawędzie są dwojakiego rodzaju: te, które należą do podstaw i te, które należą do boków.
Pryzmaty są kilku typów (prawidłowe, ukośne, wypukłe, proste, wklęsłe). Zastanówmy się w dalszej części artykułu, według jakiego wzoru obliczana jest objętość pryzmatu, biorąc pod uwagę kształt figury.
Ogólne wyrażenie do określania objętości pryzmatu
Bez względu na to, do jakiego typu należy badana figura, czy jest prosta czy ukośna, regularna czy nieregularna, istnieje uniwersalne wyrażenie, które pozwala określić jej objętość. Objętość figury przestrzennej to obszar przestrzeni zamknięty między jej twarzami. Ogólny wzór na objętość pryzmatu to:
V=So × h.
Tutaj So reprezentuje obszar bazy. Należy pamiętać, że mówimy o jednej podstawie, a nie o dwóch. Wartość h to wysokość. Przez wysokość badanej figury rozumie się odległość między jej identycznymi podstawami. Jeśli ta odległość pokrywa się z długościami bocznych żeber, mówi się o prostym pryzmacie. Na prostej figurze wszystkie boki są prostokątami.
Tak więc, jeśli pryzmat jest ukośny i ma nieregularną podstawę wielokąta, obliczenie jego objętości staje się bardziej skomplikowane. Jeśli figura jest prosta, wówczas obliczenie objętości ogranicza się tylko do określenia obszaru podstawy So.
Określanie objętości zwykłej figury
Zwykły to dowolny pryzmat, który jest prosty i ma wielokątną podstawę o równych bokach i kątach. Na przykład takie regularne wielokąty to kwadrat i trójkąt równoboczny. Jednocześnie romb nie jest figurą regularną, ponieważ nie wszystkie jego kąty są sobie równe.
Wzór na objętość pryzmatu foremnego jednoznacznie wynika z ogólnego wyrażenia na V, które zostało napisane w poprzednim akapicie artykułu. Przed przystąpieniem do pisania odpowiedniej formuły konieczne jest określenie obszaru prawidłowej podstawy. Bez wchodzenia w szczegóły matematyczne przedstawiamy wzór na wyznaczenie wskazanego obszaru. Jest uniwersalny dla każdego regularnego n-gonu i ma następującą postać:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Jak widać z wyrażenia, obszar Sn jest funkcją dwóch parametrów. Liczba całkowita n może przyjmować wartości od 3 do nieskończoności. Wartość a to długość boku n-kąta.
Aby obliczyć objętość figury, wystarczy pomnożyć powierzchnię S przez wysokość h lub długość krawędzi bocznej b (h=b). W rezultacie dochodzimy do następującego wzoru roboczego:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Zauważ, że aby określić objętość pryzmatu dowolnego typu, musisz znać kilka wielkości (długości boków podstawy, wysokość, kąty dwuścienne figury), ale aby obliczyć wartość V zwykły pryzmat, musimy znać tylko dwa parametry liniowe, na przykład a i h.
Objętość czworokątnego pryzmatu regularnego
Graniastosłup czworokątny nazywany jest równoległościanem. Jeśli wszystkie jego powierzchnie są równe i są kwadratami, taka figura będzie sześcianem. Każdy uczeń wie, że objętość prostokątnego równoległościanu lub sześcianu określa się mnożąc jego trzy różne boki (długość, wysokość i szerokość). Fakt ten wynika z zapisanego ogólnego wyrażenia objętościowego dla liczby regularnej:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Tutaj cotangens 45° jest równy 1. Zwróć uwagę, że równość wysokości h i długości boku podstawy a automatycznie prowadzi do wzoru na objętość sześcianu.
Objętość sześciokątnego pryzmatu regularnego
Teraz zastosuj powyższą teorię, aby określić objętość figury o sześciokątnej podstawie. Aby to zrobić, wystarczy podstawić wartość n=6 we wzorze:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × godz.
Wyrażenie pisemne można uzyskać niezależnie, bez użycia uniwersalnej formuły dla S. Aby to zrobić, musisz podzielić sześciokąt foremny na sześć trójkątów równobocznych. Bok każdego z nich będzie równy a. Obszar jednego trójkąta odpowiada:
S3=√3/4 × a2.
Mnożąc tę wartość przez liczbę trójkątów (6) i wysokość, otrzymujemy powyższy wzór na objętość.
