Zagadnienia matematyczne są wykorzystywane w wielu naukach. Należą do nich nie tylko fizyka, chemia, inżynieria i ekonomia, ale także medycyna, ekologia i inne dyscypliny. Jedną z ważnych koncepcji do opanowania w celu znalezienia rozwiązań ważnych dylematów jest pochodna funkcji. Fizyczne znaczenie tego wcale nie jest tak trudne do wyjaśnienia, jak mogłoby się wydawać niewtajemniczonym w istocie problemu. Wystarczy znaleźć na to odpowiednie przykłady w życiu codziennym i zwykłych codziennych sytuacjach. W rzeczywistości każdy kierowca ma do czynienia z podobnym zadaniem każdego dnia, gdy patrzy na prędkościomierz, określając prędkość swojego samochodu w określonym momencie o ustalonym czasie. W końcu to właśnie w tym parametrze tkwi istota fizycznego znaczenia pochodnej.
Jak znaleźć prędkość
Określ prędkość osoby na drodze, znając przebytą odległość i czas podróży, z łatwością może to zrobić każdy piątoklasista. Aby to zrobić, pierwsza z podanych wartości jest dzielona przez drugą. Alenie każdy młody matematyk wie, że obecnie znajduje stosunek przyrostów funkcji i argumentu. Rzeczywiście, jeśli wyobrazimy sobie ruch w formie wykresu, kreślącego ścieżkę wzdłuż osi y i czas wzdłuż odciętej, będzie to dokładnie tak.
Jednak prędkość pieszego lub innego obiektu, który ustalimy na dużym odcinku ścieżki, biorąc pod uwagę, że ruch jest jednolity, może się zmienić. W fizyce istnieje wiele form ruchu. Można to wykonać nie tylko przy stałym przyspieszeniu, ale spowolnić i zwiększyć w dowolny sposób. Należy zauważyć, że w tym przypadku linia opisująca ruch nie będzie już linią prostą. Graficznie może przybierać najbardziej złożone konfiguracje. Ale dla dowolnego punktu na wykresie zawsze możemy narysować styczną reprezentowaną przez funkcję liniową.
Aby doprecyzować parametr zmiany przemieszczenia w zależności od czasu, konieczne jest skrócenie mierzonych odcinków. Gdy staną się nieskończenie małe, obliczona prędkość będzie chwilowa. To doświadczenie pomaga nam zdefiniować pochodną. Jego fizyczne znaczenie również wynika logicznie z takiego rozumowania.
Pod względem geometrii
Wiadomo, że im większa prędkość ciała, tym bardziej stromy wykres zależności przemieszczenia od czasu, a co za tym idzie kąt nachylenia stycznej do wykresu w określonym punkcie. Wskaźnikiem takich zmian może być styczna kąta między osią x a linią styczną. Po prostu określa wartość pochodnej i jest obliczany przez stosunek długościnaprzeciw sąsiedniej nogi w trójkącie prostokątnym utworzonym przez prostopadły opuszczony z pewnego punktu do osi x.
To jest geometryczne znaczenie pierwszej pochodnej. Fizyczna objawia się w tym, że wartością przeciwległej nogi w naszym przypadku jest przebyta odległość, a sąsiedniej jest czas. Ich stosunek to prędkość. I znowu dochodzimy do wniosku, że esencją pojęcia pochodnej jest prędkość chwilowa, wyznaczona gdy obie przerwy mają tendencję do nieskończenie małych, wskazując na jej fizyczne znaczenie. Drugą pochodną w tym przykładzie będzie przyspieszenie ciała, które z kolei pokazuje tempo zmian prędkości.
Przykłady znajdowania pochodnych w fizyce
Pochodna jest wskaźnikiem szybkości zmian dowolnej funkcji, nawet jeśli nie mówimy o ruchu w dosłownym tego słowa znaczeniu. Aby to wyraźnie zademonstrować, weźmy kilka konkretnych przykładów. Załóżmy, że aktualna siła zmienia się w zależności od czasu zgodnie z następującym prawem: I=0, 4t2. Wymagane jest znalezienie wartości tempa zmiany tego parametru na koniec 8 sekundy procesu. Zauważ, że sama pożądana wartość, jak można ocenić na podstawie równania, stale rośnie.
Aby go rozwiązać, musisz znaleźć pierwszą pochodną, której fizyczne znaczenie było rozważane wcześniej. Tutaj dI / dt=0,8t. Następnie znajdujemy go w t \u003d 8, otrzymujemy, że szybkość, z jaką zmienia się aktualna siła, wynosi 6,4 A / c. Tutaj uważa się, żeprąd jest mierzony odpowiednio w amperach, a czas w sekundach.
Wszystko się zmienia
Widoczny otaczający świat, składający się z materii, podlega ciągłym zmianom, będąc w ruchu różnych procesów w nim zachodzących. Do ich opisu można użyć różnych parametrów. Jeśli łączy je zależność, to matematycznie zapisuje się je jako funkcję, która wyraźnie pokazuje ich zmiany. A tam, gdzie występuje ruch (w jakiejkolwiek formie jest on wyrażony), istnieje również pochodna, której fizyczne znaczenie rozważamy w tej chwili.
Z tej okazji następujący przykład. Załóżmy, że temperatura ciała zmienia się zgodnie z prawem T=0, 2 t 2. Powinieneś znaleźć szybkość jego nagrzewania na koniec 10 sekundy. Problem rozwiązany jest w sposób podobny do opisanego w poprzednim przypadku. Oznacza to, że znajdujemy pochodną i podstawiamy do niej wartość t \u003d 10, otrzymujemy T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Oznacza to, że ostateczna odpowiedź to 4 stopnie na sekundę, czyli proces ogrzewania a zmiana temperatury, mierzona w stopniach, zachodzi dokładnie z taką prędkością.
Rozwiązywanie praktycznych problemów
Oczywiście, w prawdziwym życiu wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane niż w problemach teoretycznych. W praktyce wartość wielkości określa się zwykle podczas eksperymentu. W takim przypadku używane są instrumenty, które dają odczyty podczas pomiarów z pewnym błędem. Dlatego w obliczeniach trzeba liczyć się z przybliżonymi wartościami parametrów i uciekać się do zaokrąglania niewygodnych liczb,a także inne uproszczenia. Biorąc to pod uwagę, ponownie przejdziemy do problemów dotyczących fizycznego znaczenia pochodnej, ponieważ są one jedynie rodzajem matematycznego modelu najbardziej złożonych procesów zachodzących w przyrodzie.
Erupcja wulkanu
Wyobraźmy sobie, że wybucha wulkan. Jak niebezpieczny może być? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy wziąć pod uwagę wiele czynników. Postaramy się pomieścić jednego z nich.
Z paszczy "ognistego potwora" kamienie są wyrzucane pionowo w górę, osiągając prędkość początkową 120 m/s od momentu wyjścia na zewnątrz. Konieczne jest obliczenie, co mogą osiągnąć maksymalną wysokość.
Aby znaleźć pożądaną wartość, ułożymy równanie na zależność wysokości H, mierzonej w metrach, od innych wartości. Obejmują one początkową prędkość i czas. Wartość przyspieszenia uważa się za znaną i w przybliżeniu równą 10 m/s2.
Częściowa pochodna
Rozważmy teraz fizyczne znaczenie pochodnej funkcji pod nieco innym kątem, ponieważ samo równanie może zawierać nie jedną, ale kilka zmiennych. Na przykład w poprzednim zadaniu zależność wysokości kamieni wyrzucanych z wylotu wulkanu była determinowana nie tylko zmianą charakterystyki czasowej, ale także wartością prędkości początkowej. Ten ostatni był uważany za stałą, stałą wartość. Ale w innych zadaniach o zupełnie innych warunkach wszystko mogłoby być inne. Jeśli ilości, na których kompleksfunkcja, kilka, obliczenia są wykonywane zgodnie z poniższymi wzorami.
Fizyczne znaczenie częstej pochodnej należy określić jak w zwykłym przypadku. Jest to szybkość, z jaką funkcja zmienia się w pewnym momencie, gdy parametr zmiennej wzrasta. Jest obliczany w taki sposób, że wszystkie inne składniki są traktowane jako stałe, tylko jeden jest uważany za zmienną. Wtedy wszystko dzieje się według zwykłych zasad.
Niezbędny doradca w wielu sprawach
Zrozumienie fizycznego znaczenia pochodnej, nietrudno podać przykłady rozwiązywania skomplikowanych i złożonych problemów, na które można znaleźć odpowiedź z taką wiedzą. Jeśli mamy funkcję opisującą zużycie paliwa w zależności od prędkości samochodu, możemy obliczyć przy jakich parametrach tego ostatniego zużycie benzyny będzie najmniejsze.
W medycynie można przewidzieć, jak ludzkie ciało zareaguje na lek przepisany przez lekarza. Przyjmowanie leku wpływa na szereg parametrów fizjologicznych. Należą do nich zmiany ciśnienia krwi, tętna, temperatury ciała i inne. Wszystkie zależą od dawki przyjmowanego leku. Obliczenia te pomagają przewidzieć przebieg leczenia, zarówno w korzystnych objawach, jak i w niepożądanych wypadkach, które mogą śmiertelnie wpłynąć na zmiany w ciele pacjenta.
Niewątpliwie ważne jest zrozumienie fizycznego znaczenia pochodnej w języku technicznymzagadnienia, w szczególności w elektrotechnice, elektronice, projektowaniu i budownictwie.
Droga hamowania
Rozważmy następny problem. Poruszając się ze stałą prędkością samochód zbliżając się do mostu musiał zwolnić 10 sekund przed wjazdem, gdyż kierowca zauważył znak drogowy zakazujący poruszania się z prędkością ponad 36 km/h. Czy kierowca naruszył przepisy, jeśli drogę hamowania można opisać wzorem S=26t - t2?
Obliczając pierwszą pochodną, znajdujemy wzór na prędkość, otrzymujemy v=28 – 2t. Następnie zastąp wartość t=10 w określonym wyrażeniu.
Ponieważ wartość ta została wyrażona w sekundach, prędkość wynosi 8 m/s, co oznacza 28,8 km/h. Pozwala to zrozumieć, że kierowca w porę zaczął zwalniać i nie naruszył przepisów ruchu drogowego, a co za tym idzie ograniczenia wskazanego na znaku prędkości.
To dowodzi znaczenia fizycznego znaczenia pochodnej. Przykład rozwiązania tego problemu ukazuje szerokie zastosowanie tego pojęcia w różnych sferach życia. Również w codziennych sytuacjach.
Pochodna w ekonomii
Do XIX wieku ekonomiści w większości działali przeciętnie, niezależnie od tego, czy chodziło o wydajność pracy, czy o cenę produkcji. Ale od pewnego momentu limitowanie wartości stało się bardziej niezbędne do tworzenia skutecznych prognoz w tym obszarze. Należą do nich użyteczność krańcowa, dochód lub koszt. Zrozumienie tego dało impuls do stworzenia zupełnie nowego narzędzia w badaniach ekonomicznych,która istnieje i rozwija się od ponad stu lat.
Aby wykonać takie obliczenia, w których przeważają pojęcia takie jak minimum i maksimum, konieczne jest po prostu zrozumienie geometrycznego i fizycznego znaczenia pochodnej. Wśród twórców podstaw teoretycznych tych dyscyplin można wymienić tak wybitnych ekonomistów angielskich i austriackich jak US Jevons, K. Menger i inni. Oczywiście wartości graniczne w obliczeniach ekonomicznych nie zawsze są wygodne w użyciu. I np. raporty kwartalne niekoniecznie wpisują się w istniejący schemat, ale mimo to zastosowanie takiej teorii w wielu przypadkach jest przydatne i skuteczne.
