Prawdziwa wiedza zawsze opierała się na ustaleniu wzorca i udowodnieniu jego prawdziwości w określonych okolicznościach. Przez tak długi okres istnienia logicznego rozumowania podano sformułowania reguł, a Arystoteles ułożył nawet listę „prawidłowego rozumowania”. Historycznie zwyczajowo wszystkie wnioskowania dzieli się na dwa typy - od konkretu do liczby mnogiej (indukcja) i odwrotnie (dedukcja). Należy zauważyć, że rodzaje dowodów od szczegółowego do ogólnego i od ogólnego do szczegółowego istnieją tylko w związku i nie mogą być zamieniane.
Indukcja w matematyce
Termin „indukcja” (indukcja) ma łacińskie korzenie i dosłownie tłumaczy się jako „naprowadzanie”. Po bliższym przyjrzeniu się można wyróżnić budowę słowa, a mianowicie przedrostek łaciński - in- (oznacza działanie skierowane do wewnątrz lub bycie wewnątrz) oraz -duction - wprowadzenie. Warto zauważyć, że istnieją dwa rodzaje - indukcja pełna i niepełna. Pełna forma charakteryzuje się wnioskami wyciągniętymi z badania wszystkich przedmiotów danej klasy.
Niekompletne - wnioski,ma zastosowanie do wszystkich przedmiotów w klasie, ale w oparciu o badanie tylko niektórych jednostek.
Pełna indukcja matematyczna - wniosek oparty na ogólnym wniosku dotyczącym całej klasy dowolnych obiektów, które są funkcjonalnie powiązane relacjami naturalnego szeregu liczb, opartym na znajomości tego funkcjonalnego związku. W tym przypadku proces sprawdzania odbywa się w trzech etapach:
- na pierwszym z nich udowodniono poprawność twierdzenia o indukcji matematycznej. Przykład: f=1, to jest podstawa indukcji;
- Następny etap opiera się na założeniu, że pozycja jest ważna dla wszystkich liczb naturalnych. To znaczy, f=h, to jest hipoteza indukcyjna;
- na trzecim etapie słuszność pozycji dla liczby f=h+1 zostaje udowodniona na podstawie poprawności pozycji z poprzedniego paragrafu - jest to przejście indukcyjne lub krok indukcji matematycznej. Przykładem jest tak zwana „zasada domina”: jeśli pierwsza kość w rzędzie spada (podstawa), to wszystkie kamienie w rzędzie spadają (przejście).
Żarty i poważne
Dla ułatwienia percepcji przykłady rozwiązań metodą indukcji matematycznej określane są jako problemy żartobliwe. To jest zadanie uprzejmej kolejki:
Zasady postępowania zabraniają mężczyźnie skręcać się przed kobietą (w takiej sytuacji zostaje ona wypuszczona). Opierając się na tym stwierdzeniu, jeśli ostatni w kolejce to mężczyzna, to cała reszta to mężczyźni
Uderzającym przykładem metody indukcji matematycznej jest problem „Lot bezwymiarowy”:
Wymagane jest udowodnienie tego wminibus zmieści dowolną liczbę osób. Prawdą jest, że jedna osoba bez problemu zmieści się do środka transportu (podstawa). Ale bez względu na to, jak pełny jest minibus, zawsze zmieści się w nim 1 pasażer (krok indukcyjny)
Znajome kręgi
Przykłady rozwiązywania problemów i równań za pomocą indukcji matematycznej są dość powszechne. Jako ilustrację tego podejścia rozważ następujący problem.
Warunek: na płaszczyźnie znajduje się h okręgów. Wymagane jest wykazanie, że dla dowolnego układu figur, tworzona przez nie mapa może być poprawnie pokolorowana dwoma kolorami.
Decyzja: dla h=1 prawdziwość stwierdzenia jest oczywista, więc dowód zostanie zbudowany dla liczby kół h+1.
Załóżmy, że stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej mapy i okręgi h+1 są podane na płaszczyźnie. Usuwając jedno z kół z sumy, możesz uzyskać mapę poprawnie pokolorowaną dwoma kolorami (czarnym i białym).
Podczas przywracania usuniętego okręgu, kolor każdego obszaru zmienia się na przeciwny (w tym przypadku wewnątrz okręgu). Rezultatem jest mapa poprawnie pokolorowana dwoma kolorami, co wymagało udowodnienia.
Przykłady z liczbami naturalnymi
Zastosowanie metody indukcji matematycznej przedstawiono poniżej.
Przykłady rozwiązań:
Udowodnij, że dla dowolnej h równość będzie poprawna:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Rozwiązanie:
1. Niech h=1, wtedy:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Z tego wynika, że dla h=1 stwierdzenie jest poprawne.
2. Zakładając h=d, równanie to:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Zakładając, że h=d+1, okazuje się:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
W ten sposób udowodniono słuszność równości dla h=d+1, zatem twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej, co pokazano na przykładzie rozwiązania za pomocą indukcji matematycznej.
Zadanie
Warunek: wymagany jest dowód, że dla dowolnej wartości h wyrażenie 7h-1 jest podzielne przez 6 bez reszty.
Rozwiązanie:
1. Powiedzmy, że h=1, w tym przypadku:
R1=71-1=6 (tj. podzielne przez 6 bez reszty)
Dlatego dla h=1 stwierdzenie jest prawdziwe;
2. Niech h=d i 7d-1 jest podzielne przez 6 bez reszty;
3. Dowodem słuszności twierdzenia dla h=d+1 jest formuła:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
W tym przypadku pierwszy wyraz jest podzielny przez 6 zgodnie z założeniem pierwszego akapitu, a drugitermin wynosi 6. Stwierdzenie, że 7h-1 jest podzielne przez 6 bez reszty dla dowolnego naturalnego h, jest prawdziwe.
Fałszywy osąd
Często w dowodach używane jest błędne rozumowanie z powodu niedokładności użytych konstrukcji logicznych. Zasadniczo dzieje się tak, gdy naruszona zostanie struktura i logika dowodu. Przykładem nieprawidłowego rozumowania jest poniższa ilustracja.
Zadanie
Warunek: wymagany jest dowód, że żaden stos kamieni nie jest stosem.
Rozwiązanie:
1. Powiedzmy, że h=1, w tym przypadku w stosie jest 1 kamień, a stwierdzenie jest prawdziwe (podstawa);
2. Niech będzie prawdą dla h=d, że stos kamieni nie jest stosem (założenie);
3. Niech h=d+1, z czego wynika, że gdy doda się jeszcze jeden kamień, zbiór nie będzie kupą. Wniosek sugeruje sam, że założenie jest ważne dla wszystkich naturalnych h.
Błąd polega na tym, że nie ma definicji, ile kamieni tworzy stos. Takie pominięcie nazywa się pospiesznym uogólnieniem w metodzie indukcji matematycznej. Przykład pokazuje to wyraźnie.
Indukcja i prawa logiki
Historycznie przykłady indukcji i dedukcji zawsze idą w parze. Takie dyscypliny naukowe jak logika, filozofia opisują je jako przeciwieństwa.
Z punktu widzenia prawa logiki definicje indukcyjne opierają się na faktach, a prawdziwość przesłanek nie przesądza o poprawności otrzymanego stwierdzenia. Często uzyskiwanewnioski z pewnym stopniem prawdopodobieństwa i wiarygodności, które oczywiście muszą zostać zweryfikowane i potwierdzone dodatkowymi badaniami. Przykładem indukcji w logice może być zdanie:
Susza w Estonii, sucho na Łotwie, sucho na Litwie.
Estonia, Łotwa i Litwa to kraje bałtyckie. Susza we wszystkich krajach bałtyckich.
Z przykładu możemy wywnioskować, że nowej informacji lub prawdy nie można uzyskać metodą indukcji. Jedyne, na co możesz liczyć, to pewna prawdziwość wniosków. Co więcej, prawdziwość przesłanek nie gwarantuje tych samych wniosków. Fakt ten nie oznacza jednak, że indukcja wegetuje na podwórku dedukcji: ogromna liczba przepisów i praw naukowych uzasadnia się metodą indukcji. Przykładem może być matematyka, biologia i inne nauki. Wynika to w większości z pełnej metody indukcyjnej, ale w niektórych przypadkach można również zastosować częściowe.
Czcigodny wiek indukcji pozwolił jej przeniknąć do niemal wszystkich dziedzin ludzkiej działalności - to jest nauka, ekonomia i codzienne wnioski.
Indukcja w środowisku naukowym
Metoda indukcji wymaga skrupulatnego podejścia, ponieważ zbyt wiele zależy od liczby badanych szczegółów całości: im większa liczba badanych, tym bardziej wiarygodny wynik. W oparciu o tę cechę prawa naukowe uzyskane przez indukcję są przez długi czas testowane na poziomie założeń probabilistycznych w celu wyizolowania i zbadania wszystkich możliwychelementy konstrukcyjne, połączenia i wpływy.
W nauce wniosek indukcyjny opiera się na istotnych cechach, z wyjątkiem przepisów losowych. Fakt ten jest istotny w związku ze specyfiką wiedzy naukowej. Widać to wyraźnie na przykładach indukcji w nauce.
W świecie naukowym istnieją dwa rodzaje indukcji (w związku ze sposobem studiowania):
- wybór indukcyjny (lub wybór);
- indukcja - wykluczenie (eliminacja).
Pierwszy typ charakteryzuje się metodycznym (dokładnym) próbkowaniem klasy (podklas) z jej różnych obszarów.
Przykład tego typu indukcji jest następujący: srebro (lub sole srebra) oczyszcza wodę. Konkluzja opiera się na długoterminowych obserwacjach (rodzaj selekcji potwierdzeń i odrzuceń - selekcja).
Drugi typ indukcji opiera się na wnioskach, które ustalają związki przyczynowe i wykluczają okoliczności, które nie spełniają jej właściwości, a mianowicie uniwersalność, przestrzeganie kolejności czasowej, konieczność i jednoznaczność.
Indukcja i dedukcja z punktu widzenia filozofii
Jeśli spojrzysz na retrospektywę historyczną, termin „indukcja” został po raz pierwszy wymieniony przez Sokratesa. Arystoteles opisał przykłady indukcji w filozofii w bardziej przybliżonym słowniku terminologicznym, ale kwestia indukcji niepełnej pozostaje otwarta. Po prześladowaniach sylogizmu arystotelesowskiego metoda indukcyjna zaczęła być uznawana za owocną i jedyną możliwą w naukach przyrodniczych. Boczek jest uważany za ojca indukcji jako niezależnej metody specjalnej, ale nie udało mu się oddzielić,jak domagali się współcześni, indukcja z metody dedukcyjnej.
Dalszy rozwój indukcji przeprowadził J. Mill, który rozważał teorię indukcji z pozycji czterech głównych metod: zgodności, różnicy, reszt i odpowiadających im zmian. Nic dziwnego, że dzisiaj wymienione metody, po dokładnym zbadaniu, mają charakter dedukcyjny.
Świadomość niepowodzenia teorii Bacona i Milla skłoniła naukowców do zbadania probabilistycznych podstaw indukcji. Jednak nawet tutaj istniały pewne skrajności: próbowano zredukować indukcję do teorii prawdopodobieństwa ze wszystkimi wynikającymi z tego konsekwencjami.
Indukcja otrzymuje wotum zaufania w praktycznym zastosowaniu w niektórych obszarach tematycznych i ze względu na dokładność metryczną podstawy indukcyjnej. Przykładem indukcji i dedukcji w filozofii może być prawo powszechnego ciążenia. W dniu odkrycia prawa Newton był w stanie zweryfikować je z dokładnością do 4 proc. A podczas testowania po ponad dwustu latach poprawność została potwierdzona z dokładnością 0,0001 procent, chociaż test przeprowadzono z tymi samymi uogólnieniami indukcyjnymi.
Współczesna filozofia zwraca większą uwagę na dedukcję, która jest podyktowana logiczną chęcią wyciągnięcia nowej wiedzy (lub prawdy) z tego, co już znane, bez uciekania się do doświadczenia, intuicji, ale z wykorzystaniem „czystego” rozumowania. Odnosząc się do prawdziwych przesłanek w metodzie dedukcyjnej, we wszystkich przypadkach wynikiem jest stwierdzenie prawdziwe.
Ta bardzo ważna cecha nie powinna przyćmić wartości metody indukcyjnej. Od wprowadzenia, opierając się na zdobyczach doświadczenia,staje się również środkiem jej przetwarzania (w tym uogólniania i systematyzacji).
Zastosowanie indukcji w ekonomii
Indukcja i dedukcja są od dawna wykorzystywane jako metody badania gospodarki i przewidywania jej rozwoju.
Zakres zastosowania metody indukcji jest dość szeroki: badanie spełnienia wskaźników prognostycznych (zysk, amortyzacja itp.) oraz ogólna ocena stanu przedsiębiorstwa; tworzenie skutecznej polityki promocji przedsiębiorstwa w oparciu o fakty i ich relacje.
Ta sama metoda indukcji stosowana jest w wykresach Shewharta, gdzie przy założeniu podziału procesów na kontrolowane i niezarządzane stwierdza się, że struktura procesu kontrolowanego jest nieaktywna.
Należy zauważyć, że prawa naukowe są uzasadnione i potwierdzane przy użyciu metody indukcji, a ponieważ ekonomia jest nauką często posługującą się analizą matematyczną, teorią ryzyka i danymi statystycznymi, nie dziwi fakt, że indukcja jest uwzględniona w lista głównych metod.
Poniższa sytuacja może służyć jako przykład indukcji i dedukcji w ekonomii. Wzrost cen żywności (z koszyka konsumenckiego) i dóbr podstawowych skłania konsumenta do myślenia o pojawiających się wysokich kosztach w państwie (indukcja). Jednocześnie z faktu wysokiego kosztu za pomocą metod matematycznych można wyprowadzić wskaźniki wzrostu cen dla poszczególnych towarów lub kategorii towarów (odliczenia).
Najczęściej kadra kierownicza, menedżerowie i ekonomiści odwołują się do metody indukcji. W celumożna było przewidzieć z wystarczającą prawdziwością rozwój przedsiębiorstwa, zachowanie rynku, konsekwencje konkurencji, potrzebne jest indukcyjno-dedukcyjne podejście do analizy i przetwarzania informacji.
Ilustracyjny przykład indukcji w ekonomii związanej z błędnymi osądami:
-
zysk firmy spadł o 30%;
konkurent rozszerza linię produktów;
nic więcej się nie zmieniło;
- Polityka produkcyjna konkurenta spowodowała 30% cięcie zysków;
- stąd potrzeba wdrożenia tej samej polityki produkcyjnej.
Przykład jest kolorową ilustracją tego, jak nieumiejętne użycie metody indukcji przyczynia się do ruiny przedsiębiorstwa.
Odliczenie i indukcja w psychologii
Skoro istnieje metoda, to logicznie rzecz biorąc, istnieje również odpowiednio zorganizowane myślenie (aby użyć metody). Psychologia jako nauka badająca procesy psychiczne, ich powstawanie, rozwój, relacje, interakcje, zwraca uwagę na myślenie „dedukcyjne” jako jedną z form przejawów dedukcji i indukcji. Niestety na stronach psychologii w Internecie praktycznie nie ma uzasadnienia dla integralności metody dedukcyjno-indukcyjnej. Chociaż zawodowi psychologowie częściej spotykają się z przejawami indukcji, a raczej błędnymi wnioskami.
Przykładem indukcji w psychologii, jako ilustracja błędnych osądów, jest stwierdzenie: moja matka jest zwodzicielką, dlatego wszystkie kobiety są zwodzicielami. Możesz nauczyć się jeszcze bardziej "błędnych" przykładów indukcji z życia:
- uczeń nie jest zdolny do niczego, jeśli otrzymał dwójkę z matematyki;
- on jest głupcem;
- on jest mądry;
- Mogę zrobić wszystko;
- i wiele innych osądów wartościujących opartych na całkowicie przypadkowych, a czasem nieistotnych wiadomościach.
Należy zauważyć: kiedy błędne osądy danej osoby osiągają punkt absurdu, psychoterapeuta ma przed sobą front pracy. Jeden przykład wprowadzenia podczas wizyty u specjalisty:
„Pacjent jest absolutnie pewien, że czerwony kolor niesie dla niego tylko niebezpieczeństwo w jakichkolwiek przejawach. W rezultacie osoba wykluczyła tę kolorystykę ze swojego życia - na ile to możliwe. W środowisku domowym istnieje wiele możliwości wygodnego życia. Możesz odrzucić wszystkie czerwone przedmioty lub zastąpić je analogami wykonanymi w innej kolorystyce. Ale w miejscach publicznych, w pracy, w sklepie – to niemożliwe. Wchodząc w sytuację stresu, pacjent za każdym razem doświadcza „przypływu” zupełnie innych stanów emocjonalnych, które mogą być niebezpieczne dla innych.”
Ten przykład indukcji, nieświadomie, nazywany jest "ustalonymi pomysłami". Jeśli tak się stanie z osobą zdrową psychicznie, możemy mówić o braku organizacji aktywności umysłowej. Podstawowy rozwój myślenia dedukcyjnego może stać się sposobem na pozbycie się stanów obsesyjnych. W innych przypadkach z takimi pacjentami pracują psychiatrzy.
Powyższe przykłady indukcji wskazują, że „nieznajomość prawa nie oznaczauwalnia od konsekwencji (błędnych osądów).”
Psycholodzy, zajmujący się tematem wnioskowania dedukcyjnego, opracowali listę zaleceń, które mają pomóc ludziom opanować tę metodę.
Pierwszym elementem jest rozwiązywanie problemów. Jak widać, formę indukcji używaną w matematyce można uznać za "klasyczną", a użycie tej metody przyczynia się do "dyscypliny" umysłu.
Następnym warunkiem rozwoju myślenia dedukcyjnego jest poszerzanie horyzontów (ci, którzy myślą jasno, jasno stwierdzają). To zalecenie kieruje „poszkodowanych” do skarbców nauki i informacji (bibliotek, stron internetowych, inicjatyw edukacyjnych, podróży itp.).
Dokładność to kolejna rekomendacja. Wszakże wyraźnie widać na przykładach zastosowania metod indukcyjnych, że jest to pod wieloma względami gwarancja prawdziwości wypowiedzi.
Nie omijały elastyczności umysłu, co implikowało możliwość zastosowania różnych sposobów i podejść w rozwiązywaniu problemu, a także uwzględnienie zmienności rozwoju wydarzeń.
I oczywiście obserwacja, która jest głównym źródłem doświadczenia empirycznego.
Na szczególną uwagę zasługuje tak zwana "indukcja psychologiczna". Termin ten, choć nieczęsty, można znaleźć w Internecie. Wszystkie źródła nie podają choćby krótkiego sformułowania definicji tego terminu, ale powołują się na „przykłady z życia”, przedstawiając jednocześnie sugestię lub niektóre formy choroby psychicznej jako nowy rodzaj indukcji,To są skrajne stany ludzkiej psychiki. Z powyższego jasno wynika, że próba wyprowadzenia „nowego terminu” na podstawie fałszywych (często nieprawdziwych) przesłanek skazuje eksperymentatora na otrzymanie błędnego (lub pochopnego) stwierdzenia.
Należy zauważyć, że odniesienie do eksperymentów z 1960 r. (bez określenia miejsca, nazwisk eksperymentatorów, próby badanych i, co najważniejsze, celu eksperymentu) wygląda, delikatnie mówiąc, nieprzekonujące, a stwierdzenie, że mózg odbiera informacje z pominięciem wszystkich narządów percepcji (fraza „jest dotknięta” w tym przypadku pasowałaby bardziej organicznie), skłania do myślenia o łatwowierności i bezkrytyczności autora wypowiedzi.
Zamiast konkluzji
Królowa nauk - matematyka, świadomie wykorzystuje wszelkie możliwe rezerwy metody indukcji i dedukcji. Rozważane przykłady pozwalają stwierdzić, że powierzchowne i nieudolne (jak mówią bezmyślne) zastosowanie nawet najbardziej dokładnych i niezawodnych metod zawsze prowadzi do błędnych wyników.
W masowej świadomości metoda dedukcji kojarzy się ze słynnym Sherlockiem Holmesem, który w swoich konstrukcjach logicznych często posługuje się przykładami indukcji, stosując dedukcję w sytuacjach koniecznych.
W artykule przeanalizowano przykłady zastosowania tych metod w różnych naukach i sferach ludzkiego życia.
