Teoria prawdopodobieństwa to specjalna gałąź matematyki, którą studiują tylko studenci wyższych uczelni. Kochasz obliczenia i formuły? Nie boisz się perspektyw poznania rozkładu normalnego, entropii zespołu, oczekiwań matematycznych i wariancji dyskretnej zmiennej losowej? Wtedy ten temat będzie dla Ciebie bardzo interesujący. Zapoznajmy się z niektórymi z najważniejszych podstawowych pojęć tej części nauki.
Przypomnij podstawy
Nawet jeśli pamiętasz najprostsze pojęcia teorii prawdopodobieństwa, nie zaniedbuj pierwszych akapitów artykułu. Faktem jest, że bez jasnego zrozumienia podstaw nie będziesz w stanie pracować z omówionymi poniżej formułami.
Tak więc jest jakieś przypadkowe zdarzenie, jakiś eksperyment. W wyniku wykonanych czynności możemy uzyskać kilka wyników – niektóre z nich są bardziej powszechne, inne mniej powszechne. Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby faktycznie otrzymanych wyników jednego typu do całkowitej liczby możliwych. Dopiero znając klasyczną definicję tego pojęcia, możesz zacząć badać matematyczne oczekiwanie i wariancję ciągłościzmienne losowe.
Średnia arytmetyczna
Nawet w szkole, na lekcjach matematyki, zacząłeś pracować ze średnią arytmetyczną. Pojęcie to jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa i dlatego nie można go zignorować. Najważniejsze dla nas w tej chwili jest to, że spotkamy się z nim we wzorach na matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej.
Mamy ciąg liczb i chcemy znaleźć średnią arytmetyczną. Wystarczy zsumować wszystko, co jest dostępne i podzielić przez liczbę elementów w sekwencji. Niech mamy liczby od 1 do 9. Suma elementów wyniesie 45, a tę wartość podzielimy przez 9. Odpowiedź: - 5.
Rozproszenie
Z naukowego punktu widzenia wariancja to średni kwadrat odchyleń uzyskanych wartości cech od średniej arytmetycznej. Jeden jest oznaczony wielką łacińską literą D. Co jest potrzebne do obliczenia? Dla każdego elementu ciągu obliczamy różnicę między dostępną liczbą a średnią arytmetyczną i poddajemy ją kwadratowi. Będzie dokładnie tyle wartości, ile może być wyników dla wydarzenia, które rozważamy. Następnie podsumowujemy wszystko, co otrzymaliśmy i dzielimy przez liczbę elementów w sekwencji. Jeśli mamy pięć możliwych wyników, podziel przez pięć.
Rozproszenie ma również właściwości, o których należy pamiętać, aby zastosować je przy rozwiązywaniu problemów. Na przykład, jeśli zmienna losowa jest zwiększona X razy, wariancja zwiększa się X razy kwadrat (tj. XX). Nigdy nie jest mniejsza od zera i nie zależy odprzesunięcie wartości o równą wartość w górę lub w dół. Ponadto w przypadku prób niezależnych wariancja sumy jest równa sumie wariancji.
Teraz zdecydowanie musimy rozważyć przykłady wariancji dyskretnej zmiennej losowej i matematyczne oczekiwanie.
Załóżmy, że przeprowadziliśmy 21 eksperymentów i uzyskaliśmy 7 różnych wyników. Każdego z nich obserwowaliśmy odpowiednio 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 razy. Jaka będzie wariancja?
Najpierw obliczmy średnią arytmetyczną: suma elementów to oczywiście 21. Podziel ją przez 7, otrzymując 3. Teraz odejmij 3 od każdej liczby w oryginalnym ciągu, podnieś do kwadratu każdą wartość i dodaj wyniki razem. Okazuje się, że 12. Teraz pozostaje nam podzielić liczbę przez liczbę elementów i wydaje się, że to wszystko. Ale jest w tym haczyk! Porozmawiajmy o tym.
Zależność od liczby eksperymentów
Okazuje się, że przy obliczaniu wariancji mianownik może być jedną z dwóch liczb: N lub N-1. Tutaj N to liczba wykonanych eksperymentów lub liczba elementów w sekwencji (która w rzeczywistości jest taka sama). Od czego to zależy?
Jeśli liczba testów jest mierzona w setkach, to w mianowniku musimy wstawić N. Jeśli w jednostkach, to N-1. Naukowcy postanowili narysować granicę dość symbolicznie: dziś biegnie ona wzdłuż liczby 30. Jeśli przeprowadziliśmy mniej niż 30 eksperymentów, to podzielimy tę liczbę przez N-1, a jeśli więcej, to przez N.
Zadanie
Wróćmy do naszego przykładu rozwiązywania problemu wariancji i oczekiwań. Myotrzymała pośrednią liczbę 12, którą należało podzielić przez N lub N-1. Ponieważ przeprowadziliśmy 21 eksperymentów, czyli mniej niż 30, wybierzemy drugą opcję. Więc odpowiedź brzmi: wariancja wynosi 12 / 2=2.
Oczekiwanie
Przejdźmy do drugiej koncepcji, którą musimy rozważyć w tym artykule. Oczekiwanie matematyczne jest wynikiem dodania wszystkich możliwych wyników pomnożonych przez odpowiadające prawdopodobieństwa. Ważne jest, aby zrozumieć, że wynikowa wartość, jak również wynik obliczenia wariancji, jest uzyskiwany tylko raz dla całego zadania, bez względu na to, ile wyników bierze pod uwagę.
Formuła oczekiwania jest dość prosta: bierzemy wynik, mnożymy go przez jego prawdopodobieństwo, dodajemy to samo dla drugiego, trzeciego wyniku itd. Wszystko, co jest związane z tą koncepcją, jest łatwe do obliczenia. Na przykład suma oczekiwań matematycznych jest równa matematycznym oczekiwaniom sumy. To samo dotyczy pracy. Nie każda wielkość w teorii prawdopodobieństwa pozwala na wykonanie tak prostych operacji. Weźmy zadanie i obliczmy wartość dwóch pojęć, które studiowaliśmy jednocześnie. Dodatkowo rozpraszała nas teoria - czas na praktykę.
Inny przykład
Przeprowadziliśmy 50 prób i otrzymaliśmy 10 rodzajów wyników – liczby od 0 do 9 – pojawiające się w różnych procentach. Są to odpowiednio: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Przypomnijmy, że aby uzyskać prawdopodobieństwa, należy podzielić wartości procentowe przez 100. W ten sposób otrzymujemy 0,02; 0, 1 itd. Zaprezentujmy wariancję losowegowartość i oczekiwanie matematyczne przykład rozwiązania problemu.
Oblicz średnią arytmetyczną korzystając ze wzoru, który pamiętamy ze szkoły podstawowej: 50/10=5.
Teraz przełóżmy prawdopodobieństwa na liczbę wyników "w kawałkach", aby łatwiej było je policzyć. Otrzymujemy 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od każdej otrzymanej wartości odejmij średnią arytmetyczną, po czym każdy z otrzymanych wyników podniesiemy do kwadratu. Zobacz, jak to zrobić na przykładzie pierwszego elementu: 1 - 5=(-4). Dalej: (-4)(-4)=16. W przypadku innych wartości wykonaj te operacje samodzielnie. Jeśli zrobiłeś wszystko dobrze, to po dodaniu wszystkich wyników pośrednich otrzymasz 90.
Kontynuuj obliczanie wariancji i średniej, dzieląc 90 przez N. Dlaczego wybieramy N, a nie N-1? Zgadza się, bo liczba wykonanych eksperymentów przekracza 30. Czyli: 90/10=9. Otrzymaliśmy dyspersję. Jeśli dostaniesz inny numer, nie rozpaczaj. Najprawdopodobniej popełniłeś banalny błąd w obliczeniach. Sprawdź jeszcze raz, co napisałeś, a wszystko na pewno się ułoży.
Na koniec pamiętajmy o formule oczekiwania. Nie podamy wszystkich obliczeń, napiszemy tylko odpowiedź, z którą możesz sprawdzić po wykonaniu wszystkich wymaganych procedur. Oczekiwanie będzie równe 5, 48. Przypominamy sobie tylko, jak wykonywać operacje, na przykładzie pierwszych elementów: 00, 02 + 10, 1… i tak dalej. Jak widać, po prostu mnożymy wartość wyniku przez jego prawdopodobieństwo.
Odchylenie
Kolejną koncepcją ściśle związaną z wariancją i wartością oczekiwaną jestodchylenie standardowe. Jest oznaczony albo łacińskimi literami sd, albo grecką małą literą „sigma”. Ta koncepcja pokazuje, jak średnio wartości odbiegają od cechy centralnej. Aby znaleźć jego wartość, musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy z wariancji.
Jeśli tworzysz wykres rozkładu normalnego i chcesz bezpośrednio na nim zobaczyć wartość odchylenia standardowego, można to zrobić w kilku etapach. Zrób połowę obrazu po lewej lub prawej stronie trybu (wartość środkowa), narysuj prostopadle do osi poziomej, tak aby obszary wynikowych figur były równe. Wartość odcinka między środkiem rozkładu a wynikowym rzutem na oś poziomą będzie odchyleniem standardowym.
Oprogramowanie
Jak widać z opisów wzorów i przedstawionych przykładów, obliczanie wariancji i oczekiwań matematycznych nie jest najłatwiejszą procedurą z arytmetycznego punktu widzenia. Aby nie tracić czasu, warto skorzystać z programu stosowanego w szkolnictwie wyższym – nazywa się „R”. Posiada funkcje pozwalające na obliczanie wartości dla wielu pojęć ze statystyki i teorii prawdopodobieństwa.
Na przykład definiujesz wektor wartości. Odbywa się to w następujący sposób: wektor <-c(1, 5, 2…). Teraz, gdy musisz obliczyć jakieś wartości dla tego wektora, piszesz funkcję i podajesz ją jako argument. Aby znaleźć wariancję, musisz użyć var. Przykład jejużycie: var(wektor). Następnie wystarczy nacisnąć „enter” i uzyskać wynik.
Na zakończenie
Wariancja i oczekiwanie matematyczne to podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa, bez których trudno jest cokolwiek obliczyć w przyszłości. W głównym toku wykładów na uczelniach uwzględniane są już w pierwszych miesiącach studiowania przedmiotu. To właśnie z powodu niezrozumienia tych prostych pojęć i nieumiejętności ich obliczenia, wielu studentów od razu zaczyna mieć problemy z programem, a później dostaje słabe oceny na koniec sesji, co pozbawia ich stypendiów.
Ćwicz przynajmniej tydzień przez pół godziny dziennie, rozwiązując problemy podobne do tych przedstawionych w tym artykule. Następnie na dowolnym teście prawdopodobieństwa poradzisz sobie z przykładami bez zbędnych wskazówek i ściągawek.
