Systemy numeryczne - co to jest? Nawet nie znając odpowiedzi na to pytanie, każdy z nas mimowolnie używa w swoim życiu systemów liczbowych i nie podejrzewa tego. Zgadza się, liczba mnoga! To znaczy nie jeden, ale kilka. Zanim podamy przykłady niepozycyjnych systemów liczbowych, zrozummy ten problem, porozmawiajmy też o systemach pozycyjnych.
Wymagana faktura
Od czasów starożytnych ludzie mieli potrzebę liczenia, to znaczy intuicyjnie zdawali sobie sprawę, że muszą w jakiś sposób wyrazić ilościową wizję rzeczy i wydarzeń. Mózg sugerował, że do liczenia trzeba używać przedmiotów. Palce zawsze były najwygodniejsze i jest to zrozumiałe, ponieważ są zawsze dostępne (z rzadkimi wyjątkami).
Więc starożytni przedstawiciele rasy ludzkiej musieli zginać palce w dosłownym tego słowa znaczeniu - aby wskazać na przykład liczbę zabitych mamutów. Takie elementy relacji nie miały jeszcze nazw, a jedynie obraz, porównanie.
Nowoczesne systemy numerów pozycyjnych
System liczbowy to metoda (sposób) przedstawiania wartości ilościowych i ilości za pomocą określonych znaków (symboli lub liter).
Konieczne jest zrozumienie, co jest pozycyjne i niepozycyjne w liczeniu przed podaniem przykładów niepozycyjnych systemów liczbowych. Istnieje wiele systemów liczb pozycyjnych. Obecnie w różnych dziedzinach wiedzy są używane następujące elementy: binarny (zawiera tylko dwa znaczące elementy: 0 i 1), szesnastkowy (liczba znaków - 6), ósemkowy (znaki - 8), dwunastkowy (dwanaście znaków), szesnastkowy (zawiera szesnaście postacie). Co więcej, każdy wiersz znaków w systemach zaczyna się od zera. Nowoczesne technologie komputerowe opierają się na wykorzystaniu kodów binarnych - binarnego systemu liczb pozycyjnych.
System liczb dziesiętnych
Pozycyjność to obecność w różnym stopniu znaczących pozycji, na których znajdują się znaki liczby. Najlepiej można to zademonstrować na przykładzie systemu liczb dziesiętnych. W końcu jesteśmy przyzwyczajeni do korzystania z niego od dzieciństwa. W tym systemie jest dziesięć znaków: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Weź liczbę 327. Ma ona trzy znaki: 3, 2, 7. Każdy z nich znajduje się w jego własna pozycja (miejsce). Siódemka zajmuje pozycję zarezerwowaną dla pojedynczych wartości (jednostek), dwie – dziesiątki, a trzy – setki. Ponieważ liczba jest trzycyfrowa, są w niej tylko trzy pozycje.
W oparciu o powyższe, totrzycyfrową liczbę dziesiętną można opisać następująco: trzysta, dwie dziesiątki i siedem jednostek. Ponadto znaczenie (ważność) pozycji liczone jest od lewej do prawej, od pozycji słabej (jednej) do mocniejszej (setki).
Czujemy się bardzo dobrze w systemie liczb dziesiętnych pozycyjnych. Mamy dziesięć palców na dłoniach i tyle samo na nogach. Pięć plus pięć – tak dzięki palcom bez trudu wyobrażamy sobie kilkanaście z dzieciństwa. Dlatego dzieciom łatwo jest nauczyć się tabliczki mnożenia dla pięciu i dziesięciu. A także tak łatwo nauczyć się liczyć banknoty, które najczęściej są wielokrotnościami (czyli dzielone bez reszty) przez pięć i dziesięć.
Inne systemy numerów pozycyjnych
Ku zdziwieniu wielu należy powiedzieć, że nie tylko w systemie liczenia dziesiętnego nasz mózg jest przyzwyczajony do wykonywania pewnych obliczeń. Do tej pory ludzkość używała systemów sześcio- i dwunastorzędowych. Oznacza to, że w takim systemie jest tylko sześć znaków (w systemie szesnastkowym): 0, 1, 2, 3, 4, 5. W systemie dwunastkowym jest ich dwanaście: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, gdzie A - oznacza liczbę 10, B - liczbę 11 (ponieważ znak musi być jeden).
Osądź sam. Czas liczymy w szóstkach, prawda? Jedna godzina to sześćdziesiąt minut (sześć dziesiątek), jeden dzień to dwadzieścia cztery godziny (dwa razy dwanaście), rok to dwanaście miesięcy i tak dalej… Wszystkie przedziały czasowe z łatwością mieszczą się w szeregach sześcio- i dwunastkowych. Ale jesteśmy do tego tak przyzwyczajeni, że nawet nie myślimy o tym, licząc czas.
Niepozycyjne systemy liczbowe. Jednoargumentowy
Konieczne jest zdefiniowanie, co to jest - niepozycyjny system liczbowy. Jest to taki system znaków, w którym nie ma pozycji dla znaków liczby lub zasada „czytania” liczby nie zależy od pozycji. Ma też swoje własne zasady pisania i obliczania.
Podajmy przykłady niepozycyjnych systemów liczbowych. Wróćmy do starożytności. Ludzie potrzebowali konta i wymyślili najprostszy wynalazek - węzły. System liczb niepozycyjnych jest sferoidalny. Jeden przedmiot (worek ryżu, byk, stóg siana itp.) był liczony na przykład przy zakupie lub sprzedaży i zawiązany na sznurku.
W rezultacie na linie zawiązano tyle węzłów, ile kupiono worków ryżu (jako przykład). Ale mogą to być również nacięcia na drewnianym patyku, na kamiennej płycie itp. Taki system liczbowy stał się znany jako sferoidalny. Ma drugie imię - jednoargumentowe lub pojedyncze ("uno" po łacinie oznacza "jeden").
Staje się oczywiste, że ten system liczbowy jest niepozycyjny. W końcu, o jakich stanowiskach możemy mówić, jeśli jest to (pozycja) tylko jedna! Co dziwne, w niektórych częściach Ziemi wciąż używany jest jednoargumentowy system liczb niepozycyjnych.
Ponadto niepozycyjne systemy liczbowe obejmują:
- Roman (litery są używane do pisania cyfr - znaki łacińskie);
- starożytny Egipt (podobny do rzymskiego, używano również symboli);
- alfabetycznie (użyto liter alfabetu);
- Babiloński (pismo klinowe - używane bezpośrednio iodwrócony „klin”);
- Grecki (określany również jako alfabetyczny).
System cyfr rzymskich
Starożytne Cesarstwo Rzymskie, a także jego nauka, były bardzo postępowe. Rzymianie przekazali światu wiele użytecznych wynalazków nauki i sztuki, w tym ich system liczenia. Dwieście lat temu cyfry rzymskie były używane do oznaczania kwot w dokumentach biznesowych (w ten sposób uniknięto fałszerstw).
Numeracja rzymska jest przykładem niepozycyjnego systemu liczbowego, znamy go teraz. Również system rzymski jest aktywnie używany, ale nie do obliczeń matematycznych, ale do wąsko skoncentrowanych działań. Na przykład za pomocą liczb rzymskich zwyczajowo oznacza się daty historyczne, wieki, numery tomów, rozdziałów i rozdziałów w publikacjach książkowych. Znaki rzymskie są często używane do ozdabiania tarcz zegarków. A także numeracja rzymska jest przykładem niepozycyjnego systemu liczbowego.
Rzymianie oznaczali liczby literami łacińskimi. Co więcej, spisywali liczby według pewnych zasad. Istnieje lista kluczowych symboli w systemie liczb rzymskich, za pomocą których zapisano wszystkie liczby bez wyjątku.
| Liczba (dziesiętnie) | Cyfra rzymska (litera alfabetu łacińskiego) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Zasady tworzenia liczb
Wymaganą liczbę uzyskano dodając znaki (litery łacińskie) i obliczając ich sumę. Zastanówmy się, jak symbolicznie pisane są znaki w systemie rzymskim i jak należy je „odczytywać”. Wymieńmy główne prawa tworzenia liczb w rzymskim systemie liczb niepozycyjnych.
- Cyfra cztery - IV, składa się z dwóch znaków (I, V - jeden i pięć). Uzyskuje się go odejmując mniejszy znak od większego, jeśli jest po lewej stronie. Gdy mniejszy znak znajduje się po prawej stronie, musisz dodać, wtedy otrzymasz numer sześć - VI.
- Konieczne jest dodanie obok siebie dwóch identycznych znaków. Na przykład: SS to 200 (C to 100) lub XX to 20.
- Jeżeli pierwszy znak liczby jest mniejszy niż drugi, to trzeci znak w tym wierszu może być znakiem, którego wartość jest nawet mniejsza niż pierwszy. Aby uniknąć nieporozumień, oto przykład: CDX - 410 (w postaci dziesiętnej).
- Niektóre duże liczby mogą być reprezentowane na różne sposoby, co jest jedną z wad rzymskiego systemu liczenia. Oto kilka przykładów: MVM (rzymski)=1000 + (1000 - 5)=1995 (dziesiętny) lub MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. A to nie wszystko.
Sztuczki arytmetyczne
Niepozycyjny system liczbowy to czasami złożony zestaw reguł dotyczących tworzenia liczb, ich przetwarzania (działań na nich). Operacje arytmetyczne w systemach liczb niepozycyjnych nie są łatwedla nowoczesnych ludzi. Nie zazdrościmy starożytnym rzymskim matematykom!
Przykład dodawania. Spróbujmy dodać dwie liczby: XIX + XXVI=XXXV, to zadanie wykonujemy w dwóch krokach:
- Najpierw - weź i dodaj mniejsze ułamki liczb: IX + VI=XV (I po V i I przed X "zniszczą się").
- Drugi - dodaj duże ułamki dwóch liczb: X + XX=XXX.
Odejmowanie jest nieco bardziej skomplikowane. Liczbę, która ma zostać zmniejszona, należy podzielić na jej elementy składowe, a następnie zduplikowane znaki do zmniejszenia w liczbie, która ma zostać zmniejszona i odjęta. Odejmij 263 od 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Mnożenie cyfr rzymskich. Przy okazji trzeba wspomnieć, że Rzymianie nie mieli znaków operacji arytmetycznych, po prostu oznaczali je słowami.
Liczba wielokrotna musiała zostać pomnożona przez każdy indywidualny symbol mnożnika, co skutkowało dodaniem kilku produktów. W ten sposób mnożone są wielomiany.
Jeśli chodzi o dzielenie, ten proces w systemie liczb rzymskich był i pozostaje najtrudniejszy. Wykorzystano tu starożytne rzymskie liczydło. Do pracy z nim specjalnie przeszkolono ludzi (i nie każdej osobie udało się opanować taką naukę).
O wadach systemów niepozycyjnych
Jak wspomniano powyżej, niepozycyjne systemy liczbowe mają swoje wady, niedogodności w użytkowaniu. Jednoargumentowy jest wystarczająco prosty do prostego liczenia, ale do obliczeń arytmetycznych i złożonych tak nie jestwystarczająco dobry.
W języku rzymskim nie ma jednolitych zasad tworzenia dużych liczb i powstaje zamieszanie, a także bardzo trudno jest w nim dokonywać obliczeń. Ponadto największa liczba, jaką starożytni Rzymianie mogli zapisać za pomocą ich metody, wynosiła 100 000.
