Ułamki zwykłe służą do wskazania stosunku części do całości. Na przykład ciasto zostało podzielone między pięcioro dzieci, więc każde otrzymało jedną piątą ciasta (1/5).
Ułamki zwykłe to zapisy postaci a/b, gdzie aib to dowolne liczby naturalne. Licznik to pierwsza lub górna liczba, a mianownik to druga lub dolna liczba. Mianownik wskazuje liczbę części, przez które została podzielona całość, a licznik wskazuje liczbę pobranych części.
Historia wspólnych ułamków
Ułamki są wymieniane po raz pierwszy w rękopisach z VIII wieku, znacznie później - w XVII wieku - będą nazywane „złamanymi liczbami”. Numery te przyszły do nas ze starożytnych Indii, następnie były używane przez Arabów, a do XII wieku pojawiły się wśród Europejczyków.
Początkowo zwykłe ułamki miały postać: 1/2, 1/3, 1/4 itd. Takie ułamki, które miały jednostkę w liczniku i oznaczały ułamki całości, nazwano podstawowymi. Wiele wieków późniejGrecy, a po nich Indianie, zaczęli używać innych ułamków, których części mogły składać się z dowolnych liczb naturalnych.
Klasyfikacja wspólnych ułamków
Istnieją ułamki poprawne i niewłaściwe. Prawidłowe to te, w których mianownik jest większy niż licznik, a niewłaściwe są odwrotnie.
Każdy ułamek jest wynikiem ilorazu, więc linię ułamkową można bezpiecznie zastąpić znakiem dzielenia. Nagrywanie tego typu jest stosowane, gdy podział nie może być przeprowadzony w całości. Odwołując się do przykładu na początku artykułu, powiedzmy, że dziecko dostaje część ciasta, a nie cały smakołyk.
Jeśli liczba ma tak złożony zapis jak 2 3/5 (dwie liczby całkowite i trzy piąte), to jest mieszana, ponieważ liczba naturalna ma również część ułamkową. Wszystkie ułamki niewłaściwe można dowolnie zamieniać na liczby mieszane, dzieląc licznik całkowicie przez mianownik (a więc cała część jest przydzielana), reszta jest zapisywana w miejsce licznika z mianownikiem warunkowym. Weźmy jako przykład ułamek 77/15. Podziel 77 przez 15, otrzymamy część całkowitą 5, a resztę 2. Zatem otrzymamy liczbę mieszaną 5 2/15 (pięć liczb całkowitych i dwie piętnaste).
Możesz również wykonać operację odwrotną - wszystkie liczby mieszane można łatwo przekonwertować na niepoprawne. Mnożymy liczbę naturalną (część całkowitą) przez mianownik i dodajemy ją z licznikiem części ułamkowej. Zróbmy powyższe z ułamkiem 5 2/15. Mnożymy 5 przez 15, otrzymujemy 75. Następnie dodajemy 2 do otrzymanej liczby, otrzymujemy 77. Zostawiamy mianownik taki sam, a oto ułamek pożądanego typu - 77/15.
Redukcja zwyczajnościułamki
Co oznacza operacja redukcji ułamków? Dzielenie licznika i mianownika przez jedną niezerową liczbę, która będzie wspólnym dzielnikiem. W przykładzie wygląda to tak: 5/10 można zmniejszyć o 5. Licznik i mianownik są całkowicie podzielone przez liczbę 5 i otrzymuje się ułamek 1/2. Jeśli niemożliwe jest zmniejszenie ułamka, nazywa się to nieredukowalnym.
Aby ułamki postaci m/n i p/q były równe, musi istnieć następująca równość: mq=np. W związku z tym ułamki nie będą równe, jeśli równość nie zostanie spełniona. Porównywane są również frakcje. Spośród ułamków o równych mianownikach ten z większym licznikiem jest większy. I odwrotnie, wśród ułamków o równych licznikach ten z większym mianownikiem jest mniejszy. Niestety nie można w ten sposób porównać wszystkich ułamków. Często, aby porównać ułamki, trzeba je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika (LCD).
NOZ
Rozważmy to na przykładzie: musimy porównać ułamki 1/3 i 5/12. Pracujemy z mianownikami, najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM) dla liczb 3 i 12 - 12. Następnie przejdźmy do liczników. LCM dzielimy przez pierwszy mianownik, otrzymujemy liczbę 4 (jest to dodatkowy czynnik). Następnie mnożymy liczbę 4 przez licznik pierwszego ułamka, więc pojawił się nowy ułamek 4/12. Dalej, kierując się prostymi podstawowymi zasadami, możemy łatwo porównywać ułamki: 4/12 < 5/12, co oznacza 1/3 < 5/12.
Pamiętaj: gdy licznik wynosi zero, wtedy cały ułamek jest równy zero. Ale mianownik nigdy nie może być równy zero, ponieważ nie można dzielić przez zero. Kiedymianownik jest równy jeden, wtedy wartość całego ułamka jest równa licznikowi. Okazuje się, że dowolna liczba jest swobodnie reprezentowana jako licznik i mianownik jedności: 5/1, 4/1 i tak dalej.
Operacje arytmetyczne na ułamkach
Porównanie ułamków zostało omówione powyżej. Przejdźmy do uzyskania sumy, różnicy, iloczynu i ułamków częściowych:
Dodawanie lub odejmowanie jest wykonywane tylko po redukcji ułamków do NOZ. Następnie liczniki są dodawane lub odejmowane i zapisywane z niezmienionym mianownikiem: 5/7 + 1/7=6/7, 5/7 - 1/7=4/7
- Mnożenie ułamków jest nieco inne: działają oddzielnie z licznikami, a następnie z mianownikami: 5/71/7=(51) / (77)=5/49.
- Aby podzielić ułamki, musisz pomnożyć pierwszy przez odwrotność drugiego (odwrotności to 5/7 i 7/5). Zatem: 5/7: 1/7=5/77/1=35/7=5.
Musisz wiedzieć, że podczas pracy z liczbami mieszanymi operacje są wykonywane osobno na częściach całkowitych i osobno na częściach ułamkowych: 5 5/7 + 3 1/7=8 6/7 (osiem liczb całkowitych i sześć siódmych). W tym przypadku dodaliśmy 5 i 3, a następnie 5/7 z 1/7. W przypadku mnożenia lub dzielenia należy tłumaczyć liczby mieszane i pracować z ułamkami niewłaściwymi.
Najprawdopodobniej po przeczytaniu tego artykułu dowiedziałeś się wszystkiego o zwykłych ułamkach, od historii ich występowania po operacje arytmetyczne. Mamy nadzieję, że wszystkie Twoje pytania zostały rozwiązane.
