Już w szkole podstawowej uczniowie mają do czynienia z ułamkami. A potem pojawiają się w każdym temacie. Nie można zapomnieć o działaniach z tymi liczbami. Dlatego musisz znać wszystkie informacje o ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Te pojęcia są proste, najważniejsze jest zrozumienie wszystkiego w porządku.
Dlaczego potrzebujemy ułamków?
Świat wokół nas składa się z całych obiektów. Dlatego nie ma potrzeby posiadania akcji. Ale codzienne życie nieustannie zmusza ludzi do pracy z częściami przedmiotów i rzeczy.
Na przykład czekolada składa się z kilku plasterków. Rozważ sytuację, w której jego kafelek składa się z dwunastu prostokątów. Jeśli podzielisz go na dwie części, otrzymasz 6 części. Będzie dobrze podzielony na trzy. Ale pięć nie może dać całej liczby kawałków czekolady.
Nawiasem mówiąc, te plastry są już ułamkami. A ich dalszy podział prowadzi do bardziej złożonych liczb.
Co to jest „ułamek”?
To jest liczba składająca się z części jednego. Na zewnątrz wygląda jak dwie liczby oddzielonepoziomo lub ukośnik. Ta funkcja nazywa się ułamkową. Liczba zapisana na górze (po lewej) nazywana jest licznikiem. Ten poniżej (po prawej) jest mianownikiem.
W rzeczywistości kreska ułamkowa okazuje się być znakiem dzielenia. Oznacza to, że licznik można nazwać dzielną, a mianownik można nazwać dzielnikiem.
Jakie ułamki istnieją?
W matematyce są tylko dwa ich typy: zwykłe i dziesiętne. Dzieci w wieku szkolnym zapoznają się z pierwszymi w klasach podstawowych, nazywając je po prostu „ułamkami”. Drugi uczą się w 5 klasie. Wtedy pojawiają się te nazwy.
Ułamki zwykłe - wszystkie zapisane jako dwie liczby oddzielone kreską. Na przykład 4/7. Dziesiętny to liczba, w której część ułamkowa ma zapis pozycyjny i jest oddzielona od liczby całkowitej przecinkiem. Na przykład 4, 7. Uczniowie muszą jasno powiedzieć, że podane dwa przykłady to zupełnie różne liczby.
Każdy prosty ułamek może być zapisany jako ułamek dziesiętny. To stwierdzenie jest prawie zawsze prawdziwe również w odwrotnej kolejności. Istnieją zasady, które pozwalają zapisywać ułamek dziesiętny jako zwykły ułamek.
Jakie podtypy mają te typy ułamków?
Lepiej zacznij w porządku chronologicznym, gdy są badane. Wspólne ułamki są na pierwszym miejscu. Wśród nich można wyróżnić 5 podgatunków.
- Poprawnie. Jego licznik jest zawsze mniejszy niż mianownik.
- Źle. Jej licznik jest większy lub równy mianownikowi.
- Redukowalne/nieredukowalne. Ona może być jakdobrze i źle. Inna sprawa jest ważna, czy licznik i mianownik mają wspólne czynniki. Jeśli tak, to mają podzielić obie części ułamka, czyli zmniejszyć go.
- Mieszane. Liczba całkowita jest przypisywana do jej zwykłej poprawnej (nieprawidłowej) części ułamkowej. I zawsze stoi po lewej stronie.
- Kompozyt. Składa się z dwóch podzielonych na siebie frakcji. Oznacza to, że zawiera jednocześnie trzy cechy ułamkowe.
Ułamki dziesiętne mają tylko dwa podtypy:
- finał, czyli taki, którego część ułamkowa jest ograniczona (ma koniec);
- infinite - liczba, której cyfry po przecinku nie kończą się (można je pisać bez końca).
Jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły ułamek zwykły?
Jeżeli jest to liczba skończona, to stosowane jest skojarzenie na podstawie reguły - jak słyszę, tak piszę. Oznacza to, że musisz go poprawnie przeczytać i zapisać, ale bez przecinka, ale z linią ułamkową.
Jako wskazówkę dotyczącą wymaganego mianownika, pamiętaj, że zawsze jest to jeden i kilka zer. Te ostatnie należy wpisać tyle, ile cyfr w części ułamkowej danej liczby.
Jak zamienić ułamki dziesiętne na zwykłe, jeśli brakuje ich całej części, czyli równej zero? Na przykład 0,9 lub 0,05. Po zastosowaniu określonej reguły okazuje się, że musisz wpisać zerowe liczby całkowite. Ale nie jest to wskazane. Pozostaje zapisać tylko części ułamkowe. Na pierwszy numermianownik będzie równy 10, drugi będzie miał 100. Oznacza to, że wskazane przykłady będą miały jako odpowiedzi liczby: 9/10, 5/100. Co więcej, tę ostatnią można zmniejszyć o 5. Dlatego wynik dla tego należy zapisać 1/20.
Jak zrobić zwykły ułamek z ułamka dziesiętnego, jeśli jego część całkowita jest różna od zera? Na przykład 5, 23 lub 13, 00108. Oba przykłady odczytują część całkowitą i zapisują jej wartość. W pierwszym przypadku jest to 5, w drugim - 13. Następnie musisz przejść do części ułamkowej. Z nimi konieczne jest wykonanie tej samej operacji. Pierwsza liczba to 23/100, druga 108/100000. Druga wartość musi zostać ponownie zmniejszona. Odpowiedź to ułamki mieszane: 5 23/100 i 13 27/25000.
Jak zamienić nieskończoną liczbę dziesiętną na zwykły ułamek zwykły?
Jeśli nie jest to okresowe, taka operacja nie może być wykonana. Fakt ten wynika z faktu, że każdy ułamek dziesiętny jest zawsze konwertowany na końcową lub okresową.
Jedyna rzecz, jaką możesz zrobić z takim ułamkiem, to zaokrąglić go. Ale wtedy liczba dziesiętna będzie w przybliżeniu równa tej nieskończoności. Można go już zamienić w zwykły. Ale proces odwrotny: konwersja na dziesiętny - nigdy nie da wartości początkowej. Oznacza to, że nieskończone ułamki nieokresowe nie są konwertowane na zwykłe ułamki. To jest coś do zapamiętania.
Jak zapisać nieskończony ułamek okresowy jako ułamek zwykły?
W tych liczbach, po przecinku, zawsze pojawia się jedna lub więcej cyfr, które się powtarzają. Nazywane są okresami. Na przykład 03(3). Tutaj „3” w okresie. Są klasyfikowane jako wymierne, ponieważ można je zamienić na zwykłe ułamki.
Ci, którzy napotkali ułamki okresowe, wiedzą, że mogą być czyste lub mieszane. W pierwszym przypadku kropka zaczyna się od przecinka. W drugim część ułamkowa zaczyna się od dowolnych liczb, a następnie zaczyna się powtórzenie.
Zasada, zgodnie z którą musisz zapisać nieskończoną liczbę dziesiętną jako zwykły ułamek, będzie inna dla tych dwóch typów liczb. Bardzo łatwo jest napisać czyste ułamki okresowe jako zwykłe ułamki. Podobnie jak w przypadku ostatnich, należy je przekonwertować: wpisz kropkę do licznika, a liczba 9 będzie mianownikiem, powtarzając tyle razy, ile jest cyfr w kropce.
Na przykład 0, (5). Liczba nie ma części całkowitej, więc musisz natychmiast przejść do części ułamkowej. Wpisz 5 w liczniku i 9. w mianowniku, czyli odpowiedzią będzie ułamek 5/9.
Zasada zapisu zwykłego dziesiętnego ułamka okresowego, który jest mieszany.
- Policz cyfry ułamkowe do kropki. Wskażą liczbę zer w mianowniku.
- Zobacz długość okresu. Tyle 9 będzie miało mianownik.
- Zapisz mianownik: najpierw dziewiątki, potem zera.
- Aby określić licznik, musisz zapisać różnicę dwóch liczb. Wszystkie cyfry po przecinku zostaną zmniejszone wraz z kropką. Odejmowalne - bez kropki.
Na przykład 0, 5(8) - zapisz okresowy ułamek dziesiętny jako wspólny ułamek. Część ułamkowa przed okresem tojedna cyfra. Więc zero będzie jedynką. W okresie jest też tylko jedna cyfra - 8. To znaczy, że jest tylko jedna dziewiątka. Oznacza to, że w mianowniku musisz wpisać 90.
Aby określić licznik od 58, musisz odjąć 5. Okazuje się, że 53. Na przykład odpowiedź będzie musiała być napisana 53/90.
Jak przekonwertować zwykłe ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne?
Najprostszą opcją jest liczba, której mianownikiem jest liczba 10, 100 i tak dalej. Następnie mianownik jest po prostu odrzucany, a przecinek jest umieszczany między częściami ułamkowymi i całkowitymi.
Są sytuacje, w których mianownik łatwo zamienia się na 10, 100 itd. Na przykład liczby 5, 20, 25. Wystarczy je pomnożyć odpowiednio przez 2, 5 i 4. Wymagane jest tylko mnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika przez tę samą liczbę.
We wszystkich innych przypadkach przydatna jest prosta zasada: podziel licznik przez mianownik. W takim przypadku możesz otrzymać dwie odpowiedzi: końcowy lub okresowy ułamek dziesiętny.
Działania ze wspólnymi ułamkami
Dodawanie i odejmowanie
Uczniowie poznają je przed innymi. I na początku ułamki mają te same mianowniki, a potem różne. Ogólne zasady można sprowadzić do tego planu.
- Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników.
- Zapisz dodatkowe czynniki we wszystkich wspólnych ułamkach.
- Pomnóż liczniki i mianowniki przez zdefiniowane dla nich czynniki.
- Dodaj (odejmij) liczniki ułamków i pozostaw wspólny mianownik bezzmiany.
- Jeżeli licznik odjemnika jest mniejszy niż odjemnik, musisz dowiedzieć się, czy mamy liczbę mieszaną, czy ułamek właściwy.
- W pierwszym przypadku część całkowita musi przyjąć jeden. Dodaj mianownik do licznika ułamka. A potem wykonaj odejmowanie.
- W drugim - konieczne jest zastosowanie zasady odejmowania od mniejszej liczby do większej. Oznacza to, że odejmij moduł od odjemnej od modułu odjemnej i wstaw w odpowiedzi znak „-”.
- Uważnie spójrz na wynik dodawania (odejmowania). Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, to powinien on wybrać całą część. Oznacza to, że podziel licznik przez mianownik.
Mnożenie i dzielenie
W celu ich wdrożenia ułamki nie muszą być redukowane do wspólnego mianownika. Ułatwia to podejmowanie działań. Ale nadal muszą przestrzegać zasad.
- Podczas mnożenia zwykłych ułamków zwykłych należy wziąć pod uwagę liczby w licznikach i mianownikach. Jeśli dowolny licznik i mianownik mają wspólny dzielnik, można je zmniejszyć.
- Pomnóż liczniki.
- Pomnóż mianowniki.
- Jeżeli wynikiem jest zmniejszony ułamek, należy go ponownie uprościć.
- Podczas dzielenia musisz najpierw zastąpić dzielenie mnożeniem, a dzielnik (drugi ułamek) odwrotnością (zamień licznik i mianownik).
- Następnie postępuj jak w mnożeniu (zaczynając od kroku 1).
- W zadaniach, w których trzeba pomnożyć (podzielić) przez liczbę całkowitą, ostatnianależy pisać jako ułamek niewłaściwy. Oznacza to, że z mianownikiem 1. Następnie postępuj jak opisano powyżej.
Operacje dziesiętne
Dodawanie i odejmowanie
Oczywiście zawsze możesz zamienić ułamek dziesiętny na zwykły ułamek. I działaj zgodnie z opisanym już planem. Ale czasami wygodniej jest działać bez tego tłumaczenia. Wtedy zasady ich dodawania i odejmowania będą dokładnie takie same.
- Wyrównaj liczbę cyfr w części ułamkowej liczby, czyli po przecinku. Przypisz w nim brakującą liczbę zer.
- Zapisz ułamki tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem.
- Dodaj (odejmuj) jak liczby naturalne.
- Usuń przecinek.
Mnożenie i dzielenie
Ważne jest, aby nie dodawać tutaj zer. Ułamki należy pozostawić tak, jak podano w przykładzie. A potem idź zgodnie z planem.
- Dla mnożenia, napisz ułamki jeden pod drugim, ignorując przecinki.
- Mnożenie jak liczby naturalne.
- Wstaw przecinek w odpowiedzi, licząc od prawego końca odpowiedzi tyle cyfr, ile jest w częściach ułamkowych obu czynników.
- Aby podzielić, musisz najpierw przekonwertować dzielnik: uczyń go liczbą naturalną. To znaczy pomnóż to przez 10, 100 itd., W zależności od tego, ile cyfr znajduje się w części ułamkowej dzielnika.
- Pomnóż dywidendę przez tę samą liczbę.
- Podziel ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną.
- Wstawiaj przecinek w odpowiedzi w momencie, gdy kończy się dzielenie części całkowitej.
Co jeśli w jednym przykładzie występują oba rodzaje ułamków?
Tak, w matematyce często są przykłady, w których trzeba wykonać operacje na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Istnieją dwa możliwe rozwiązania tych problemów. Musisz obiektywnie zważyć liczby i wybrać najlepszą.
Pierwszy sposób: reprezentuje zwykłe ułamki dziesiętne
Jest to odpowiednie, jeśli dzielenie lub konwersja prowadzi do ułamków skończonych. Jeśli przynajmniej jedna liczba daje część okresową, ta technika jest zabroniona. Dlatego nawet jeśli nie lubisz pracować ze zwykłymi ułamkami, będziesz musiał je policzyć.
Drugi sposób: zapisz ułamki dziesiętne jako zwykłe ułamki
Ta technika jest wygodna, jeśli po przecinku są 1-2 cyfry. Jeśli jest ich więcej, może się okazać bardzo duży zwykły ułamek, a wpisy dziesiętne pozwolą szybciej i łatwiej obliczyć zadanie. Dlatego należy zawsze trzeźwo ocenić zadanie i wybrać najprostszą metodę rozwiązania.
