Czym są liczby niewymierne? Dlaczego tak się nazywają? Gdzie są używane i czym są? Niewielu potrafi bez wahania odpowiedzieć na te pytania. Ale w rzeczywistości odpowiedzi na nie są dość proste, chociaż nie wszyscy ich potrzebują i w bardzo rzadkich sytuacjach
Istota i oznaczenie
Liczby niewymierne to nieskończone nieokresowe ułamki dziesiętne. Konieczność wprowadzenia tego pojęcia wynika z faktu, że dotychczasowe pojęcia liczb rzeczywistych lub rzeczywistych, całkowitych, naturalnych i wymiernych nie wystarczały już do rozwiązywania pojawiających się nowych problemów. Na przykład, aby obliczyć kwadrat z 2, musisz użyć niepowtarzalnych nieskończonych liczb dziesiętnych. Ponadto wiele najprostszych równań również nie ma rozwiązania bez wprowadzenia pojęcia liczby niewymiernej.
Ten zestaw jest oznaczony jako I. I, jak już wiadomo, te wartości nie mogą być reprezentowane jako ułamek prosty, w liczniku którego będzie liczba całkowita, a w mianowniku - liczba naturalna.
Po raz pierwszy w historiiw przeciwnym razie indyjscy matematycy zetknęli się z tym zjawiskiem w VII wieku pne, kiedy odkryto, że pierwiastki kwadratowe niektórych wielkości nie mogą być wyraźnie wskazane. A pierwszy dowód na istnienie takich liczb przypisuje się pitagorejskiemu Hippasosowi, który zrobił to w trakcie badania równoramiennego trójkąta prostokątnego. Poważny wkład w badania tego zestawu wnieśli inni naukowcy, którzy żyli przed naszą erą. Wprowadzenie pojęcia liczb niewymiernych wiązało się z rewizją istniejącego systemu matematycznego, dlatego są one tak ważne.
Pochodzenie nazwy
Jeśli ratio po łacinie oznacza „ułamek”, „stosunek”, to przedrostek „ir”
nadaje temu słowu przeciwne znaczenie. Zatem nazwa zbioru tych liczb wskazuje, że nie można ich skorelować z liczbą całkowitą lub ułamkową, mają osobne miejsce. Wynika to z ich istoty.
Miejsce w ogólnej klasyfikacji
Liczby niewymierne, razem z liczbami wymiernymi, należą do grupy liczb rzeczywistych lub rzeczywistych, które z kolei należą do liczb zespolonych. Nie ma podzbiorów, istnieją jednak rozmaitości algebraiczne i transcendentalne, które zostaną omówione poniżej.
Właściwości
Ponieważ liczby niewymierne są częścią zbioru liczb rzeczywistych, mają do nich zastosowanie wszystkie ich własności, które są badane w arytmetyce (są one również nazywane podstawowymi prawami algebraicznymi).
a + b=b + a (przemienność);
(a + b) + c=a + (b + c)(stowarzyszenie);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (istnienie liczby przeciwnej);
ab=ba (prawo przemieszczania);
(ab)c=a(bc) (dystrybucja);
a(b+c)=ab + ac (prawo rozdzielcze);
a x 1=a
a x 1/a=1 (istnienie liczby odwrotnej);
Porównanie odbywa się również zgodnie z ogólnymi prawami i zasadami:
Jeśli a > b i b > c, to a > c (przechodniość stosunku) i. itp.
Oczywiście wszystkie liczby niewymierne można przekonwertować za pomocą podstawowej arytmetyki. Nie ma na to żadnych specjalnych zasad.
Ponadto aksjomat Archimedesa dotyczy liczb niewymiernych. Mówi, że dla dowolnych dwóch wielkości a i b, prawdą jest stwierdzenie, że przyjmując a jako termin wystarczającą liczbę razy, możesz przekroczyć b.
Użyj
Pomimo tego, że w zwykłym życiu często nie masz z nimi do czynienia, liczb niewymiernych nie da się policzyć. Jest ich dużo, ale są prawie niewidoczne. Wszędzie otaczają nas liczby irracjonalne. Przykładami znanymi wszystkim są liczby pi, równe 3, 1415926 … lub e, które są zasadniczo podstawą logarytmu naturalnego, 2, 718281828 … W algebrze, trygonometrii i geometrii muszą być one stale używane. Nawiasem mówiąc, słynna wartość „złotej sekcji”, czyli stosunek zarówno większej części do mniejszej, jak i odwrotnie, również wynosi
należy do tego zestawu. Mniej znane "srebrne" - też.
Są one rozmieszczone bardzo gęsto na osi liczbowej, więc pomiędzy dowolnymi dwiema wartościami związanymi ze zbiorem wymiernych, z pewnością wystąpi wartość niewymierna.
Wciąż jest wiele nierozwiązanych problemów związanych z tym zestawem. Istnieją takie kryteria, jak miara irracjonalności i normalność liczby. Matematycy nadal badają najbardziej znaczące przykłady ich przynależności do tej czy innej grupy. Na przykład uważa się, że e jest liczbą normalną, to znaczy, że prawdopodobieństwo pojawienia się różnych cyfr w jej zapisie jest takie samo. Jeśli chodzi o pi, wciąż trwają badania nad nim. Miara irracjonalności jest również nazywana wartością pokazującą, jak dobrze ta lub inna liczba może być aproksymowana przez liczby wymierne.
Algebraiczny i transcendentalny
Jak już wspomniano, liczby niewymierne są warunkowo podzielone na algebraiczne i transcendentalne. Warunkowo, ponieważ, ściśle mówiąc, ta klasyfikacja służy do dzielenia zbioru C.
To oznaczenie ukrywa liczby zespolone, które obejmują liczby rzeczywiste lub rzeczywiste.
Więc wartość algebraiczna to wartość będąca pierwiastkiem wielomianu, który nie jest identycznie równy zero. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 2 należy do tej kategorii, ponieważ jest to rozwiązanie równania x2 - 2=0.
Wszystkie inne liczby rzeczywiste, które nie spełniają tego warunku, są nazywane transcendentalnymi. Do tej odmianyto najbardziej znane i wspomniane już przykłady - liczba pi i podstawa logarytmu naturalnego e.
Co ciekawe, ani jedno, ani drugie nie zostało pierwotnie wydedukowane przez matematyków w tym charakterze, ich irracjonalność i transcendencja zostały udowodnione wiele lat po ich odkryciu. W przypadku liczby pi dowód podano w 1882 r., a uproszczono w 1894 r., co położyło kres trwającej 2500 lat kontrowersji dotyczącej problemu kwadratury koła. Nadal nie jest w pełni zrozumiały, więc współcześni matematycy mają nad czym popracować. Nawiasem mówiąc, pierwsze wystarczająco dokładne obliczenie tej wartości przeprowadził Archimedes. Przed nim wszystkie obliczenia były zbyt przybliżone.
Dla e (liczby Eulera lub Napiera) dowód na jego transcendencję znaleziono w 1873 roku. Służy do rozwiązywania równań logarytmicznych.
Inne przykłady obejmują wartości sinus, cosinus i tangens dla dowolnych wartości algebraicznych niezerowych.
