Logika symboliczna to dziedzina nauki, która bada prawidłowe formy rozumowania. Odgrywa fundamentalną rolę w filozofii, matematyce i informatyce. Podobnie jak filozofia i matematyka, logika ma starożytne korzenie. Najwcześniejsze traktaty o naturze poprawnego rozumowania zostały napisane ponad 2000 lat temu. Niektórzy z najsłynniejszych filozofów starożytnej Grecji pisali o naturze retencji ponad 2300 lat temu. W tym samym czasie starożytni myśliciele chińscy pisali o paradoksach logicznych. Chociaż jej korzenie sięgają daleko wstecz, logika jest nadal tętniącą życiem dziedziną nauki.
Matematyczna logika symboliczna
Trzeba też umieć rozumieć i rozumować, dlatego szczególną uwagę zwrócono na logiczne wnioski, gdy nie było specjalnego sprzętu do analizowania i diagnozowania różnych dziedzin życia. Współczesna logika symboliczna wyrosła z dzieł Arystotelesa (384-322 pne), wielkiego greckiego filozofa i jednego z najbardziej wpływowych myślicieli wszechczasów. Kolejne sukcesy toprzez greckiego filozofa stoickiego Chrysippusa, który opracował podstawy tego, co obecnie nazywamy logiką zdań.
Logika matematyczna lub symboliczna była aktywnie rozwijana dopiero w XIX wieku. Pojawiły się prace Boole'a, de Morgana, Schroedera, w których naukowcy dokonali algebraizacji nauk Arystotelesa, tworząc w ten sposób podstawę rachunku zdań. Potem nastąpiła praca Fregego i Preece'a, w której wprowadzono pojęcia zmiennych i kwantyfikatorów, które zaczęto stosować w logice. W ten sposób powstała kalkulacja predykatów - wypowiedzi na dany temat.
Logika sugerowała dowód na niepodważalne fakty, gdy nie było bezpośredniego potwierdzenia prawdy. Logiczne wyrażenia miały przekonać rozmówcę o prawdziwości.
Formuły logiczne zostały zbudowane na zasadzie dowodu matematycznego. Przekonali więc rozmówców o dokładności i rzetelności.
Jednak wszystkie formy argumentacji zostały zapisane słowami. Nie było formalnych mechanizmów, które tworzyłyby logiczny rachunek dedukcyjny. Ludzie zaczęli wątpić, czy naukowiec chowa się za obliczeniami matematycznymi, ukrywając za nimi absurdalność swoich domysłów, bo każdy może przedstawić swoje argumenty na inną korzyść.
Narodziny sensu: solidna logika w matematyce jako dowód prawdy
Pod koniec XVIII wieku logika matematyczna lub symboliczna pojawiła się jako nauka, która obejmowała proces badania poprawności wniosków. Miały mieć logiczny koniec i połączenie. Ale jak to było udowodnić?czy uzasadnić dane badawcze?
Wielki niemiecki filozof i matematyk Gottfried Leibniz był jednym z pierwszych, który zdał sobie sprawę z potrzeby sformalizowania logicznych argumentów. Marzeniem Leibniza było stworzenie uniwersalnego formalnego języka nauki, który sprowadzałby wszelkie spory filozoficzne do prostej kalkulacji, przerabiając rozumowanie w takich dyskusjach w tym języku. Logika matematyczna lub symboliczna pojawiła się w postaci formuł ułatwiających zadania i rozwiązania w kwestiach filozoficznych. Tak, i ta dziedzina nauki stała się bardziej znacząca, ponieważ wtedy bezsensowna filozoficzna paplanina stała się dnem, na którym opiera się sama matematyka!
W naszych czasach tradycyjna logika jest symboliczną arystotelesowską, która jest prosta i bezpretensjonalna. W XIX wieku nauka stanęła w obliczu paradoksu zbiorów, który dał początek niespójnościom w tych bardzo znanych rozwiązaniach Arystotelesowskich ciągów logicznych. Ten problem trzeba było rozwiązać, bo w nauce nie może być nawet powierzchownych błędów.
Formalność Lewisa Carrolla - logika symboliczna i jej etapy transformacji
Logika formalna jest teraz przedmiotem kursu. Swój wygląd zawdzięcza jednak symbolicznemu, czyli temu, który powstał. Logika symboliczna to metoda przedstawiania wyrażeń logicznych za pomocą symboli i zmiennych, a nie zwykłego języka. Eliminuje to dwuznaczność towarzyszącą powszechnym językom, takim jak rosyjski i ułatwia sprawę.
Istnieje wiele systemów logiki symbolicznej, takich jak:
- Klasyczna propozycja.
- Logika pierwszego rzędu.
- Modalne.
Logika symboliczna w rozumieniu Lewisa Carrolla musiałaby wskazywać prawdziwe i fałszywe stwierdzenia w zadanym pytaniu. Każdy może mieć oddzielne znaki lub wykluczać użycie niektórych znaków. Oto kilka przykładów stwierdzeń, które zamykają logiczny łańcuch wniosków:
- Wszyscy ludzie, którzy są identyczni ze mną, są istotami, które istnieją.
- Wszyscy bohaterowie identyczni z Batmanem to stworzenia, które istnieją.
- Więc (ponieważ Batmana i mnie nigdy nie widziano w tym samym miejscu), wszyscy ludzie identyczni jak ja są bohaterami identycznymi z Batmanem.
To nie jest prawidłowy sylogizm formy, ale jest to ta sama struktura, co poniższa:
- Wszystkie psy to ssaki.
- Wszystkie koty to ssaki.
- Dlatego wszystkie psy są kotami.
Powinno być oczywiste, że powyższa forma symboliczna w logice nie jest poprawna. Jednak w logice sprawiedliwość określa się tym wyrażeniem: gdyby przesłanka była prawdziwa, to wniosek byłby prawdziwy. To oczywiście nieprawda. To samo będzie dotyczyło przykładu bohatera, który ma ten sam kształt. Trafność dotyczy tylko argumentów dedukcyjnych, które mają na celu udowodnienie ich wniosku z pewnością, ponieważ argument dedukcyjny nie może być ważny. Te „poprawki” są również stosowane w statystyce, gdy występuje błąd danych, a współczesna logika symboliczna, jakw wielu z tych spraw pomaga formalność uproszczonych danych.
Indukcja we współczesnej logice
Argument indukcyjny ma jedynie zademonstrować swój wniosek z dużym prawdopodobieństwem lub obalenie. Argumenty indukcyjne są albo silne, albo słabe.
Jako argument indukcyjny przykład superbohatera Batmana jest po prostu słaby. Wątpliwe, czy Batman istnieje, więc jedno ze stwierdzeń jest już z dużym prawdopodobieństwem błędne. Chociaż nigdy nie widziałeś go w tym samym miejscu, co ktoś inny, śmieszne jest traktowanie tego wyrażenia jako dowodu. Aby zrozumieć istotę logiki, wyobraź sobie:
- Nigdy nie byłeś widziany w tym samym miejscu co mieszkaniec Gwinei.
- To nieprawdopodobne, że ty i Gwinejczyk jesteście tą samą osobą.
- Teraz wyobraź sobie, że ty i Afrykanin nigdy nie spotkaliście się w tym samym miejscu. To nieprawdopodobne, że ty i Afrykanin jesteście tą samą osobą. Ale drogi Gwinei i Afryki przecięły się, więc nie możesz być obydwoma w tym samym czasie. Znacznie spadły dowody na to, że jesteś Afrykaninem lub Gwinejczykiem.
Z tego punktu widzenia sama idea logiki symbolicznej nie implikuje a priori związku z matematyką. Aby rozpoznać logikę jako symbol, wystarczy szerokie użycie symboli do reprezentowania operacji logicznych.
Teoria logiczna Carrolla: uwikłanie lub minimalizm w filozofii matematycznej
Carroll nauczył się niezwykłych sposobówco zmusiło go do rozwiązania dość trudnych problemów, z jakimi borykali się jego koledzy. Uniemożliwiło mu to osiągnięcie znaczących postępów ze względu na złożoność notacji logicznej i systemów, które otrzymał w wyniku swojej pracy. Racją bytu logiki symbolicznej Carrolla jest problem eliminacji. Jak znaleźć wniosek, jaki należy wyciągnąć ze zbioru przesłanek dotyczących relacji między danymi terminami? Eliminacja „średnich wyrazów”.
W celu rozwiązania tego centralnego problemu logiki w połowie XIX wieku wynaleziono symboliczne, schematyczne, a nawet mechaniczne urządzenia. Jednak metody Carrolla przetwarzania takich „ciągów logicznych” (jak je nazywał) nie zawsze dawały właściwe rozwiązanie. Później filozof opublikował dwa artykuły na temat hipotez, które znalazły odzwierciedlenie w czasopiśmie Mind: The Logical Paradox (1894) i What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Prace te były szeroko dyskutowane przez logików XIX i XX wieku (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine, itd.). Pierwszy artykuł jest często cytowany jako dobra ilustracja paradoksów implikacji materialnych, podczas gdy drugi prowadzi do tzw. paradoksu wnioskowania.
Prostota symboli w logice
Symboliczny język logiki zastępuje długie niejednoznaczne zdania. Wygodne, bo po rosyjsku to samo można powiedzieć o różnych okolicznościach, co pozwoli się pomylić, a w matematyce symbole zastąpią tożsamość każdego znaczenia.
- Po pierwsze, zwięzłość jest ważna dla wydajności. Logika symboliczna nie może obejść się bez znaków i oznaczeń, w przeciwnym razie pozostałaby tylko filozoficzna, bez prawa do prawdziwego znaczenia.
- Po drugie, symbole ułatwiają dostrzeganie i formułowanie logicznych prawd. Punkty 1 i 2 zachęcają do „algebraicznej” manipulacji formułami logicznymi.
- Po trzecie, gdy logika wyraża logiczne prawdy, symboliczne sformułowanie zachęca do badania struktury logiki. Wiąże się to z poprzednim punktem. W ten sposób logika symboliczna nadaje się do matematycznego badania logiki, które jest gałęzią przedmiotu logiki matematycznej.
- Po czwarte, powtarzając odpowiedź, użycie symboli pomaga zapobiegać niejasności (np. wieloznaczności) w języku potocznym. Pomaga również upewnić się, że znaczenie jest niepowtarzalne.
Na koniec, symboliczny język logiki pozwala na wprowadzenie rachunku predykatów przez Fregego. Z biegiem lat, symboliczny zapis samego rachunku predykatów został udoskonalony i usprawniony, ponieważ dobra notacja jest ważna w matematyce i logice.
Arystotelesowska ontologia starożytności
Naukowcy zainteresowali się pracą myśliciela, kiedy zaczęli wykorzystywać w swoich interpretacjach metody Slinina. Książka przedstawia teorie logiki klasycznej i modalnej. Ważną częścią koncepcji było sprowadzenie do CNF w logice symbolicznej formuły logiki zdania. Skrót oznacza połączenie lub alternatywę zmiennych.
Slinin Ya. A. zasugerował, że złożone negacje, które wymagają wielokrotnego redukowania formuł, powinny przekształcić się w podformułę. W ten sposób przekonwertował niektóre wartości na bardziej minimalne i rozwiązał problemy w wersji skróconej. Praca z negacją została zredukowana do formuł de Morgana. Prawa noszące imię De Morgana to para powiązanych ze sobą twierdzeń, które pozwalają zamienić twierdzenia i formuły na alternatywne i często wygodniejsze. Prawa są następujące:
- Negacja (lub niespójność) alternatywy jest równa połączeniu negacji alternatyw – p lub q nie jest równe p i nie q lub symbolicznie ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Negacja koniunkcji jest równa alternatywie negacji oryginalnych koniunkcji, tj. not (p i q) nie jest równe not p lub not q, lub symbolicznie ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Dzięki tym początkowym danym wielu matematyków zaczęło stosować formuły do rozwiązywania złożonych problemów logicznych. Wiele osób wie, że istnieje cykl wykładów, na których badany jest obszar przecięcia funkcji. Interpretacja macierzy również opiera się na formułach logicznych. Jaka jest istota logiki w połączeniu algebraicznym? Jest to poziomowa funkcja liniowa, w której można umieścić naukę o liczbach i filozofię w tej samej misce jako „bezduszny” i nieopłacalny obszar rozumowania. Chociaż E. Kant myślał inaczej, będąc matematykiem i filozofem. Zauważył, że filozofia jest niczym, dopóki nie zostanie udowodnione, że jest inaczej. A dowody muszą być naukowo uzasadnione. I tak się złożyło, że filozofia zaczęła mieć znaczenie dziękidopasowanie do prawdziwej natury liczb i obliczeń.
Zastosowanie logiki w nauce i materialnym świecie rzeczywistości
Filozofowie zwykle nie stosują nauki logicznego rozumowania tylko do jakiegoś ambitnego projektu podyplomowego (zwykle o wysokim stopniu specjalizacji, takiego jak dodawanie do nauk społecznych, psychologii lub kategoryzacji etycznej). Paradoksalne jest to, że filozofia „zrodziła” metodę kalkulacji prawdy i fałszu, ale sami filozofowie jej nie stosują. Dla kogo więc tworzone i przekształcane są tak jasne sylogizmy matematyczne?
- Programiści i inżynierowie wykorzystali logikę symboliczną (która nie różni się tak bardzo od oryginału) do implementacji programów komputerowych, a nawet do projektowania tablic.
- W przypadku komputerów logika stała się wystarczająco złożona, aby obsługiwać liczne wywołania funkcji, a także rozwijać matematykę i rozwiązywać problemy matematyczne. Wiele z nich opiera się na wiedzy o rozwiązywaniu problemów matematycznych i prawdopodobieństwie połączonej z logicznymi zasadami eliminacji, rozszerzania i redukowalności.
- Języki komputerowe nie mogą być łatwo zrozumiane, aby działały logicznie w granicach wiedzy matematycznej, a nawet wykonywały specjalne funkcje. Większość języka komputerowego jest prawdopodobnie opatentowana lub rozumiana tylko przez komputery. Programiści często pozwalają teraz komputerom wykonywać zadania logiczne i je rozwiązywać.
W trakcie takich warunków, wielu naukowców zakłada stworzenie zaawansowanego materiału nie dla dobra nauki, ale dlałatwość korzystania z mediów i technologii. Być może niedługo logika przeniknie do sfery ekonomii, biznesu, a nawet „dwutwarzowego” kwantu, który zachowuje się zarówno jak atom, jak i fala.
Logika kwantowa we współczesnej praktyce analizy matematycznej
Logika kwantowa (QL) została opracowana jako próba zbudowania struktury zdań, która pozwoliłaby na opisanie interesujących zdarzeń w mechanice kwantowej (QM). QL zastąpił strukturę logiczną, która nie wystarczała do przedstawienia sfery atomowej, chociaż jest odpowiednia dla dyskursu fizyki klasycznej.
Matematyczna struktura języka zdań o systemach klasycznych jest zbiorem potęg, częściowo uporządkowanych przez zbiór inkluzji, z parą operacji reprezentujących sumę i alternatywę.
Ta algebra jest zgodna z dyskursem zarówno zjawisk klasycznych, jak i relatywistycznych, ale jest niezgodna w teorii, która zabrania na przykład podawania równoczesnych wartości prawdy. Propozycja ojców założycieli QL została stworzona w celu zastąpienia struktury Boole'a logiki klasycznej strukturą słabszą, która osłabiłaby właściwości rozdzielcze koniunkcji i alternatywy.
Osłabienie ustalonej penetracji symbolicznej: czy prawda jest naprawdę potrzebna w matematyce jako nauka ścisła
Podczas swojego rozwoju logika kwantowa zaczęła odnosić się nie tylko do tradycyjnych, ale także do kilku obszarów współczesnych badań, które próbowały zrozumieć mechanikę z logicznego punktu widzenia. Wielepodejścia kwantowe do wprowadzania różnych strategii i problemów omawianych w literaturze mechaniki kwantowej. Tam, gdzie to możliwe, niepotrzebne formuły są eliminowane, aby zapewnić intuicyjne zrozumienie pojęć przed uzyskaniem lub wprowadzeniem powiązanej matematyki.
Odwiecznym pytaniem w interpretacji mechaniki kwantowej jest to, czy dostępne są fundamentalnie klasyczne wyjaśnienia zjawisk mechaniki kwantowej. Logika kwantowa odegrała dużą rolę w kształtowaniu i udoskonalaniu tej dyskusji, w szczególności pozwalając nam dość precyzyjnie określić, co rozumiemy przez klasyczne wyjaśnienie. Teraz możliwe jest dokładne ustalenie, które teorie można uznać za wiarygodne, a które są logicznym wnioskiem osądów matematycznych.
