Pythagoras argumentował, że liczba stanowi podstawę świata wraz z podstawowymi elementami. Platon uważał, że liczba łączy zjawisko i noumen, pomagając w poznawaniu, mierzeniu i wyciąganiu wniosków. Arytmetyka pochodzi od słowa „arytmos” – liczby, początku początków matematyki. Może opisywać dowolny obiekt - od elementarnego jabłka po abstrakcyjne przestrzenie.
Potrzeby jako czynnik rozwoju
We wczesnych stadiach formowania się społeczeństwa potrzeby ludzi ograniczały się do konieczności liczenia – jeden worek zboża, dwa worek zboża itp. Wystarczały do tego liczby naturalne, których zestaw jest nieskończony ciąg dodatni liczb całkowitych N.
Później, wraz z rozwojem matematyki jako nauki, pojawiła się potrzeba oddzielnego pola liczb całkowitych Z - zawiera ono wartości ujemne i zero. Jego pojawienie się na poziomie gospodarstwa domowego zostało sprowokowane faktem, że w podstawowej rachunkowości trzeba było jakoś naprawićdługi i straty. Na poziomie naukowym liczby ujemne umożliwiły rozwiązywanie najprostszych równań liniowych. Między innymi, obraz trywialnego układu współrzędnych stał się teraz możliwy, ponieważ pojawił się punkt odniesienia.
Kolejnym krokiem była potrzeba wprowadzenia liczb ułamkowych, ponieważ nauka nie stała w miejscu, coraz więcej odkryć wymagało teoretycznej podstawy dla nowego impulsu wzrostu. Tak pojawiło się pole liczb wymiernych Q.
Wreszcie racjonalność przestała spełniać prośby, ponieważ wszystkie nowe wnioski wymagały uzasadnienia. Pojawiło się pole liczb rzeczywistych R, prace Euklidesa o niewspółmierności pewnych wielkości z powodu ich nieracjonalności. Oznacza to, że starożytni greccy matematycy umieszczali liczbę nie tylko jako stałą, ale także jako wielkość abstrakcyjną, która charakteryzuje się stosunkiem wielkości niewspółmiernych. Z uwagi na to, że pojawiły się liczby rzeczywiste, takie wielkości jak „pi” i „e” „ujrzały światło”, bez których współczesna matematyka nie mogłaby się obyć.
Ostateczną innowacją była liczba zespolona C. Odpowiadała na szereg pytań i obalała wprowadzone wcześniej postulaty. Ze względu na szybki rozwój algebry wynik był przewidywalny - mając liczby rzeczywiste, rozwiązanie wielu problemów było niemożliwe. Na przykład dzięki liczbom zespolonym wyróżniła się teoria strun i chaosu, a równania hydrodynamiki rozszerzyły się.
Teoria mnogości. Kantor
Koncepcja nieskończoności przez cały czaswywołał kontrowersje, ponieważ nie można go było ani udowodnić, ani obalić. W kontekście matematyki, która operowała ściśle zweryfikowanymi postulatami, przejawiało się to najwyraźniej, zwłaszcza że aspekt teologiczny wciąż miał znaczenie w nauce.
Jednak dzięki pracy matematyka Georga Kantora z czasem wszystko się ułożyło. Udowodnił, że istnieje nieskończona liczba zbiorów nieskończonych, a pole R jest większe od pola N, nawet jeśli oba nie mają końca. W połowie XIX wieku jego idee głośno okrzyknięto nonsensem i zbrodnią przeciwko klasycznym, niewzruszonym kanonom, ale czas postawił wszystko na swoim miejscu.
Podstawowe właściwości pola R
Liczby rzeczywiste mają nie tylko te same właściwości, co zawarte w nich podzbiory, ale są również uzupełniane innymi ze względu na skalę ich elementów:
- Zero istnieje i należy do pola R. c + 0=c dla dowolnego c z R.
- Zero istnieje i należy do pola R. c x 0=0 dla dowolnego c z R.
- Relacja c: d dla d ≠ 0 istnieje i obowiązuje dla dowolnego c, d z R.
- Pole R jest uporządkowane, to znaczy, jeśli c d, d ≦ c, to c=d dla dowolnego c, d z R.
- Dodawanie w polu R jest przemienne, tj. c + d=d + c dla dowolnego c, d z R.
- Mnożenie w polu R jest przemienne, tj. c x d=d x c dla dowolnego c, d z R.
- Dodawanie w polu R jest łączne, tj. (c + d) + f=c + (d + f) dla dowolnego c, d, f z R.
- Mnożenie w polu R jest łączne, tj. (c x d) x f=c x (d x f) dla dowolnego c, d, f z R.
- Dla każdej liczby w polu R istnieje przeciwieństwo, takie, że c + (-c)=0, gdzie c, -c pochodzi z R.
- Dla każdej liczby z pola R jest jej odwrotność, taka, że c x c-1 =1, gdzie c, c-1 od R.
- Jednostka istnieje i należy do R, więc c x 1=c, dla dowolnego c z R.
- Prawo rozkładu jest ważne, więc c x (d + f)=c x d + c x f, dla dowolnego c, d, f z R.
- W polu R zero nie jest równe jedynce.
- Pole R jest przechodnie: jeśli c d, d f, to c ≦ f dla dowolnego c, d, f z R.
- W polu R kolejność i dodawanie są powiązane: jeśli c d, to c + f ≦ d + f dla dowolnego c, d, f z R.
- W polu R kolejność i mnożenie są powiązane: jeśli 0 c, 0 ≦ d, to 0 ≦ c x d dla dowolnego c, d z R.
- Zarówno ujemne, jak i dodatnie liczby rzeczywiste są ciągłe, to znaczy dla dowolnego c, d z R istnieje f z R takie, że c ≦ f ≦ d.
Moduł w polu R
Liczby rzeczywiste zawierają moduł.
Oznaczone jako |f| dla dowolnego f z R. |f|=f jeśli 0 ≦ f i |f|=-f jeśli 0 > f. Jeśli weźmiemy pod uwagę moduł jako wielkość geometryczną, to jest to przebyta odległość - nie ma znaczenia, czy „przeszłeś” zero do minusa, czy dalej do plusa.
Liczby złożone i rzeczywiste. Jakie są podobieństwa i jakie są różnice?
W zasadzie liczby zespolone i rzeczywiste to jedno i to samo, z wyjątkiem tegojednostka urojona i, której kwadrat wynosi -1. Elementy pól R i C można przedstawić wzorem:
c=d + f x i, gdzie d, f należą do pola R, a i jest jednostką urojoną
Aby uzyskać c z R w tym przypadku, f jest po prostu ustawione na zero, co oznacza, że pozostaje tylko rzeczywista część liczby. Ze względu na to, że pole liczb zespolonych ma taki sam zestaw własności jak pole liczb rzeczywistych, f x i=0 jeśli f=0.
W odniesieniu do różnic praktycznych, na przykład w polu R, równanie kwadratowe nie jest rozwiązywane, jeśli dyskryminator jest ujemny, podczas gdy pole C nie nakłada takiego ograniczenia ze względu na wprowadzenie jednostki urojonej i.
Wyniki
„Cegły” aksjomatów i postulatów, na których opiera się matematyka, nie zmieniają się. W związku ze wzrostem informacji i wprowadzaniem nowych teorii, na niektóre z nich umieszczane są kolejne „cegiełki”, które w przyszłości mogą stać się podstawą do kolejnego kroku. Na przykład liczby naturalne, mimo że są podzbiorem ciała rzeczywistego R, nie tracą na znaczeniu. To na nich opiera się cała podstawowa arytmetyka, od której zaczyna się ludzka wiedza o świecie.
Z praktycznego punktu widzenia liczby rzeczywiste wyglądają jak linia prosta. Na nim możesz wybrać kierunek, wyznaczyć pochodzenie i krok. Linia prosta składa się z nieskończonej liczby punktów, z których każdy odpowiada jednej liczbie rzeczywistej, niezależnie od tego, czy jest wymierna, czy nie. Z opisu jasno wynika, że mówimy o pojęciu, na którym zbudowana jest zarówno matematyka w ogóle, jak i analiza matematyczna w ogóle.szczególny.
