Dla wielu ludzi analiza matematyczna to tylko zbiór niezrozumiałych liczb, ikon i definicji, które są dalekie od prawdziwego życia. Jednak świat, w którym istniejemy, zbudowany jest na wzorach liczbowych, których identyfikacja pomaga nie tylko poznawać otaczający nas świat i rozwiązywać jego złożone problemy, ale także upraszczać codzienne zadania praktyczne. Co ma na myśli matematyk, kiedy mówi, że sekwencja liczb jest zbieżna? Należy to omówić bardziej szczegółowo.
Co to jest nieskończenie małe?
Wyobraźmy sobie lalki matrioszki, które pasują jedna do drugiej. Ich rozmiary, zapisane w postaci liczb, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej z nich, tworzą ciąg. Jeśli wyobrazisz sobie nieskończoną liczbę tak jasnych postaci, wynikowy rząd będzie fantastycznie długi. To jest zbieżna sekwencja liczb. I dąży do zera, ponieważ rozmiar każdej kolejnej lalki gniazdującej, katastrofalnie zmniejszający się, stopniowo zamienia się w nic. Więc to jest łatwemożna wyjaśnić: co jest nieskończenie małe.
Podobnym przykładem może być droga prowadząca w dal. A wizualne wymiary samochodu oddalającego się od obserwatora wzdłuż niego, stopniowo kurcząc się, zamieniają się w bezkształtną plamkę przypominającą kropkę. W ten sposób maszyna, niczym przedmiot, oddalając się w nieznanym kierunku, staje się nieskończenie mała. Parametry określonego ciała nigdy nie będą wynosić zero w dosłownym tego słowa znaczeniu, ale niezmiennie dążą do tej wartości w ostatecznym limicie. Dlatego ta sekwencja ponownie zbiega się do zera.
Oblicz wszystko kropla po kropli
Wyobraźmy sobie teraz światową sytuację. Lekarz zalecił pacjentowi przyjmowanie leku, zaczynając od dziesięciu kropli dziennie i dodając dwie każdego dnia następnego. I tak lekarz zasugerował kontynuowanie do wyczerpania zawartości fiolki z lekiem, której objętość wynosi 190 kropli. Z powyższego wynika, że liczba takich, zaplanowanych na dzień, będzie następującą serią liczb: 10, 12, 14 i tak dalej.
Jak sprawdzić czas na ukończenie całego kursu i liczbę członków ciągu? Tutaj oczywiście można liczyć krople w prymitywny sposób. Ale biorąc pod uwagę wzór, o wiele łatwiej jest użyć wzoru na sumę ciągu arytmetycznego z krokiem d=2. I korzystając z tej metody, dowiedz się, że liczba członków szeregu liczbowego wynosi 10. W tym przypadku, a10=28. Numer penisa wskazuje liczbę dni przyjmowania leku, a 28 odpowiada liczbie kropli, które pacjent powinienużyj w ostatnim dniu. Czy ta sekwencja jest zbieżna? Nie, ponieważ pomimo tego, że jest ograniczona do 10 od dołu i 28 od góry, taka seria liczb nie ma ograniczeń, w przeciwieństwie do poprzednich przykładów.
Jaka jest różnica?
Spróbujmy teraz wyjaśnić: kiedy seria liczb okaże się ciągiem zbieżnym. Definicja tego rodzaju, jak z powyższego wynika, wiąże się bezpośrednio z pojęciem granicy skończonej, której obecność ujawnia istotę zagadnienia. Jaka jest więc zasadnicza różnica między poprzednio podanymi przykładami? I dlaczego w ostatniej z nich liczba 28 nie może być uważana za granicę szeregu liczb X =10 + 2(n-1)?
Aby wyjaśnić to pytanie, rozważ inny ciąg podany przez poniższy wzór, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych.
Ta wspólnota członków jest zbiorem wspólnych ułamków, których licznik to 1, a mianownik stale rośnie: 1, ½ …
Co więcej, każdy kolejny przedstawiciel tego szeregu coraz bardziej zbliża się do 0. A to oznacza, że takie sąsiedztwo pojawia się tam, gdzie punkty skupiają się wokół zera, co jest granicą. A im bliżej są, tym gęstsza staje się ich koncentracja na osi liczbowej. A odległość między nimi jest katastrofalnie zmniejszona, zamieniając się w nieskończenie małą. To znak, że sekwencja jest zbieżna.
PodobneW ten sposób wielokolorowe prostokąty pokazane na rysunku, podczas oddalania się w przestrzeni, są wizualnie bardziej zatłoczone, w hipotetycznym limicie stają się znikome.
Nieskończenie duże sekwencje
Po przeanalizowaniu definicji ciągu zbieżnego przejdźmy do kontrprzykładów. Wiele z nich było znanych człowiekowi od czasów starożytnych. Najprostsze warianty ciągów rozbieżnych to ciągi liczb naturalnych i parzystych. Nazywa się je nieskończenie dużymi w inny sposób, ponieważ ich członkowie, stale rosnący, coraz bardziej zbliżają się do dodatniej nieskończoności.
Przykładem tego może być również dowolny z ciągów arytmetycznych i geometrycznych z odpowiednio krokiem i mianownikiem większym od zera. Ponadto szeregi liczbowe są uważane za ciągi rozbieżne, które w ogóle nie mają granicy. Na przykład X =(-2) -1.
Sekwencja Fibonacciego
Praktyczne korzyści ze wspomnianej wcześniej serii liczb dla ludzkości są niezaprzeczalne. Ale istnieje niezliczona ilość innych wspaniałych przykładów. Jednym z nich jest ciąg Fibonacciego. Każdy z jej członków, który zaczyna się od jednego, jest sumą poprzednich. Jego dwaj pierwsi przedstawiciele to 1 i 1. Trzeci 1+1=2, czwarty 1+2=3, piąty 2+3=5. Dalej, zgodnie z tą samą logiką, następują liczby 8, 13, 21 i tak dalej.
Ta seria liczb rośnie w nieskończoność i nie maostateczny limit. Ale ma jeszcze jedną cudowną właściwość. Stosunek każdej poprzedniej liczby do następnej zbliża się coraz bardziej do wartości 0,618. Tutaj możesz zrozumieć różnicę między ciągiem zbieżnym a rozbieżnym, ponieważ jeśli wykonasz serię otrzymanych dzieleń częściowych, wskazany układ liczbowy będzie mieć skończoną granicę równą 0,618.
Sekwencja współczynników Fibonacciego
Wskazane powyżej serie liczb są szeroko stosowane w celach praktycznych do analizy technicznej rynków. Ale to nie ogranicza się do jego możliwości, które Egipcjanie i Grecy znali i potrafili zastosować w starożytności. Świadczą o tym zbudowane przez nich piramidy i Partenon. W końcu liczba 0,618 to stały współczynnik złotego przekroju, dobrze znany w dawnych czasach. Zgodnie z tą zasadą każdy dowolny segment można podzielić tak, aby stosunek jego części pokrywał się ze stosunkiem największego z segmentów do całkowitej długości.
Skonstruujmy szereg wskazanych relacji i spróbujmy przeanalizować ten ciąg. Szereg liczb będzie następujący: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 i tak dalej. Kontynuując w ten sposób, możemy się upewnić, że granica ciągu zbieżnego rzeczywiście będzie wynosić 0,618. Należy jednak zwrócić uwagę na inne własności tej prawidłowości. Tutaj liczby wydają się iść losowo, a nie w porządku rosnącym lub malejącym. Oznacza to, że ta zbieżna sekwencja nie jest monotonna. Dlaczego tak jest, zostanie omówione dalej.
Monotoniczność i ograniczenia
Członkowie serii liczb mogą wyraźnie maleć wraz ze wzrostem liczby (jeśli x1>x2>x3>…>x >…) lub zwiększanie (jeśli x1<x2<x3<…<x<…). W tym przypadku mówi się, że sekwencja jest ściśle monotoniczna. Można również zaobserwować inne wzorce, w których szeregi liczbowe będą niemalejące i nierosnące (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… lub x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), to kolejno zbieżny jest również monotoniczny, ale nie w ścisłym tego słowa znaczeniu. Dobrym przykładem pierwszej z tych opcji jest szereg liczb podany za pomocą następującego wzoru.
Po namalowaniu liczb z tej serii widać, że żaden z jej członków, zbliżający się w nieskończoność do 1, nigdy nie przekroczy tej wartości. W tym przypadku ciąg zbieżny jest określany jako ograniczony. Dzieje się tak, gdy istnieje taka liczba dodatnia M, która jest zawsze większa niż którykolwiek z wyrazów szeregu modulo. Jeśli szereg liczb ma oznaki monotonii i ma granicę, a zatem jest zbieżny, to z konieczności jest obdarzony taką właściwością. A odwrotnie nie musi być prawdą. Świadczy o tym twierdzenie o ograniczeniu dla ciągu zbieżnego.
Zastosowanie takich obserwacji w praktyce jest bardzo przydatne. Podajmy konkretny przykład, badając właściwości ciągu X =n/n+1 i udowodnij jego zbieżność. Łatwo pokazać, że jest monotoniczny, ponieważ (x +1 – x) jest liczbą dodatnią dla dowolnych n wartości. Granica ciągu jest równa liczbie 1, co oznacza, że spełnione są wszystkie warunki powyższego twierdzenia, zwanego także twierdzeniem Weierstrassa. Twierdzenie o ograniczoności ciągu zbieżnego mówi, że jeśli ma on granicę, to w każdym razie okazuje się, że jest on ograniczony. Weźmy jednak następujący przykład. Seria liczb X =(-1) jest ograniczona od dołu przez -1, a od góry przez 1. Ale ta sekwencja nie jest monotoniczna, nie ma graniczny, a zatem nie zbiega się. Oznacza to, że istnienie granicy i zbieżności nie zawsze wynika z ograniczenia. Aby to zadziałało, dolna i górna granica muszą się zgadzać, tak jak w przypadku współczynników Fibonacciego.
Liczby i prawa Wszechświata
Najprostsze warianty ciągu zbieżnego i rozbieżnego to prawdopodobnie ciągi liczbowe X =n i X =1/n. Pierwsza z nich to naturalny ciąg liczb. Jest, jak już wspomniano, nieskończenie duży. Druga zbieżna sekwencja jest ograniczona, a jej terminy są bliskie nieskończenie małej wielkości. Każda z tych formuł uosabia jedną ze stron wieloaspektowego Wszechświata, pomagając człowiekowi wyobrazić sobie i obliczyć coś niepoznawalnego, niedostępnego dla ograniczonej percepcji w języku liczb i znaków.
Prawa wszechświata, od nieistotnych do niewiarygodnie dużych, również wyrażają złoty stosunek 0,618.wierzą, że jest podstawą istoty rzeczy i jest używany przez naturę do tworzenia jej części. Relacje między kolejnymi i poprzednimi członkami serii Fibonacci, o których już wspominaliśmy, nie dopełniają pokazu niesamowitych właściwości tej wyjątkowej serii. Jeśli weźmiemy pod uwagę iloraz dzielenia poprzedniego wyrazu przez następny przez jeden, otrzymamy szereg 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 i tak dalej. Interesujące jest to, że ta ograniczona sekwencja jest zbieżna, nie jest monotonna, ale stosunek sąsiednich liczb ekstremów od pewnego członka zawsze wynosi w przybliżeniu 0,382, co można również wykorzystać w architekturze, analizie technicznej i innych branżach.
Istnieją inne interesujące współczynniki serii Fibonacciego, wszystkie odgrywają szczególną rolę w przyrodzie i są również wykorzystywane przez człowieka do celów praktycznych. Matematycy są pewni, że Wszechświat rozwija się według pewnej „złotej spirali”, utworzonej ze wskazanych współczynników. Za ich pomocą można obliczyć wiele zjawisk zachodzących na Ziemi iw kosmosie, począwszy od wzrostu liczebności określonych bakterii, a skończywszy na ruchu odległych komet. Jak się okazuje, kod DNA podlega podobnym prawom.
Spadek postępu geometrycznego
Istnieje twierdzenie, które potwierdza jednoznaczność granicy zbieżnego ciągu. Oznacza to, że nie może mieć dwóch lub więcej granic, co jest niewątpliwie ważne dla znalezienia jego matematycznych cech.
Spójrzmy na niektóresprawy. Każdy szereg liczbowy złożony z elementów postępu arytmetycznego jest rozbieżny, z wyjątkiem przypadku z krokiem zerowym. To samo dotyczy postępu geometrycznego, którego mianownik jest większy niż 1. Granice takiego szeregu liczbowego to „plus” lub „minus” nieskończoności. Jeśli mianownik jest mniejszy niż -1, to w ogóle nie ma limitu. Możliwe są inne opcje.
Rozważ serię liczb określoną wzorem X =(1/4) -1. Na pierwszy rzut oka łatwo zauważyć, że ten ciąg zbieżny jest ograniczony, ponieważ jest ściśle malejący i w żaden sposób nie może przyjmować wartości ujemnych.
Napiszmy liczbę jego członków z rzędu.
Okaże się: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 i tak dalej. Dość proste obliczenia wystarczą, aby zrozumieć, jak szybko ten postęp geometryczny zmniejsza się z mianownika 0<q<1. Podczas gdy mianownik terminów rośnie w nieskończoność, same stają się nieskończenie małe. Oznacza to, że granica szeregu liczb wynosi 0. Ten przykład po raz kolejny pokazuje ograniczoną naturę ciągu zbieżnego.
Sekwencje podstawowe
Augustin Louis Cauchy, francuski naukowiec, ujawnił światu wiele prac związanych z analizą matematyczną. Nadał definicje takich pojęć, jak różniczk, całka, granica i ciągłość. Studiował również podstawowe właściwości ciągów zbieżnych. Aby zrozumieć istotę swoich pomysłów,niektóre ważne szczegóły wymagają podsumowania.
Na samym początku artykułu pokazano, że istnieją takie ciągi, dla których istnieje sąsiedztwo, w którym punkty reprezentujące elementy pewnego szeregu na linii rzeczywistej zaczynają się skupiać, coraz bardziej ustawiając się w jednej linii gęsto. Jednocześnie odległość między nimi zmniejsza się wraz ze wzrostem liczby kolejnego przedstawiciela, zamieniając się w nieskończenie małą. Okazuje się więc, że w danym sąsiedztwie zgrupowana jest nieskończona liczba przedstawicieli danego szeregu, podczas gdy poza nim jest ich skończona liczba. Takie sekwencje nazywamy fundamentalnymi.
Słynne kryterium Cauchy'ego, stworzone przez francuskiego matematyka, wyraźnie wskazuje, że obecność takiej właściwości jest wystarczająca, aby udowodnić, że ciąg jest zbieżny. Odwrotność też jest prawdziwa.
Należy zauważyć, że ten wniosek francuskiego matematyka ma głównie znaczenie czysto teoretyczne. Jego zastosowanie w praktyce uważa się za dość skomplikowaną sprawę, dlatego dla wyjaśnienia zbieżności szeregów o wiele ważniejsze jest udowodnienie istnienia skończonej granicy ciągu. W przeciwnym razie jest uważany za rozbieżny.
Rozwiązując problemy, należy również wziąć pod uwagę podstawowe własności ciągów zbieżnych. Są one pokazane poniżej.
Nieskończone sumy
Taki słynni naukowcy starożytności jak Archimedes, Euklides, Eudoksos używali sum nieskończonych szeregów liczbowych do obliczania długości krzywych, objętości ciałi obszary figur. W szczególności w ten sposób można było poznać obszar odcinka parabolicznego. W tym celu wykorzystano sumę szeregu liczbowego postępu geometrycznego z q=1/4. W podobny sposób znaleziono objętości i pola innych dowolnych figur. Ta opcja została nazwana metodą „wyczerpania”. Pomysł polegał na tym, że badane ciało o złożonym kształcie zostało rozbite na części, które były figurami o łatwych do zmierzenia parametrach. Z tego powodu nie było trudno obliczyć ich powierzchnie i kubatury, a następnie się sumowały.
Nawiasem mówiąc, podobne zadania są dobrze znane współczesnym uczniom i można je znaleźć w zadaniach USE. Unikalna metoda, znaleziona przez odległych przodków, jest zdecydowanie najprostszym rozwiązaniem. Nawet jeśli istnieją tylko dwie lub trzy części, na które podzielona jest liczba, dodanie ich obszarów jest nadal sumą szeregu liczb.
Znacznie później niż starożytni greccy naukowcy Leibniz i Newton, bazując na doświadczeniach swoich mądrych poprzedników, nauczyli się wzorów obliczeń całkowych. Znajomość właściwości sekwencji pomogła im rozwiązać równania różniczkowe i algebraiczne. Obecnie teoria serii, tworzona wysiłkiem wielu pokoleń utalentowanych naukowców, daje szansę rozwiązania ogromnej liczby problemów matematycznych i praktycznych. A badanie ciągów liczbowych było głównym problemem rozwiązywanym przez analizę matematyczną od jej powstania.
