Wzory do określania odległości od punktu do płaszczyzny i od punktu do prostej

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Poznanie odległości punktu od płaszczyzny lub do linii prostej pozwala obliczyć objętość i powierzchnię figur w przestrzeni. Obliczenie tej odległości w geometrii odbywa się za pomocą odpowiednich równań dla określonych obiektów geometrycznych. W artykule pokażemy, jakimi formułami można go określić.

Równania linii i płaszczyzn

Zanim podamy wzory na określenie odległości punktu od płaszczyzny i od prostej, pokażmy, jakie równania opisują te obiekty.

Do zdefiniowania punktu używany jest zestaw współrzędnych w podanym układzie osi współrzędnych. Tutaj rozważymy tylko prostokątny układ kartezjański, w którym osie mają te same wektory jednostkowe i są wzajemnie prostopadłe. Na płaszczyźnie dowolny punkt opisany jest przez dwie współrzędne, w przestrzeni - przez trzy.

Różne typy równań są używane do definiowania linii prostej. Zgodnie z tematem artykułu przedstawiamytylko dwa z nich, które są używane w dwuwymiarowej przestrzeni do definiowania linii.

Równanie wektorowe. Ma następującą notację:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Pierwszy termin przedstawia współrzędne znanego punktu leżącego na linii. Drugi wyraz to współrzędne wektora kierunku pomnożone przez dowolną liczbę λ.

Równanie ogólne. Jego notacja jest następująca:

Ax + By + C=0;

gdzie A, B, C to niektóre współczynniki.

Ogólne równanie jest częściej używane do wyznaczania linii na płaszczyźnie, jednak aby znaleźć odległość od punktu do linii na płaszczyźnie wygodniej jest pracować z wyrażeniem wektorowym.

Płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej może być również zapisana na kilka sposobów matematycznych. Niemniej jednak najczęściej w problemach występuje ogólne równanie, które jest zapisane w następujący sposób:

Ax + By + Cz + D=0.

Zaletą tego zapisu w stosunku do innych jest to, że wyraźnie zawiera współrzędne wektora prostopadłego do płaszczyzny. Ten wektor nazywa się dla niego przewodnikiem, pokrywa się z kierunkiem normalnej, a jego współrzędne są równe (A; B; C).

Zauważ, że powyższe wyrażenie pokrywa się z formą zapisu ogólnego równania linii prostej w przestrzeni dwuwymiarowej, więc przy rozwiązywaniu problemów należy uważać, aby nie pomylić tych obiektów geometrycznych.

Odległość między punktem a linią

Pokażmy, jak obliczyć odległość między linią prostą apunkt w przestrzeni dwuwymiarowej.

Niech będzie jakiś punkt Q(x₁; y_{1) i linia wyznaczona przez:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Odległość między prostą a punktem rozumiana jest jako długość odcinka prostopadłego do tej prostej, opuszczonego na nią od punktu Q.

Przed obliczeniem tej odległości powinieneś wstawić współrzędne Q do tego równania. Jeśli je spełniają, to Q należy do danej linii, a odpowiadająca jej odległość jest równa zeru. Jeżeli współrzędne punktu nie prowadzą do równości, to odległość między obiektami geometrycznymi jest niezerowa. Można go obliczyć za pomocą wzoru:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Tutaj P jest dowolnym punktem prostej, która jest początkiem wektora PQ¯. Wektor u¯ jest odcinkiem prowadzącym dla linii prostej, to znaczy, jego współrzędne to (a; b).

Użycie tego wzoru wymaga umiejętności obliczenia iloczynu krzyżowego w liczniku.

Problem z punktem i linią

Powiedzmy, że musisz znaleźć odległość między Q(-3;1) a linią prostą, która spełnia równanie:

y=5x -2.

Podstawiając współrzędne Q do wyrażenia, możemy upewnić się, że Q nie leży na linii. Możesz zastosować wzór na d podany w powyższym akapicie, jeśli przedstawisz to równanie w postaci wektorowej. Zróbmy to tak:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Teraz weźmy dowolny punkt na tej linii, na przykład (0; -2), i zbudujmy wektor zaczynający się od niego i kończący się na Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Teraz zastosuj wzór do określenia odległości, otrzymujemy:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Odległość od punktu do płaszczyzny

Podobnie jak w przypadku linii prostej, odległość między płaszczyzną a punktem w przestrzeni rozumiana jest jako długość odcinka, który z danego punktu jest prostopadły do płaszczyzny i przecina ją.

W przestrzeni punkt jest wyznaczony przez trzy współrzędne. Jeśli są równe (x₁; y₁; z_{1), to odległość między płaszczyznę i ten punkt można obliczyć za pomocą wzoru:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Zauważ, że użycie wzoru pozwala znaleźć tylko odległość od płaszczyzny do linii. Aby znaleźć współrzędne punktu, w którym odcinek prostopadły przecina płaszczyznę, należy napisać równanie dla prostej, do której należy ten odcinek, a następnie znaleźć punkt wspólny dla tej linii i danej płaszczyzny.

Problem z samolotem i punktem

Znajdź odległość od punktu do płaszczyzny, jeśli wiadomo, że punkt ma współrzędne (3; -1; 2), a płaszczyzna jest podana przez:

-y + 3z=0.

Aby użyć odpowiedniego wzoru, najpierw wypisujemy współczynniki dlapodany samolot. Ponieważ zmienna x i wyraz wolny są nieobecne, współczynniki A i D są równe zeru. Mamy:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Łatwo pokazać, że ta płaszczyzna przechodzi przez początek i do niego należy oś X.

Podstawiamy współrzędne punktu i współczynniki płaszczyzny do wzoru na odległość d, otrzymujemy:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Zauważ, że jeśli zmienisz współrzędną x punktu, odległość d się nie zmieni. Fakt ten oznacza, że zbiór punktów (x; -1; 2) tworzy linię prostą równoległą do danej płaszczyzny.