Podczas studiowania stereometrii jednym z głównych tematów jest „Cylinder”. Powierzchnia boczna jest uważana, jeśli nie główną, to ważną formułą w rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Jednak ważne jest, aby pamiętać definicje, które pomogą Ci poruszać się po przykładach i dowodzić różnych twierdzeń.
Koncepcja cylindra
Najpierw musimy rozważyć kilka definicji. Dopiero po ich przestudiowaniu można zacząć rozważać kwestię wzoru na powierzchnię bocznej powierzchni cylindra. Na podstawie tego wpisu można obliczyć inne wyrażenia.
- Powierzchnia cylindryczna jest rozumiana jako płaszczyzna opisana przez tworzącą, poruszającą się i pozostającą równolegle do danego kierunku, przesuwając się wzdłuż istniejącej krzywej.
- Istnieje również druga definicja: powierzchnia cylindryczna jest utworzona przez zestaw równoległych linii przecinających daną krzywą.
- Generative jest konwencjonalnie nazywany wysokością cylindra. Kiedy porusza się wokół osi przechodzącej przez środek podstawy,wyznaczona bryła geometryczna jest uzyskiwana.
- Pod osią rozumie się linię prostą przechodzącą przez obie podstawy figury.
- Walec to bryła stereometryczna ograniczona przecinającą się powierzchnią boczną i 2 równoległymi płaszczyznami.
Istnieją odmiany tej trójwymiarowej figury:
- Okrągły to walec, którego prowadnicą jest koło. Jego głównymi składnikami są promień podstawy i tworząca. Ta ostatnia jest równa wysokości figury.
- Jest prosty cylinder. Swoją nazwę zawdzięcza prostopadłości tworzącej do podstaw figury.
- Trzeci rodzaj to ukośny cylinder. W podręcznikach można również znaleźć dla niego inną nazwę - „okrągły cylinder ze ściętą podstawą”. Ta liczba określa promień podstawy, minimalną i maksymalną wysokość.
- Walec równoboczny jest rozumiany jako korpus mający równą wysokość i średnicę płaszczyzny kołowej.
Symbole
Tradycyjnie główne "elementy" cylindra są nazywane w następujący sposób:
- Promień podstawy to R (zastępuje również tę samą wartość figury stereometrycznej).
- Generative – L.
- Wysokość – H.
- Obszar bazowy - Sbaza (innymi słowy, musisz znaleźć określony parametr okręgu).
- Ukośne wysokości cylindrów - h1, h2 (minimum i maksimum).
- Powierzchnia boczna - Sbok (jeśli ją rozszerzysz, otrzymaszrodzaj prostokąta).
- Głośność figury stereometrycznej - V.
- Całkowita powierzchnia – S.
„Składniki” figury stereometrycznej
Podczas badania cylindra, powierzchnia boczna odgrywa ważną rolę. Wynika to z faktu, że ta formuła znajduje się w kilku innych, bardziej skomplikowanych. Dlatego konieczna jest dobra znajomość teorii.
Główne elementy rysunku to:
- Powierzchnia boczna. Jak wiadomo, uzyskuje się ją dzięki ruchowi tworzącej wzdłuż danej krzywej.
- Pełna powierzchnia obejmuje istniejące podstawy i płaszczyznę boczną.
- Przekrój walca z reguły jest prostokątem umieszczonym równolegle do osi figury. W przeciwnym razie nazywa się to samolotem. Okazuje się, że długość i szerokość są składnikami innych figur w niepełnym wymiarze godzin. Tak więc, warunkowo, długości sekcji są generatorami. Szerokość - równoległe cięciwy figury stereometrycznej.
- Przekrój osiowy oznacza położenie samolotu przez środek ciała.
- I na koniec ostateczna definicja. Styczna to płaszczyzna przechodząca przez tworzącą cylindra pod kątem prostym do przekroju osiowego. W takim przypadku musi być spełniony jeden warunek. Określona tworząca musi być uwzględniona w płaszczyźnie przekroju osiowego.
Podstawowe wzory do pracy z cylindrem
Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć pole powierzchni walca, konieczne jest przestudiowanie głównych „składników” figury stereometrycznej i wzorów na ich znalezienie.
Te wzory różnią się tym, że najpierw podane są wyrażenia dla walca skośnego, a następnie dla prostego.
Przykłady zdekonstruowane
Zadanie 1.
Konieczne jest poznanie obszaru bocznej powierzchni cylindra. Podana jest przekątna przekroju AC=8 cm (ponadto jest osiowa). W kontakcie z tworzącą okazuje się <ACD=30°
Decyzja. Ponieważ wartości przekątnej i kąta są znane, w tym przypadku:
CD=ACcos 30°
Komentarz. Trójkąt ACD, w tym konkretnym przykładzie, jest trójkątem prostokątnym. Oznacza to, że iloraz dzielenia CD i AC=cosinus danego kąta. Wartość funkcji trygonometrycznych można znaleźć w specjalnej tabeli.
Podobnie możesz znaleźć wartość AD:
AD=ACsin 30°
Teraz musisz obliczyć pożądany wynik za pomocą następującego wzoru: powierzchnia bocznej powierzchni cylindra jest równa dwukrotności wyniku pomnożenia „pi”, promienia figury i jego wysokości. Należy również zastosować inny wzór: obszar podstawy cylindra. Jest równy wynikowi pomnożenia „pi” przez kwadrat promienia. I wreszcie ostatnia formuła: całkowita powierzchnia. Jest równa sumie dwóch poprzednich obszarów.
Zadanie 2.
Podano cylindry. Ich objętość=128n cm³. Który cylinder ma najmniejszy?pełna powierzchnia?
Decyzja. Najpierw musisz użyć wzorów do obliczenia objętości figury i jej wysokości.
Ponieważ całkowita powierzchnia cylindra jest znana z teorii, należy zastosować jej wzór.
Jeżeli otrzymaną formułę rozważymy jako funkcję powierzchni cylindra, to minimalny „wskaźnik” zostanie osiągnięty w punkcie ekstremum. Aby uzyskać ostatnią wartość, musisz użyć zróżnicowania.
Formuły można przeglądać w specjalnej tabeli do wyszukiwania instrumentów pochodnych. W przyszłości znaleziony wynik zostanie przyrównany do zera i zostanie znalezione rozwiązanie równania.
Odpowiedź: Smin zostanie osiągnięty przy h=1/32 cm, R=64 cm.
Problem 3.
Biorąc pod uwagę figurę stereometryczną - walec i przekrój. Ta ostatnia jest realizowana w taki sposób, aby była umieszczona równolegle do osi korpusu stereometrycznego. Walec ma następujące parametry: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Należy znaleźć odległość między sekcją a osią.
Decyzja.
Ponieważ przekrój walca jest rozumiany jako VSCM, tj. prostokąt, jego bok VM=h. Należy wziąć pod uwagę WMC. Trójkąt jest prostokątny. Na podstawie tego stwierdzenia możemy wywnioskować prawidłowe założenie, że MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Z tego miejsca możemy wywnioskować, że MK=BC=8 cm.
Następnym krokiem jest narysowanie przekroju przez podstawę figury. Konieczne jest uwzględnienie płaszczyzny wynikowej.
AD – średnica figury stereometrycznej. Jest to paralelne do sekcji wymienionej w opisie problemu.
BC to linia prosta położona na płaszczyźnie istniejącego prostokąta.
ABCD to trapez. W szczególnym przypadku jest uważany za równoramienny, ponieważ wokół niego opisany jest okrąg.
Jeśli znajdziesz wysokość powstałego trapezu, możesz uzyskać odpowiedź podaną na początku zadania. Mianowicie: znalezienie odległości między osią a narysowanym przekrojem.
Aby to zrobić, musisz znaleźć wartości AD i OS.
Odpowiedź: sekcja znajduje się 3 cm od osi.
Problemy z konsolidacją materiału
Przykład 1.
Podano cylinder. W kolejnym rozwiązaniu zastosowano powierzchnię boczną. Znane są inne opcje. Powierzchnia podstawy to Q, powierzchnia przekroju osiowego to M. Konieczne jest znalezienie S. Innymi słowy, całkowita powierzchnia cylindra.
Przykład 2.
Podano cylinder. Powierzchnię boczną należy znaleźć w jednym z etapów rozwiązywania problemu. Wiadomo, że wysokość=4 cm, promień=2 cm Konieczne jest znalezienie całkowitej powierzchni figury stereometrycznej.
