Aby ułatwić czytelnikowi wyobrażenie sobie, czym jest hiperboloid - trójwymiarowy obiekt - najpierw należy wziąć pod uwagę zakrzywioną hiperbolę o tej samej nazwie, która pasuje do dwuwymiarowej przestrzeni.
Hiperbola ma dwie osie: rzeczywistą, która na tej figurze pokrywa się z osią odciętych, oraz urojoną z osią y. Jeśli zaczniesz w myślach obracać równanie hiperboli wokół jej wyimaginowanej osi, wówczas powierzchnia „widziana” przez krzywą będzie hiperboloidą jednowarstwową.
Jeśli jednak zaczniemy w ten sposób obracać hiperbolę wokół jej rzeczywistej osi, wówczas każda z dwóch "połówek" krzywej utworzy swoją własną odrębną powierzchnię i razem będzie nazywana dwu- arkusz hiperboloidy.
Uzyskiwane przez obracanie odpowiedniej krzywej płaskiej, są one odpowiednio nazywane hiperboloidami obrotu. Posiadają parametry we wszystkich kierunkach prostopadłych do osi obrotu,należący do obróconej krzywej. Generalnie tak nie jest.
Równanie hiperboloidowe
Na ogół powierzchnię można zdefiniować za pomocą następujących równań we współrzędnych kartezjańskich (x, y, z):
W przypadku hiperboloidy obrotu, jej symetria wokół osi, wokół której się obraca, jest wyrażona przez równość współczynników a=b.
Cechy hiperboloidy
Ma sztuczkę. Wiemy, że krzywe na płaszczyźnie mają ogniska - w przypadku hiperboli np. moduł różnicy odległości od dowolnego punktu na hiperboli do jednego ogniska, a drugi jest z definicji stały, w rzeczywistości ogniska pkt.
Podczas przechodzenia do przestrzeni trójwymiarowej definicja praktycznie się nie zmienia: ogniska to znowu dwa punkty, a różnica odległości od nich do dowolnego punktu należącego do powierzchni hiperboloidy jest stała. Jak widać, tylko trzecia współrzędna pojawiła się ze zmian dla wszystkich możliwych punktów, ponieważ teraz są one ustawione w przestrzeni. Mówiąc ogólnie, zdefiniowanie ogniska jest równoznaczne z określeniem rodzaju krzywej lub powierzchni: mówiąc o tym, jak punkty powierzchni są rozmieszczone w stosunku do ognisk, w rzeczywistości odpowiadamy na pytanie, czym jest hiperboloid i jak wygląda.
Warto pamiętać, że hiperbola ma asymptoty - linie proste, do których jej gałęzie dążą do nieskończoności. Jeśli przy konstruowaniu hiperboloidy rewolucji w myślach obracamy asymptoty razem z hiperbolą, to oprócz hiperboloidy otrzymamy również stożek zwany asymptotą. Stożek asymptotyczny todla hiperboloidów jedno- i dwuwarstwowych.
Kolejną ważną cechą charakterystyczną tylko jednowarstwowego hiperboloidy są generatory prostoliniowe. Jak sama nazwa wskazuje, są to linie i leżą całkowicie na danej powierzchni. Przez każdy punkt hiperboloidy jednowarstwowej przechodzą dwa prostoliniowe generatory. Należą one odpowiednio do dwóch rodzin linii, które są opisane następującymi układami równań:
Zatem hiperboloid jednowarstwowy może składać się w całości z nieskończonej liczby linii prostych dwóch rodzin, a każda linia jednej z nich będzie się przecinać ze wszystkimi liniami drugiej. Powierzchnie odpowiadające takim właściwościom nazywane są rządzonymi; można je konstruować za pomocą obrotu jednej linii prostej. Definicja poprzez wzajemne ułożenie linii (generatorów prostoliniowych) w przestrzeni może również służyć jako jednoznaczne określenie, czym jest hiperboloid.
Ciekawe właściwości hiperboloidy
Krzywe drugiego rzędu i odpowiadające im powierzchnie obrotowe mają interesujące właściwości optyczne związane z ogniskami. W przypadku hiperboloidy jest to sformułowane w następujący sposób: jeśli promień wystrzeliwuje z jednego ogniska, to po odbiciu od najbliższej „ściany” przyjmie taki kierunek, jakby pochodził z drugiego ogniska.
Hiperboloidy w życiu
Najprawdopodobniej większość czytelników zaczęła swoją znajomość z geometrią analityczną i powierzchniami drugiego rzędu od powieści science fiction Aleksieja Tołstoja„Inżynier hiperboloidy Garin”. Jednak sam pisarz albo nie wiedział dobrze, czym jest hiperboloida, albo poświęcił dokładność na rzecz artyzmu: opisywany wynalazek, pod względem cech fizycznych, jest raczej paraboloidą, która zbiera wszystkie promienie w jednym ognisku (podczas gdy właściwości optyczne hiperboloidu są związane z rozpraszaniem promieni).
Tak zwane struktury hiperboloidowe są bardzo popularne w architekturze: są to struktury o kształcie hiperboloidy jednowarstwowej lub paraboloidy hiperbolicznej. Faktem jest, że tylko te powierzchnie obrotowe drugiego rzędu mają generatory prostoliniowe: tak więc zakrzywioną konstrukcję można zbudować tylko z prostych belek. Zaletą takich konstrukcji jest zdolność do wytrzymywania dużych obciążeń, na przykład od wiatru: hiperboloidalny kształt jest wykorzystywany do budowy wysokich konstrukcji, na przykład wież telewizyjnych.
