Na szkolnym kursie geometrii brył, jedną z najprostszych figur, która ma niezerowe wymiary wzdłuż trzech osi przestrzennych, jest czworokątny pryzmat. Zastanów się w artykule, jakiego rodzaju jest to figura, z jakich elementów się składa, a także jak obliczyć jej powierzchnię i objętość.
Koncepcja pryzmatu
W geometrii pryzmat to figura przestrzenna, którą tworzą dwie identyczne podstawy i powierzchnie boczne, które łączą boki tych podstaw. Zauważ, że obie bazy są przekształcane w siebie za pomocą operacji równoległej translacji przez jakiś wektor. Takie przyporządkowanie pryzmatu prowadzi do tego, że wszystkie jego boki są zawsze równoległobokami.
Liczba boków podstawy może być dowolna, zaczynając od trzech. Gdy liczba ta dąży do nieskończoności, pryzmat płynnie zamienia się w cylinder, ponieważ jego podstawa staje się kołem, a boczne równoległoboki, łączące się, tworzą cylindryczną powierzchnię.
Jak każdy wielościan, pryzmat charakteryzuje sięboki (płaszczyzny, które ograniczają figurę), krawędzie (segmenty, wzdłuż których przecinają się dowolne dwie strony) i wierzchołki (punkty styku trzech boków, w przypadku graniastosłupa dwa z nich są boczne, a trzeci to podstawa). Ilości wymienionych trzech elementów figury są połączone następującym wyrażeniem:
P=C + B - 2
Tutaj P, C i B to odpowiednio liczba krawędzi, boków i wierzchołków. To wyrażenie jest zapisem matematycznym twierdzenia Eulera.
Powyższy rysunek przedstawia dwa pryzmaty. U podstawy jednej z nich (A) leży sześciokąt foremny, a boki są prostopadłe do podstaw. Rysunek B pokazuje inny pryzmat. Jego boki nie są już prostopadłe do podstaw, a podstawa jest pięciokątem foremnym.
Co to jest czworokątny pryzmat?
Jak jasno wynika z powyższego opisu, rodzaj pryzmatu zależy przede wszystkim od typu wielokąta tworzącego podstawę (obie podstawy są takie same, więc możemy mówić o jednej z nich). Jeśli ten wielokąt jest równoległobokiem, otrzymujemy pryzmat czworokątny. Zatem wszystkie boki tego typu pryzmatu są równoległobokami. Czworokątny pryzmat ma swoją nazwę - równoległościan.
Liczba boków równoległościanu wynosi sześć, a każdy bok ma do niego podobny równoległość. Ponieważ podstawy pudełka są z dwóch stron, pozostałe cztery są boczne.
Liczba wierzchołków równoległościanu wynosi osiem, co łatwo zauważyć, jeśli pamiętamy, że wierzchołki graniastosłupa tworzą tylko wierzchołki wielokątów bazowych (4x2=8). Stosując twierdzenie Eulera otrzymujemy liczbę krawędzi:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Z 12 żeber tylko 4 są uformowane niezależnie po bokach. Pozostałe 8 leżą w płaszczyznach podstaw figury.
W dalszej części artykułu porozmawiamy tylko o pryzmatach czworokątnych.
Rodzaje równoległościanów
Pierwszy rodzaj klasyfikacji to cechy leżące u podstaw równoległoboku. Może to wyglądać tak:
- regularny, którego kąty nie są równe 90o;
- prostokąt;
- kwadrat jest regularnym czworokątem.
Drugim rodzajem klasyfikacji jest kąt, pod którym bok przecina podstawę. Możliwe są tutaj dwa różne przypadki:
- ten kąt nie jest prosty, wtedy pryzmat nazywa się ukośnym lub ukośnym;
- kąt wynosi 90o, wtedy taki pryzmat jest prostokątny lub po prostu prosty.
Trzeci typ klasyfikacji jest związany z wysokością pryzmatu. Jeśli graniastosłup jest prostokątny, a podstawa jest kwadratem lub prostokątem, nazywa się to prostopadłościanem. Jeśli u podstawy jest kwadrat, to graniastosłup jest prostokątny, a jego wysokość jest równa długości boku kwadratu, to otrzymujemy znaną figurę sześcianu.
Powierzchnia i obszar pryzmatu
Zbiór wszystkich punktów leżących na dwóch podstawach pryzmatu(równoległoboki) i po bokach (cztery równoległoboki) tworzą powierzchnię figury. Powierzchnię tej powierzchni można obliczyć obliczając powierzchnię podstawy i tę wartość dla powierzchni bocznej. Wtedy ich suma da pożądaną wartość. Matematycznie jest to napisane w następujący sposób:
S=2So+ Sb
Tutaj So i Sb to odpowiednio powierzchnia podstawy i powierzchni bocznej. Cyfra 2 przed So pojawia się, ponieważ istnieją dwie zasady.
Zauważ, że zapisany wzór jest ważny dla każdego graniastosłupa, a nie tylko dla obszaru graniastosłupa czworokątnego.
Warto przypomnieć, że powierzchnia równoległoboku Sp jest obliczana według wzoru:
Sp=ah
Gdzie symbole a i h oznaczają odpowiednio długość jednego z jego boków i wysokość narysowaną do tego boku.
Powierzchnia prostopadłościanu o podstawie kwadratowej
W zwykłym czworokątnym pryzmacie podstawa jest kwadratem. Dla jednoznaczności oznaczamy jego stronę literą a. Aby obliczyć powierzchnię zwykłego pryzmatu czworokątnego, powinieneś znać jego wysokość. Zgodnie z definicją dla tej wielkości jest ona równa długości prostopadłej opuszczonej z jednej podstawy do drugiej, czyli równej odległości między nimi. Oznaczmy to literą h. Ponieważ wszystkie powierzchnie boczne są prostopadłe do podstaw dla rozważanego typu graniastosłupa, wysokość regularnego graniastosłupa czworokątnego będzie równa długości jego krawędzi bocznej.
BOgólny wzór na pole powierzchni pryzmatu to dwa pojęcia. Powierzchnia podstawy w tym przypadku jest łatwa do obliczenia, jest równa:
So=a2
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, argumentujemy w następujący sposób: ta powierzchnia składa się z 4 identycznych prostokątów. Co więcej, boki każdego z nich są równe a i h. Oznacza to, że obszar Sb będzie równy:
Sb=4ah
Zauważ, że iloczyn 4a jest obwodem kwadratowej podstawy. Jeśli uogólnimy to wyrażenie na przypadek dowolnej podstawy, to dla prostopadłościanu powierzchnię boczną można obliczyć w następujący sposób:
Sb=Poh
Gdzie Po to obwód bazy.
Wracając do problemu obliczania pola zwykłego czworokątnego graniastosłupa, możemy napisać ostateczną formułę:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Obszar ukośnego równoległościanu
Obliczanie jest nieco trudniejsze niż w przypadku prostokąta. W takim przypadku powierzchnia podstawy czworokątnego pryzmatu jest obliczana przy użyciu tego samego wzoru, co w przypadku równoległoboku. Zmiany dotyczą sposobu wyznaczania powierzchni bocznej.
Aby to zrobić, użyj tego samego wzoru na obwodzie, jak podano w powyższym akapicie. Dopiero teraz będzie miał nieco inne mnożniki. Ogólny wzór na Sb w przypadku skośnego pryzmatu to:
Sb=Psrc
Tutaj c jest długością bocznej krawędzi figury. Wartość Psr to obwód prostokątnego wycinka. To środowisko jest zbudowane w następujący sposób: konieczne jest przecięcie wszystkich bocznych ścian płaszczyzną tak, aby była do nich prostopadła. Otrzymany prostokąt będzie żądanym cięciem.
Powyższy rysunek przedstawia przykład ukośnego pudełka. Jej kreskowany przekrój tworzy z bokami kąty proste. Obwód przekroju to Psr. Tworzą go cztery wysokości bocznych równoległoboków. W przypadku tego czworokątnego graniastosłupa powierzchnia boczna jest obliczana przy użyciu powyższego wzoru.
Długość przekątnej prostopadłościanu
Przekątna równoległościanu to odcinek, który łączy dwa wierzchołki, które nie mają wspólnych boków, które je tworzą. W każdym pryzmacie czworokątnym są tylko cztery przekątne. W przypadku prostopadłościanu z prostokątem u podstawy długości wszystkich przekątnych są sobie równe.
Poniższy rysunek przedstawia odpowiedni rysunek. Czerwony segment to jego przekątna.
Obliczanie jego długości jest bardzo proste, jeśli pamiętasz twierdzenie Pitagorasa. Każdy uczeń może otrzymać pożądaną formułę. Ma następującą postać:
D=√(A2+ B2 + C2)
Tutaj D jest długością przekątnej. Pozostałe znaki to długości boków pudełka.
Wiele osób myli przekątną równoległościanu z przekątnymi jego boków. Poniżej znajduje się zdjęcie, na którym kolorowesegmenty reprezentują przekątne boków figury.
Długość każdego z nich jest również określana przez twierdzenie Pitagorasa i jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odpowiednich długości boków.
Objętość pryzmatu
Oprócz powierzchni zwykłego czworokątnego pryzmatu lub innego rodzaju pryzmatów, aby rozwiązać niektóre problemy geometryczne, należy również znać ich objętość. Ta wartość dla absolutnie dowolnego pryzmatu jest obliczana według następującego wzoru:
V=Soh
Jeśli pryzmat jest prostokątny, wystarczy obliczyć powierzchnię jego podstawy i pomnożyć ją przez długość krawędzi boku, aby uzyskać objętość figury.
Jeżeli pryzmat jest zwykłym czworokątnym pryzmatem, jego objętość będzie wynosić:
V=a2h.
Łatwo zauważyć, że ten wzór jest konwertowany na wyrażenie objętości sześcianu, jeśli długość krawędzi bocznej h jest równa boku podstawy a.
Problem z prostopadłościanem
Aby skonsolidować badany materiał, rozwiążemy następujący problem: istnieje równoległościan prostokątny o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm. Należy obliczyć jego pole powierzchni, długość przekątnej i objętość.
Dla jednoznaczności przyjmiemy, że podstawą figury jest prostokąt o bokach 3 cm i 4 cm, wtedy jego powierzchnia wynosi 12 cm2, a kropka wynosi 14 cm Korzystając ze wzoru na pole powierzchni pryzmatu otrzymujemy:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Aby określić długość przekątnej i objętość figury, możesz bezpośrednio użyć powyższych wyrażeń:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problem z ukośnym równoległościanem
Poniższy rysunek przedstawia ukośny pryzmat. Jego boki są równe: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Musisz znaleźć pole powierzchni tej figury.
Najpierw określmy obszar podstawy. Rysunek pokazuje, że kąt ostry wynosi 50o. Wtedy jego obszar to:
So=ha=grzech(50o)ba
Aby określić obszar powierzchni bocznej, należy znaleźć obwód zacieniowanego prostokąta. Boki tego prostokąta to asin(45o) i bsin(60o). Wtedy obwód tego prostokąta to:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Całkowita powierzchnia tego pudełka to:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Dane z warunku problemu podstawiamy długościami boków figury, otrzymujemy odpowiedź:
S=458, 5496 cm3
Z rozwiązania tego problemu widać, że funkcje trygonometryczne służą do wyznaczania pól figur ukośnych.
