Pryzmat to dość prosta geometryczna trójwymiarowa figura. Niemniej jednak niektóre dzieci w wieku szkolnym mają problemy z określeniem jego głównych właściwości, których przyczyna jest z reguły związana z niewłaściwie używaną terminologią. W tym artykule zastanowimy się, czym są pryzmaty, jak się nazywają, a także szczegółowo opiszemy prawidłowy pryzmat czworokątny.
Pryzmat w geometrii
Badanie trójwymiarowych figur to zadanie stereometrii - ważnej części geometrii przestrzennej. W stereometrii pryzmat jest rozumiany jako taka figura, która jest utworzona przez równoległe przesunięcie dowolnego płaskiego wielokąta w pewnej odległości w przestrzeni. Translacja równoległa oznacza ruch, w którym obrót wokół osi prostopadłej do płaszczyzny wielokąta jest całkowicie wykluczony.
W wyniku opisanego sposobu uzyskania pryzmatu powstaje figura ograniczona dwomawielokąty o tych samych wymiarach, leżące w równoległych płaszczyznach i pewną liczbę równoległoboków. Ich liczba pokrywa się z liczbą boków (wierzchołków) wielokąta. Identyczne wielokąty nazywane są podstawami pryzmatu, a ich powierzchnia to pole podstaw. Równoległoboki łączące dwie podstawy tworzą powierzchnię boczną.
Pryzmaty i twierdzenie Eulera
Ponieważ rozważana trójwymiarowa figura jest wielościanem, to znaczy składa się z zestawu przecinających się płaszczyzn, charakteryzuje się pewną liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian. Wszystkie są elementami pryzmatu.
W połowie XVIII wieku szwajcarski matematyk Leonhard Euler ustalił związek między liczbą podstawowych elementów wielościanu. Ta zależność jest zapisana następującym prostym wzorem:
Liczba krawędzi=liczba wierzchołków + liczba ścian - 2
Dla każdego pryzmatu ta równość jest prawdziwa. Podajmy przykład jego użycia. Załóżmy, że istnieje zwykły czworokątny pryzmat. Jest na zdjęciu poniżej.
Widać, że liczba wierzchołków wynosi 8 (4 dla każdej podstawy czworokątnej). Liczba boków lub ścian wynosi 6 (2 podstawy i 4 prostokąty boczne). Wtedy liczba krawędzi dla niego będzie wynosić:
Liczba żeber=8 + 6 - 2=12
Wszystkie można policzyć, jeśli odniesiesz się do tego samego obrazu. Osiem krawędzi leży u podstaw, a cztery są prostopadłe do tych podstaw.
Pełna klasyfikacja pryzmatów
Ważne jest zrozumienie tej klasyfikacji, aby później nie pomylić się z terminologią i użyć poprawnych wzorów do obliczenia, na przykład, pola powierzchni lub objętości cyfr.
Dla dowolnego pryzmatu o dowolnym kształcie można wyróżnić 4 cechy, które będą go charakteryzować. Wymieńmy je:
- Według liczby rogów wielokąta u podstawy: trójkątny, pięciokątny, ośmiokątny itd.
- Typ wielokąta. To może być dobre lub złe. Na przykład trójkąt prostokątny jest nieregularny, ale trójkąt równoboczny jest poprawny.
- Zgodnie z typem wypukłości wielokąta. Może być wklęsły lub wypukły. Najczęściej spotykane są pryzmaty wypukłe.
- Pod kątami między podstawami a bocznymi równoległobokami. Jeśli wszystkie te kąty są równe 90o, to mówią o prawym pryzmacie, jeśli nie wszystkie z nich są prawidłowe, to taką figurę nazywamy ukośną.
Ze wszystkich tych punktów chciałbym zatrzymać się na ostatnim. Pryzmat prosty nazywany jest również pryzmatem prostokątnym. Wynika to z faktu, że dla niego równoległoboki są w ogólnym przypadku prostokątami (w niektórych przypadkach mogą to być kwadraty).
Na przykład powyższy rysunek przedstawia pięciokątną wklęsłą prostokątną lub prostą figurę.
Zwykły czworokątny pryzmat
Podstawą tego pryzmatu jest regularny czworobok, czyli kwadrat. Powyższy rysunek już pokazał, jak wygląda ten pryzmat. Oprócz dwóch kwadratów, które jejograniczenie góry i dołu, zawiera również 4 prostokąty.
Oznaczmy bok podstawy zwykłego czworokątnego graniastosłupa literą a, długość jego bocznej krawędzi będzie oznaczona literą c. Ta długość jest jednocześnie wysokością sylwetki. Wtedy pole całej powierzchni tego pryzmatu wyraża się wzorem:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Tutaj pierwszy składnik odzwierciedla udział podstaw w całkowitej powierzchni, drugi składnik to pole powierzchni bocznej.
Biorąc pod uwagę wprowadzony zapis długości boków, zapisujemy wzór na objętość danej figury:
V=a2c
Oznacza to, że objętość jest obliczana jako iloczyn powierzchni podstawy kwadratowej i długości krawędzi bocznej.
Kształt kostki
Wszyscy znają tę idealną trójwymiarową figurę, ale mało kto myślał, że jest to zwykły czworokątny graniastosłup, którego bok jest równy długości boku podstawy kwadratu, czyli c=a.
Dla sześcianu, wzory na całkowitą powierzchnię i objętość przyjmą postać:
S=6a2
V=a3
Ponieważ sześcian jest pryzmatem składającym się z 6 identycznych kwadratów, każdą równoległą parę z nich można uznać za podstawę.
Cube to wysoce symetryczna figura, która w naturze urzeczywistnia się w postaci sieci krystalicznych wielu materiałów metalicznych i kryształów jonowych. Na przykład kraty ze złota, srebra, miedzi i stołusole są sześcienne.
