Każda wielkość fizyczna, która jest podana w równaniach matematycznych w badaniu określonego zjawiska naturalnego, ma pewne znaczenie. Moment bezwładności nie jest wyjątkiem od tej reguły. Fizyczne znaczenie tej wielkości jest szczegółowo omówione w tym artykule.
Moment bezwładności: formuła matematyczna
Przede wszystkim należy powiedzieć, że rozważana wielkość fizyczna jest używana do opisu systemów obrotowych, czyli takich ruchów obiektu, które charakteryzują się kołowymi trajektoriami wokół jakiejś osi lub punktu.
Podajmy wzór matematyczny na moment bezwładności dla punktu materialnego:
I=mr2.
Tutaj m i r to odpowiednio masa i promień obrotu cząstki (odległość do osi). Każde ciało stałe, bez względu na to, jak bardzo jest złożone, można mentalnie podzielić na punkty materialne. Wtedy wzór na moment bezwładności w postaci ogólnej będzie wyglądał następująco:
I=∫mr2dm.
To wyrażenie jest zawsze prawdziwe, nie tylko dla trójwymiarowych,ale także dla dwuwymiarowych (jednowymiarowych) ciał, czyli płaszczyzn i prętów.
Z tych wzorów trudno jest zrozumieć znaczenie fizycznego momentu bezwładności, ale można wyciągnąć ważny wniosek: zależy on od rozkładu masy w wirującym ciele, a także od odległości do oś obrotu. Co więcej, zależność od r jest ostrzejsza niż od m (patrz znak kwadratu we wzorach).
Ruch okrężny
Zrozum, jakie jest fizyczne znaczenie momentu bezwładności, jest to niemożliwe, jeśli nie weźmiesz pod uwagę ruchu kołowego ciał. Nie wchodząc w szczegóły, oto dwa wyrażenia matematyczne opisujące obrót:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
Górne równanie nazywa się prawem zachowania wielkości L (pędu). Oznacza to, że bez względu na to, jakie zmiany zachodzą w systemie (najpierw był moment bezwładności I1, a następnie stał się równy I2), iloczyn I do prędkości kątowej ω, czyli moment pędu, pozostanie niezmieniony.
Dolne wyrażenie pokazuje zmianę prędkości obrotowej układu (dω/dt) przy przyłożeniu do niego pewnego momentu siły M, który ma charakter zewnętrzny, tzn. jest generowany przez siły nie związane z procesami wewnętrznymi w rozpatrywanym systemie.
Zarówno górna, jak i dolna równanie zawierają I, a im większa jest jego wartość, tym mniejsza jest prędkość kątowa ω lub przyspieszenie kątowe dω/dt. Takie jest fizyczne znaczenie chwili.bezwładność ciała: odzwierciedla zdolność układu do utrzymania prędkości kątowej. Im więcej ja, tym silniejsza ta umiejętność się manifestuje.
Analogia pędu liniowego
Przejdźmy teraz do tego samego wniosku, który został wyrażony na końcu poprzedniego akapitu, kreśląc analogię między ruchem obrotowym i translacyjnym w fizyce. Jak wiadomo, to ostatnie opisuje następujący wzór:
p=mv.
To proste wyrażenie określa pęd systemu. Porównajmy jego kształt z kształtem momentu pędu (patrz górne wyrażenie w poprzednim akapicie). Widzimy, że wartości v i ω mają to samo znaczenie: pierwsza charakteryzuje szybkość zmian współrzędnych liniowych obiektu, druga charakteryzuje współrzędne kątowe. Ponieważ obie formuły opisują proces ruchu jednostajnego (równokątnego), wartości m i I również muszą mieć to samo znaczenie.
Rozważmy teraz drugie prawo Newtona, które wyraża wzór:
F=ma.
Zwracając uwagę na formę niższej równości w poprzednim akapicie, mamy sytuację podobną do rozważanej. Moment siły M w swojej reprezentacji liniowej to siła F, a przyspieszenie liniowe a jest całkowicie analogiczne do kąta dω/dt. I znowu dochodzimy do równoważności masy i momentu bezwładności.
Jakie jest znaczenie masy w mechanice klasycznej? Jest to miara bezwładności: im większy m, tym trudniej jest przesunąć obiekt z jego miejsca, a tym bardziej nadać mu przyspieszenie. To samo można powiedzieć o momencie bezwładności w stosunku do ruchu obrotowego.
Fizyczne znaczenie momentu bezwładności na przykładzie gospodarstwa domowego
Zadajmy proste pytanie o to, jak łatwiej obracać metalowy pręt, na przykład pręt zbrojeniowy - kiedy oś obrotu jest skierowana wzdłuż jego długości, czy gdy jest w poprzek? Oczywiście łatwiej jest zakręcić prętem w pierwszym przypadku, ponieważ jego moment bezwładności dla takiego położenia osi będzie bardzo mały (dla cienkiego pręta jest równy zero). Dlatego wystarczy trzymać przedmiot w dłoniach i lekkim ruchem wprawić go w obrót.
Nawiasem mówiąc, opisany fakt został eksperymentalnie zweryfikowany przez naszych przodków w starożytności, kiedy nauczyli się rozpalać ogień. Obracali drążek z ogromnymi przyspieszeniami kątowymi, co doprowadziło do powstania dużych sił tarcia, a w efekcie do uwolnienia znacznej ilości ciepła.
Koło zamachowe samochodu jest doskonałym przykładem wykorzystania dużego momentu bezwładności
Na zakończenie chciałbym podać być może najważniejszy przykład dla współczesnej technologii wykorzystania fizycznego znaczenia momentu bezwładności. Koło zamachowe samochodu to solidna stalowa tarcza o stosunkowo dużym promieniu i masie. Te dwie wartości przesądzają o istnieniu istotnej wartości ją charakteryzującej. Koło zamachowe zostało zaprojektowane tak, aby „zmiękczyć” wszelkie siły działające na wał korbowy samochodu. Impulsowy charakter momentów działania sił z cylindrów silnika na wał korbowy jest wygładzony i wygładzony dzięki ciężkiemu kołu zamachowemu.
Nawiasem mówiąc, im większy moment pędu, tymwięcej energii znajduje się w układzie wirującym (analogicznie do masy). Inżynierowie chcą wykorzystać ten fakt, przechowując energię hamowania samochodu w kole zamachowym, aby następnie skierować ją na przyspieszenie pojazdu.
