Mechaniczny system, który składa się z punktu materialnego (ciała) zawieszonego na nierozciągliwej, nieważkości nici (jego masa jest znikoma w porównaniu z ciężarem ciała) w jednolitym polu grawitacyjnym nazywa się wahadłem matematycznym (inna nazwa to oscylator). Istnieją inne typy tego urządzenia. Zamiast nici można użyć nieważkiego pręta. Wahadło matematyczne może w jasny sposób ujawnić istotę wielu interesujących zjawisk. Przy niewielkiej amplitudzie oscylacji jego ruch nazywany jest harmonicznym.
Przegląd systemu mechanicznego
Wzór na okres oscylacji tego wahadła został opracowany przez holenderskiego naukowca Huygensa (1629-1695). Ten współczesny I. Newtonowi bardzo lubił ten mechaniczny system. W 1656 stworzył pierwszy zegar z wahadłem. Mierzyli czas wyjątkowojak na tamte czasy dokładność. Ten wynalazek stał się kamieniem milowym w rozwoju eksperymentów fizycznych i działań praktycznych.
Jeśli wahadło jest w równowadze (wiszą pionowo), wtedy siła grawitacji zostanie zrównoważona siłą naciągu nici. Płaskie wahadło na nierozciągliwym gwincie to układ o dwóch stopniach swobody z połączeniem. Zmiana tylko jednego komponentu powoduje zmianę właściwości wszystkich jego części. Tak więc, jeśli nić zostanie zastąpiona prętem, ten układ mechaniczny będzie miał tylko 1 stopień swobody. Jakie są właściwości wahadła matematycznego? W tym najprostszym systemie chaos powstaje pod wpływem okresowych perturbacji. W przypadku, gdy punkt zawieszenia nie porusza się, ale oscyluje, wahadło ma nową pozycję równowagi. Dzięki szybkim oscylacjom w górę i w dół ten mechaniczny system uzyskuje stabilną pozycję do góry nogami. Ma też swoje imię. Nazywa się to wahadłem Kapitzy.
Właściwości wahadła
Wahadło matematyczne ma bardzo interesujące właściwości. Wszystkie są potwierdzone znanymi prawami fizycznymi. Okres oscylacji każdego innego wahadła zależy od różnych okoliczności, takich jak wielkość i kształt ciała, odległość między punktem zawieszenia a środkiem ciężkości, rozkład masy względem tego punktu. Dlatego określenie okresu wiszącego ciała jest dość trudnym zadaniem. O wiele łatwiej jest obliczyć okres wahadła matematycznego, którego wzór zostanie podany poniżej. W wyniku obserwacji podobnychsystemy mechaniczne mogą ustanowić następujące wzorce:
• Jeżeli zachowując tę samą długość wahadła zawiesimy różne ciężarki, to okres ich drgań będzie taki sam, chociaż ich masy będą się znacznie różnić. Dlatego okres takiego wahadła nie zależy od masy ładunku.
• Podczas uruchamiania systemu, jeśli wahadło jest odchylane pod niezbyt dużymi, ale różnymi kątami, zacznie ono oscylować z tym samym okresem, ale z różnymi amplitudami. Dopóki odchylenia od środka równowagi nie będą zbyt duże, oscylacje w ich postaci będą dość zbliżone do harmonicznych. Okres takiego wahadła nie zależy w żaden sposób od amplitudy drgań. Ta właściwość tego mechanicznego systemu nazywana jest izochronizmem (przetłumaczona z greckiego „chronos” – czas, „isos” – równy).
Okres wahadła matematycznego
Ten wskaźnik reprezentuje okres naturalnych oscylacji. Mimo skomplikowanego sformułowania sam proces jest bardzo prosty. Jeżeli długość nitki wahadła matematycznego wynosi L, a przyspieszenie swobodnego spadania g, to wartość ta wynosi:
T=2π√L/g
Okres małych drgań naturalnych w żaden sposób nie zależy od masy wahadła i amplitudy drgań. W takim przypadku wahadło porusza się jak wahadło matematyczne o zmniejszonej długości.
Wahnięcia wahadła matematycznego
Wahadło matematyczne oscyluje, co można opisać prostym równaniem różniczkowym:
x + ω2 grzech x=0, gdzie x (t) jest nieznaną funkcją (jest to kąt odchylenia od dolnej)pozycja równowagi w czasie t, wyrażona w radianach); ω jest stałą dodatnią, która jest wyznaczana z parametrów wahadła (ω=√g/L, gdzie g jest przyspieszeniem swobodnego spadania, a L jest długością wahadła matematycznego (zawieszenia).
Równanie małych fluktuacji w pobliżu położenia równowagi (równanie harmoniczne) wygląda tak:
x + ω2 grzech x=0
Ruchy wahadła
Wahadło matematyczne, które powoduje niewielkie oscylacje, porusza się wzdłuż sinusoidy. Równanie różniczkowe drugiego rzędu spełnia wszystkie wymagania i parametry takiego ruchu. Aby określić trajektorię, należy określić prędkość i współrzędną, z których następnie wyznaczane są niezależne stałe:
x=Grzech (θ0 + ωt), gdzie θ0 to faza początkowa, A to amplituda oscylacji, ω to częstotliwość cykliczna określona z równania ruchu.
Wahadło matematyczne (wzory dla dużych amplitud)
Ten mechaniczny system, który oscyluje ze znaczną amplitudą, podlega bardziej złożonym prawom ruchu. Dla takiego wahadła oblicza się je ze wzoru:
sin x/2=usn(ωt/u), gdzie sn jest sinusem Jacobiego, który dla u < 1 jest funkcją okresową, a dla małego u pokrywa się z prostym sinusem trygonometrycznym. Wartość u jest określona przez następujące wyrażenie:
u=(ε + ω2)/2ω2, gdzie ε=E/mL2 (mL2 to energia wahadła).
Określanie okresu drgań wahadła nieliniowegoprzeprowadzone według wzoru:
T=2π/Ω, gdzie Ω=π/2ω/2K(u), K jest całką eliptyczną, π - 3, 14.
Ruch wahadła wzdłuż separatora
Separtrix to trajektoria układu dynamicznego z dwuwymiarową przestrzenią fazową. Wahadło matematyczne porusza się po nim nieokresowo. W nieskończenie odległym momencie spada z najwyższej pozycji na bok z zerową prędkością, a następnie stopniowo ją podnosi. W końcu zatrzymuje się, wracając do swojej pierwotnej pozycji.
Jeżeli amplituda drgań wahadła zbliża się do liczby π, oznacza to, że ruch na płaszczyźnie fazowej zbliża się do separacji. W tym przypadku, pod działaniem niewielkiej okresowej siły napędowej, układ mechaniczny zachowuje się chaotycznie.
Gdy wahadło matematyczne odchyla się od położenia równowagi o pewien kąt φ, powstaje styczna siła grawitacji Fτ=–mg sin φ. Znak minus oznacza, że ta składowa styczna jest skierowana w kierunku przeciwnym do odchylenia wahadła. Gdy przemieszczenie wahadła po łuku okręgu o promieniu L jest oznaczone przez x, to jego przemieszczenie kątowe jest równe φ=x/L. Druga zasada Izaaka Newtona, zaprojektowana do rzutowania wektora przyspieszenia i siły, da pożądaną wartość:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Na podstawie tego stosunku jasno widać, że to wahadło jest układem nieliniowym, ponieważ siła, która dąży do powrotudo położenia równowagi, jest zawsze proporcjonalna nie do przemieszczenia x, ale do sin x/L.
Tylko gdy wahadło matematyczne wykonuje niewielkie drgania, jest to oscylator harmoniczny. Innymi słowy, staje się systemem mechanicznym zdolnym do wykonywania wibracji harmonicznych. To przybliżenie jest praktycznie ważne dla kątów 15–20°. Oscylacje wahadła o dużych amplitudach nie są harmoniczne.
Prawo Newtona dla małych drgań wahadła
Jeżeli ten mechaniczny system wykonuje małe wibracje, drugie prawo Newtona będzie wyglądać tak:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Na tej podstawie możemy wywnioskować, że przyspieszenie styczne wahadła matematycznego jest proporcjonalne do jego przemieszczenia ze znakiem minus. Jest to warunek, dzięki któremu układ staje się oscylatorem harmonicznym. Moduł proporcjonalnego wzmocnienia między przemieszczeniem a przyspieszeniem jest równy kwadratowi częstotliwości kołowej:
ω02=g/l; ω0=√ g/L.
Ten wzór odzwierciedla naturalną częstotliwość małych drgań tego typu wahadła. Na tej podstawie
T=2π/ω0=2π√ g/L.
Obliczenia oparte na prawie zachowania energii
Własności ruchów oscylacyjnych wahadła można również opisać za pomocą prawa zachowania energii. W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, że energia potencjalna wahadła w polu grawitacyjnym wynosi:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Całkowita energia mechanicznarówna się potencjałowi kinetycznemu lub maksymalnemu: Epmax=Ekmsx=E
Po zapisaniu prawa zachowania energii, weź pochodną prawej i lewej strony równania:
Ep + Ek=const
Ponieważ pochodna wartości stałych wynosi 0, to (Ep + Ek)'=0. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, stąd:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Na podstawie ostatniego wzoru znajdujemy: α=- g/Lx.
Praktyczne zastosowanie wahadła matematycznego
Przyspieszenie swobodnego spadania zmienia się w zależności od szerokości geograficznej, ponieważ gęstość skorupy ziemskiej na całej planecie nie jest taka sama. Tam, gdzie występują skały o większej gęstości, będzie ona nieco wyższa. Przyspieszenie wahadła matematycznego jest często wykorzystywane do badań geologicznych. Służy do wyszukiwania różnych minerałów. Wystarczy policzyć liczbę ruchów wahadła, aby znaleźć węgiel lub rudę we wnętrzu Ziemi. Wynika to z faktu, że takie skamieliny mają gęstość i masę większą niż leżące pod nimi luźne skały.
Wahadło matematyczne było używane przez tak wybitnych naukowców jak Sokrates, Arystoteles, Platon, Plutarch, Archimedes. Wielu z nich wierzyło, że ten mechaniczny system może wpływać na losy i życie człowieka. Archimedes używał w swoich obliczeniach wahadła matematycznego. W dzisiejszych czasach wielu okultystów i wróżbitówużyj tego mechanicznego systemu, aby spełnić swoje proroctwa lub szukać zaginionych osób.
Słynny francuski astronom i przyrodnik K. Flammarion również używał do swoich badań wahadła matematycznego. Twierdził, że z jego pomocą był w stanie przewidzieć odkrycie nowej planety, pojawienie się meteorytu Tunguska i inne ważne wydarzenia. W czasie II wojny światowej w Niemczech (Berlin) działał specjalistyczny Instytut Wahadła. Obecnie w podobne badania zajmuje się Monachijski Instytut Parapsychologii. Pracownicy tej instytucji swoją pracę z wahadłem nazywają „radiestezją”.
