Sekundy, styczne - wszystko to można było usłyszeć setki razy na lekcjach geometrii. Ale ukończenie szkoły się skończyło, lata mijają, a cała ta wiedza odchodzi w zapomnienie. O czym należy pamiętać?
Esencja
Termin „styczna do okręgu” jest prawdopodobnie znany każdemu. Ale jest mało prawdopodobne, że wszyscy będą w stanie szybko sformułować jego definicję. Tymczasem styczna to taka prosta linia leżąca w tej samej płaszczyźnie z okręgiem, który przecina ją tylko w jednym punkcie. Może być ich ogromna różnorodność, ale wszystkie mają te same właściwości, które zostaną omówione poniżej. Jak można się domyślić, punkt styku to miejsce, w którym przecinają się okrąg i linia. W każdym przypadku jest to jeden, ale jeśli jest ich więcej, to będzie to sieczna.
Historia odkryć i badań
Pojęcie stycznej pojawiło się w starożytności. Konstruowanie tych linii prostych, najpierw do okręgu, a potem do elips, parabol i hiperboli, za pomocą linijki i cyrkla, odbywało się już w początkowych stadiach rozwoju geometrii. Oczywiście historia nie zachowała nazwiska odkrywcy, aleoczywiste jest, że już wtedy ludzie byli całkiem świadomi właściwości stycznej do okręgu.
W czasach współczesnych zainteresowanie tym zjawiskiem ponownie wzrosło – rozpoczęła się nowa runda badań nad tym pojęciem, połączona z odkryciem nowych krzywych. Tak więc Galileusz wprowadził koncepcję cykloidy, a Fermat i Kartezjusz zbudowali do niej styczną. Jeśli chodzi o kręgi, wydaje się, że na tym obszarze nie pozostały żadne tajemnice dla starożytnych.
Właściwości
Promień narysowany do punktu przecięcia będzie prostopadły do linii. To jest
główna, ale nie jedyna właściwość, jaką ma styczna do okręgu. Kolejną ważną cechą są już dwie proste linie. Tak więc przez jeden punkt leżący poza okręgiem można narysować dwie styczne, a ich odcinki będą równe. Jest jeszcze jedno twierdzenie na ten temat, ale rzadko jest ono omawiane w ramach standardowego kursu szkolnego, chociaż jest niezwykle wygodne w rozwiązywaniu niektórych problemów. Brzmi tak. Z jednego punktu znajdującego się poza okręgiem ciągnie się do niego styczna i sieczna. Powstają segmenty AB, AC i AD. A to przecięcie linii, B to punkt styku, C i D to przecięcia. W tym przypadku będzie obowiązywała następująca równość: długość stycznej do okręgu do kwadratu będzie równa iloczynowi odcinków AC i AD.
Z powyższego wynika ważna konsekwencja. Dla każdego punktu okręgu możesz zbudować styczną, ale tylko jedną. Dowód na to jest dość prosty: teoretycznie rzucając na niego prostopadłą z promienia, dowiadujemy się, że uformowanytrójkąt nie może istnieć. A to oznacza, że styczna jest jedyna.
Budynek
Pomiędzy innymi problemami w geometrii istnieje specjalna kategoria, z reguły nie
kochany przez uczniów i studentów. Do rozwiązywania zadań z tej kategorii potrzebujesz tylko kompasu i linijki. To są zadania budowlane. Istnieją również metody konstruowania stycznej.
Więc otrzymał okrąg i punkt leżący poza jego granicami. I konieczne jest narysowanie przez nie stycznej. Jak to zrobić? Przede wszystkim musisz narysować odcinek między środkiem okręgu O a danym punktem. Następnie za pomocą kompasu podziel go na pół. Aby to zrobić, musisz ustawić promień - nieco ponad połowę odległości między środkiem oryginalnego okręgu a danym punktem. Następnie musisz zbudować dwa przecinające się łuki. Co więcej, promień kompasu nie musi być zmieniany, a środek każdej części koła będzie odpowiednio punktem początkowym i O. Przecięcia łuków muszą być połączone, co podzieli segment na pół. Ustaw promień na kompasie równy tej odległości. Następnie, ze środkiem w punkcie przecięcia, narysuj kolejny okrąg. Na nim będzie leżeć zarówno punkt początkowy, jak i O. W tym przypadku będą jeszcze dwa przecięcia z okręgiem podanym w zadaniu. Będą one punktami styku dla początkowo podanego punktu.
Ciekawe
To właśnie budowa stycznych do okręgu doprowadziła do narodzin
rachunek różniczkowy. Pierwszą pracą na ten temat byławydane przez słynnego niemieckiego matematyka Leibniza. Przewidywał możliwość znajdowania maksimów, minimów i stycznych, niezależnie od wartości ułamkowych i irracjonalnych. Cóż, teraz jest również używany do wielu innych obliczeń.
Poza tym styczna do okręgu jest związana z geometrycznym znaczeniem stycznej. Stąd pochodzi jego nazwa. W tłumaczeniu z łaciny tangens oznacza „styczną”. Pojęcie to jest więc związane nie tylko z geometrią i rachunkiem różniczkowym, ale także z trygonometrią.
Dwa kręgi
Nie zawsze styczna wpływa tylko na jeden kształt. Jeśli w jednym okręgu można narysować ogromną liczbę linii prostych, to dlaczego nie na odwrót? Mogą. Ale zadanie w tym przypadku jest poważnie skomplikowane, ponieważ styczna do dwóch okręgów może nie przechodzić przez żadne punkty, a względne położenie wszystkich tych figur może być bardzo
różne.
Rodzaje i odmiany
Jeśli chodzi o dwa okręgi i jedną lub więcej linii, nawet jeśli wiadomo, że są to styczne, nie jest od razu jasne, jak wszystkie te figury znajdują się względem siebie. Na tej podstawie istnieje kilka odmian. Tak więc koła mogą mieć jeden lub dwa punkty wspólne lub wcale ich nie mieć. W pierwszym przypadku przecinają się, aw drugim się dotkną. A tutaj są dwie odmiany. Jeśli jedno koło jest niejako osadzone w drugim, to dotyk nazywa się wewnętrznym, jeśli nie, to zewnętrznym. zrozumieć wzajemnepołożenie figur jest możliwe nie tylko na podstawie rysunku, ale także posiadania informacji o sumie ich promieni i odległości między ich środkami. Jeśli te dwie wielkości są równe, koła się stykają. Jeśli pierwszy jest większy, to się przecinają, a jeśli mniejszy, to nie mają wspólnych punktów.
To samo z liniami prostymi. Dla dowolnych dwóch kręgów, które nie mają wspólnych punktów, możesz
skonstruuj cztery styczne. Dwa z nich przecinają się między figurami, nazywane są wewnętrznymi. Kilka innych jest zewnętrznych.
Jeśli mówimy o kręgach, które mają jeden wspólny punkt, to zadanie jest znacznie uproszczone. Faktem jest, że dla każdego wzajemnego porozumienia w tym przypadku będą miały tylko jedną styczną. I przejdzie przez punkt ich przecięcia. Więc konstrukcja trudności nie spowoduje.
Jeżeli figury mają dwa punkty przecięcia, to można dla nich skonstruować linię prostą, styczną do okręgu, zarówno jednego, jak i drugiego, ale tylko zewnętrznego. Rozwiązanie tego problemu jest podobne do tego, które zostanie omówione poniżej.
Rozwiązywanie problemów
Styczne wewnętrzne i zewnętrzne do dwóch okręgów nie są łatwe do skonstruowania, chociaż ten problem można rozwiązać. Faktem jest, że używa się do tego cyfry pomocniczej, więc pomyśl o tej metodzie sam
dość problematyczne. Tak więc, biorąc pod uwagę dwa okręgi o różnych promieniach i środkach O1 i O2. Dla nich musisz zbudować dwie pary stycznych.
Przede wszystkim blisko środka większegokoła muszą być budowane pomocnicze. W takim przypadku na kompasie należy ustalić różnicę między promieniami dwóch początkowych cyfr. Styczne do okręgu pomocniczego są budowane od środka mniejszego okręgu. Następnie od O1 i O2 do tych linii rysowane są prostopadłe, aż przecinają się z oryginalnymi figurami. Jak wynika z głównej właściwości stycznej, żądane punkty znajdują się na obu okręgach. Problem rozwiązany, przynajmniej pierwsza jego część.
W celu skonstruowania stycznych wewnętrznych będziesz musiał rozwiązać praktycznie
podobne zadanie. Ponownie potrzebna jest figura pomocnicza, ale tym razem jej promień będzie równy sumie oryginalnych. Styczne są do niego konstruowane ze środka jednego z podanych okręgów. Dalszy przebieg rozwiązania można zrozumieć z poprzedniego przykładu.
Styczna do okręgu, a nawet dwóch lub więcej, nie jest tak trudnym zadaniem. Oczywiście matematycy już dawno przestali rozwiązywać takie problemy ręcznie i powierzali obliczenia specjalnym programom. Ale nie myśl, że teraz nie trzeba być w stanie zrobić tego samemu, ponieważ aby poprawnie sformułować zadanie dla komputera, musisz dużo zrobić i zrozumieć. Niestety istnieją obawy, że po ostatecznym przejściu do testowej formy kontroli wiedzy zadania konstrukcyjne będą sprawiać studentom coraz większe trudności.
Jeśli chodzi o znajdowanie wspólnych stycznych dla większej liczby okręgów, nie zawsze jest to możliwe, nawet jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie. Ale w niektórych przypadkach można znaleźć taką linię prostą.
Przykłady z życia
Wspólna styczna do dwóch okręgów jest często spotykana w praktyce, chociaż nie zawsze jest to zauważalne. Przenośniki, systemy blokowe, pasy transmisyjne, naciąg nici w maszynie do szycia, a nawet łańcuch rowerowy – to wszystko przykłady z życia. Nie myśl więc, że problemy geometryczne pozostają tylko w teorii: w inżynierii, fizyce, budownictwie i wielu innych dziedzinach znajdują praktyczne zastosowanie.
