Pięciokąt regularny: niezbędne minimum informacji

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Słownik wyjaśniający Ozhegova stwierdza, że pięciokąt to figura geometryczna ograniczona pięcioma przecinającymi się liniami prostymi tworzącymi pięć wewnętrznych kątów, a także dowolny obiekt o podobnym kształcie. Jeśli dany wielokąt ma te same boki i kąty, to nazywamy go regularnym (pięciokątem).

Co jest ciekawego w pięciokątie foremnym?

W tej formie powstał znany budynek Departamentu Obrony Stanów Zjednoczonych. Z obszernych wielościanów regularnych tylko dwunastościan ma twarze w kształcie pięciokąta. A w naturze zupełnie nie ma kryształów, których twarze przypominałyby pięciokąt foremny. Ponadto figurka ta jest wielokątem z minimalną liczbą rogów, których nie można użyć do pokrycia obszaru. Tylko pięciokąt ma taką samą liczbę przekątnych jak jego boki. Zgadzam się, to interesujące!

Podstawowe właściwości i wzory

Korzystanie ze wzorów nadowolny wielokąt foremny, możesz określić wszystkie niezbędne parametry, które ma pięciokąt.

• Kąt środkowy α=360 / n=360/5=72°.
• Kąt wewnętrzny β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. W związku z tym suma kątów wewnętrznych wynosi 540°.
• Stosunek przekątnej do boku wynosi (1+√5) /2, czyli „złoty przekrój” (około 1618).
• Długość boku pięciokąta foremnego można obliczyć za pomocą jednego z trzech wzorów, w zależności od tego, który parametr jest już znany:
• jeśli okrąg jest opisany wokół niego i jego promień R jest znany, to a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
• w przypadku, gdy okrąg o promieniu r jest wpisany w pięciokąt foremny, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1,453r;
• zdarza się, że zamiast promieni znana jest wartość przekątnej D, wtedy bok wyznacza się w następujący sposób: a ≈ D/1, 618.
• Powierzchnia pięciokąta foremnego jest określana ponownie w zależności od tego, jaki parametr znamy:
• jeżeli istnieje okrąg wpisany lub ograniczony, wówczas używana jest jedna z dwóch formuł:

S=(nar)/2=2, 5ar lub S=(nR²sin α)/2 ≈ 2, 3776R²;

obszar można również określić, znając tylko długość boku a:

S=(5a²tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a².

Pięciokąt regularny: budowa

Tę figurę geometryczną można zbudować na różne sposoby. Np. wpisujemy go w okrąg o zadanym promieniu lub budujemy na podstawie danego boku. Sekwencja działań została opisana w Elementach Euklidesa około 300 pne. W każdym razie potrzebujemy kompasu i linijki. Rozważ metodę budowy przy użyciu danego okręgu.

1. Wybierz dowolny promień i narysuj okrąg, zaznaczając jego środek O.

2. Na linii okręgu wybierz punkt, który będzie jednym z wierzchołków naszego pięciokąta. Niech to będzie punkt A. Połącz punkty O i A linią prostą.

3. Narysuj linię przechodzącą przez punkt O prostopadle do linii OA. Wyznacz przecięcie tej linii z linią okręgu jako punkt B.

4. W połowie odległości między punktami O i B, zbuduj punkt C.

5. Teraz narysuj okrąg, którego środek będzie w punkcie C i który będzie przechodził przez punkt A. Miejscem jego przecięcia z linią OB (będzie wewnątrz pierwszego okręgu) będzie punkt D.

6. Skonstruuj okrąg przechodzący przez D, którego środek będzie w A. Miejsca jego przecięcia z pierwotnym okręgiem muszą być oznaczone punktami E i F.

7. Teraz skonstruuj okrąg, którego środek będzie w E. Musisz to zrobić tak, aby przechodził przez A. Jego inne przecięcie oryginalnego okręgu musi być wskazane przez punkt G.

8. Na koniec narysuj okrąg przez A wyśrodkowany w punkcie F. Zaznacz kolejne przecięcie oryginalnego okręgu punktem H.

9. Teraz pozostałowystarczy połączyć wierzchołki A, E, G, H, F. Nasz pięciokąt foremny będzie gotowy!