Georg Kantor (zdjęcie w dalszej części artykułu) to niemiecki matematyk, który stworzył teorię mnogości i wprowadził pojęcie liczb nieskończonych, nieskończenie dużych, ale różniących się od siebie. Zdefiniował także liczby porządkowe i kardynalne oraz stworzył ich arytmetykę.
Georg Kantor: krótka biografia
Urodzony w Petersburgu 03.03.1845. Jego ojcem był Duńczyk wyznania protestanckiego Georg-Valdemar Kantor, który zajmował się handlem, m.in. na giełdzie. Jego matka Maria Bem była katoliczką i pochodziła z rodziny wybitnych muzyków. Kiedy ojciec Georga zachorował w 1856 roku, rodzina przeniosła się najpierw do Wiesbaden, a następnie do Frankfurtu w poszukiwaniu łagodniejszego klimatu. Zdolności matematyczne chłopca ujawniły się jeszcze przed jego 15. urodzinami podczas nauki w prywatnych szkołach i gimnazjach w Darmstadt i Wiesbaden. W końcu Georg Cantor przekonał swojego ojca o swoim zdecydowanym zamiarze zostania matematykiem, a nie inżynierem.
Po krótkim studium na Uniwersytecie w Zurychu, w 1863 Kantor przeniósł się na Uniwersytet Berliński, aby studiować fizykę, filozofię i matematykę. Tam gonauczane:
- Karl Theodor Weierstrass, którego specjalizacja w analizie miała prawdopodobnie największy wpływ na Georga;
- Ernst Eduard Kummer, który uczył wyższej arytmetyki;
- Leopold Kronecker, teoretyk liczb, który później sprzeciwił się Cantorowi.
Po spędzeniu jednego semestru na Uniwersytecie w Getyndze w 1866 roku, Georg napisał w następnym roku swoją rozprawę doktorską zatytułowaną „W matematyce sztuka zadawania pytań jest cenniejsza niż rozwiązywanie problemów”, na temat problemu, który miał Carl Friedrich Gauss pozostawione nierozwiązane w jego Disquisitiones Arithmeticae (1801). Po krótkim nauczaniu w berlińskiej szkole dla dziewcząt Kantor rozpoczął pracę na Uniwersytecie w Halle, gdzie pozostał do końca życia, najpierw jako nauczyciel, od 1872 jako docent, a od 1879 jako profesor.
Badania
Na początku serii 10 artykułów z lat 1869-1873 Georg Cantor rozważał teorię liczb. Praca odzwierciedlała jego pasję do tematu, studia Gaussa i wpływ Kroneckera. Za namową Heinricha Eduarda Heinego, współpracownika Cantora z Halle, który dostrzegł jego talent matematyczny, zwrócił się do teorii szeregów trygonometrycznych, w której rozszerzył pojęcie liczb rzeczywistych.
Na podstawie prac niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 r. nad funkcją zmiennej zespolonej, Kantor w 1870 r. wykazał, że taką funkcję można przedstawić tylko w jeden sposób - za pomocą szeregów trygonometrycznych. Uwzględnienie zbioru liczb (punktów), którenie zaprzeczał takiemu poglądowi, doprowadził go najpierw w 1872 roku do zdefiniowania liczb niewymiernych w terminach zbieżnych ciągów liczb wymiernych (ułamków liczb całkowitych) i dalej do rozpoczęcia pracy nad jego życiową pracą, teorią mnogości i koncepcją liczb nadskończonych.
Teoria mnogości
Georg Cantor, którego teoria mnogości powstała w korespondencji z matematykiem Instytutu Technicznego w Brunszwiku, Richardem Dedekindem, przyjaźnił się z nim od dzieciństwa. Doszli do wniosku, że zbiory, czy to skończone, czy nieskończone, są zbiorami elementów (np. liczb {0, ±1, ±2…}), które mają pewną właściwość, zachowując jednocześnie swoją indywidualność. Ale kiedy Georg Cantor użył korespondencji jeden do jednego (na przykład {A, B, C} do {1, 2, 3}) do zbadania ich cech, szybko zdał sobie sprawę, że różnią się stopniem przynależności, nawet gdyby były zbiorami nieskończonymi, tj. zbiorami, których część lub podzbiór zawiera tyle obiektów, ile on sam. Jego metoda szybko dała niesamowite rezultaty.
W 1873 Georg Cantor (matematyk) wykazał, że liczby wymierne, chociaż nieskończone, są policzalne, ponieważ można je umieścić w zgodności jeden do jednego z liczbami naturalnymi (tj. 1, 2, 3, itd.). d.). Pokazał, że zbiór liczb rzeczywistych, składający się z liczb niewymiernych i wymiernych, jest nieskończony i niepoliczalny. Co bardziej paradoksalnie, Cantor udowodnił, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych zawiera tyle elementów, ileile jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych i że liczby przestępne, które nie są algebraiczne, które są podzbiorem liczb niewymiernych, są niepoliczalne, a zatem ich liczba jest większa od liczb całkowitych i należy je uważać za nieskończone.
Przeciwnicy i zwolennicy
Ale artykuł Kantora, w którym po raz pierwszy przedstawił te wyniki, nie został opublikowany w Krell, ponieważ jeden z recenzentów, Kronecker, stanowczo sprzeciwił się temu. Ale po interwencji Dedekinda został opublikowany w 1874 roku pod tytułem „O charakterystycznych właściwościach wszystkich liczb rzeczywistych algebraicznych”.
Nauka i życie prywatne
W tym samym roku, podczas podróży poślubnej z żoną Wally Gutman w Interlaken w Szwajcarii, Kantor spotkał Dedekinda, który przychylnie wypowiadał się o jego nowej teorii. Pensja George'a była niewielka, ale za pieniądze ojca, który zmarł w 1863 roku, zbudował dom dla żony i pięciorga dzieci. Wiele jego prac zostało opublikowanych w Szwecji w nowym czasopiśmie Acta Mathematica, redagowanym i założonym przez Gesta Mittag-Leffler, która jako jedna z pierwszych doceniła talent niemieckiego matematyka.
Połączenie z metafizyką
Teoria Cantora stała się zupełnie nowym przedmiotem badań dotyczących matematyki nieskończoności (np. szeregi 1, 2, 3, itd. oraz bardziej złożonych zbiorów), które w dużym stopniu zależały od korespondencji jeden-do-jednego. Rozwój nowych metod inscenizacji Kantorapytania dotyczące ciągłości i nieskończoności nadały jego badaniom niejednoznaczny charakter.
Kiedy argumentował, że naprawdę istnieje nieskończona liczba, zwrócił się do starożytnej i średniowiecznej filozofii dotyczącej rzeczywistej i potencjalnej nieskończoności, a także do wczesnej edukacji religijnej, którą zapewnili mu jego rodzice. W 1883 roku w swojej książce Podstawy ogólnej teorii zbiorów Kantor połączył swoją koncepcję z metafizyką Platona.
Kronecker, który twierdził, że tylko liczby całkowite „istnieją” („Bóg stworzył liczby całkowite, reszta jest dziełem człowieka”), przez wiele lat stanowczo odrzucał jego rozumowanie i uniemożliwiał jego powołanie na Uniwersytet w Berlinie.
Liczby międzyskończone
W latach 1895-97. Georg Cantor w pełni ukształtował swoje pojęcie ciągłości i nieskończoności, w tym nieskończone liczby porządkowe i kardynalne, w swoim najsłynniejszym dziele, opublikowanym jako Przyczynki do ustanowienia teorii liczb nadskończonych (1915). Ten esej zawiera jego koncepcję, do której został skierowany przez wykazanie, że nieskończony zbiór może być umieszczony w korespondencji jeden do jednego z jednym z jego podzbiorów.
Pod najmniejszą nadskończoną liczbą kardynalną miał na myśli moc dowolnego zestawu, który można umieścić w korespondencji jeden do jednego z liczbami naturalnymi. Cantor nazwał to aleph-null. Duże zbiory nadskończone są oznaczane jako alef-jeden, alef-dwa itd. Dalej rozwinął arytmetykę liczb nadskończonych, która była analogiczna do arytmetyki skończonej. więc onwzbogaciło pojęcie nieskończoności.
Sprzeciw, z jakim się zmierzył, i czas potrzebny na pełne zaakceptowanie jego pomysłów wynika z trudności w ponownej ocenie starożytnego pytania, czym jest liczba. Cantor wykazał, że zbiór punktów na prostej ma większą kardynalność niż alef-zero. Doprowadziło to do dobrze znanego problemu hipotezy continuum - nie ma liczb kardynalnych między alefem zero a potęgą punktów na prostej. Problem ten w pierwszej i drugiej połowie XX wieku wzbudził duże zainteresowanie i był badany przez wielu matematyków, m.in. Kurta Gödla i Paula Cohena.
Depresja
Biografia Georga Kantora od 1884 r. była przyćmiona przez jego chorobę psychiczną, ale nadal aktywnie działał. W 1897 pomógł zorganizować pierwszy międzynarodowy kongres matematyczny w Zurychu. Częściowo dlatego, że sprzeciwiał się mu Kronecker, często sympatyzował z młodymi aspirującymi matematykami i szukał sposobu na uratowanie ich przed nękaniem nauczycieli, którzy czuli się zagrożeni nowymi pomysłami.
Rozpoznawanie
Na przełomie wieków jego praca została w pełni uznana za podstawę teorii funkcji, analizy i topologii. Ponadto książki kantora Georga stały się impulsem do dalszego rozwoju intuicjonistycznych i formalistycznych szkół logicznych podstaw matematyki. To znacząco zmieniło system nauczania i często wiąże się z „nową matematyką”.
W 1911 Kantor znalazł się wśród zaproszonych naobchody 500-lecia Uniwersytetu St. Andrews w Szkocji. Udał się tam w nadziei na spotkanie z Bertrandem Russellem, który w niedawno opublikowanym dziele Principia Mathematica wielokrotnie odwoływał się do niemieckiego matematyka, ale tak się nie stało. Uczelnia przyznała Kantorowi tytuł honorowy, ale z powodu choroby nie mógł odebrać nagrody osobiście.
Kantor przeszedł na emeryturę w 1913 roku, żył w biedzie i głodował podczas I wojny światowej. Uroczystości z okazji jego 70. urodzin w 1915 roku zostały odwołane z powodu wojny, ale w jego domu odbyła się mała uroczystość. Zmarł 01.06.1918 w Halle, w szpitalu psychiatrycznym, gdzie spędził ostatnie lata swojego życia.
Georg Kantor: biografia. Rodzina
9 sierpnia 1874, niemiecki matematyk poślubił Wally'ego Gutmanna. Para miała 4 synów i 2 córki. Ostatnie dziecko urodziło się w 1886 roku w nowym domu zakupionym przez Kantora. Spuścizna po ojcu pomogła mu utrzymać rodzinę. Na zdrowie Kantora ogromny wpływ miała śmierć jego najmłodszego syna w 1899 roku i od tamtej pory nie opuściła go depresja.
