Każdy uczeń wie, że kwadrat przeciwprostokątnej jest zawsze równy sumie nóg, z których każda jest podniesiona do kwadratu. To stwierdzenie nazywa się twierdzeniem Pitagorasa. Jest to jedno z najbardziej znanych twierdzeń w trygonometrii i ogólnie matematyce. Rozważ to bardziej szczegółowo.
Koncepcja trójkąta prostokątnego
Zanim przejdziemy do twierdzenia Pitagorasa, w którym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, powinniśmy rozważyć pojęcie i własności trójkąta prostokątnego, dla którego to twierdzenie jest ważny.
Trójkąt to płaska figura z trzema kątami i trzema bokami. Trójkąt prostokątny, jak sama nazwa wskazuje, ma jeden kąt prosty, to znaczy kąt ten wynosi 90o.
Z ogólnych właściwości dla wszystkich trójkątów wiadomo, że suma wszystkich trzech kątów tej figury wynosi 180o, co oznacza, że dla trójkąta prostokątnego suma dwa kąty, które nie są w porządku, to 180o -90o=90o. Ostatni fakt oznacza, że każdy kąt w trójkącie prostokątnym, który nie jest kątem prostym, będzie zawsze mniejszy niż 90o.
Strona leżąca naprzeciwko kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną. Pozostałe dwa boki to odnogi trójkąta, mogą być sobie równe lub mogą się różnić. Z trygonometrii wiadomo, że im większy kąt, pod którym bok leży w trójkącie, tym większa jest długość tego boku. Oznacza to, że w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna (leży naprzeciw kąta 90o) zawsze będzie większa niż którakolwiek z nóg (leży naprzeciw kątów < 90o).
Zapis matematyczny twierdzenia Pitagorasa
To twierdzenie mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie nóg, z których każda została wcześniej podniesiona do kwadratu. Aby matematycznie zapisać to sformułowanie, rozważmy trójkąt prostokątny, w którym boki a, b i c to odpowiednio dwie nogi i przeciwprostokątna. W tym przypadku twierdzenie, które jest wyrażone jako kwadrat przeciwprostokątnej równej sumie kwadratów nóg, można przedstawić za pomocą następującego wzoru: c2=a 2 + b 2. Stąd można uzyskać inne wzory ważne dla praktyki: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) i c=√(a2 + b2).
Zauważ, że w przypadku prostokątnego trójkąta równobocznego, to znaczy a=b, formuła: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie nóg, z których każdado kwadratu, matematycznie zapisane jako: c2=a2 + b2=2a 2, co implikuje równość: c=a√2.
Tło historyczne
Twierdzenie Pitagorasa, które mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie nóg, z których każda jest podniesiona do kwadratu, było znane na długo przed zwróceniem na nie uwagi słynnego greckiego filozofa. Wiele papirusów starożytnego Egiptu, a także glinianych tabliczek Babilończyków, potwierdza, że ludy te używały znanej właściwości boków trójkąta prostokątnego. Na przykład jedna z pierwszych piramid egipskich, Piramida Chefrena, której budowa datuje się na 26 wiek pne (2000 lat przed życiem Pitagorasa), została zbudowana w oparciu o znajomość proporcji w trójkącie prostokątnym 3x4x5.
Dlaczego więc twierdzenie jest teraz nazwane na cześć Greka? Odpowiedź jest prosta: Pitagoras jako pierwszy matematycznie udowodnił to twierdzenie. Zachowane pisma babilońskie i egipskie tylko wspominają o jego użyciu, ale nie dostarczają żadnego matematycznego dowodu.
Uważa się, że Pitagoras udowodnił rozważane twierdzenie, wykorzystując właściwości podobnych trójkątów, które uzyskał rysując wysokość w trójkącie prostokątnym od kąta 90o do przeciwprostokątna.
Przykład użycia twierdzenia Pitagorasa
Rozważ prosty problem: konieczne jest określenie długości schodów pochyłych L, jeśli wiadomo, że mają one wysokość H=3metrów, a odległość od ściany, na której opiera się drabina do jej stopy, wynosi P=2,5 metra.
W tym przypadku H i P to nogi, a L to przeciwprostokątna. Ponieważ długość przeciwprostokątnej jest równa sumie kwadratów nóg, otrzymujemy: L2=H2 + P 2, skąd L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3,905 metra lub 3 metry i 90,5 cm.
