Trójkąt to wielokąt o trzech bokach (trzy rogi). Najczęściej boki są oznaczone małymi literami, odpowiadającymi dużym literom oznaczającym przeciwległe wierzchołki. W tym artykule zapoznamy się z rodzajami tych kształtów geometrycznych, twierdzeniem, które określa, jaka jest suma kątów trójkąta.
Widoki pod kątem
Rozróżnia się następujące typy wielokątów z trzema wierzchołkami:
- ostrokątny, w którym wszystkie rogi są ostre;
- prostokątny, mający jeden kąt prosty, podczas gdy boki, które go tworzą, nazywane są nogami, a bok położony przeciwnie do kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną;
- rozwarty, gdy jeden róg jest rozwarty;
- równoramiennych, w których dwa boki są równe i nazywane są bocznymi, a trzeci jest podstawą trójkąta;
- równoboczny, mający wszystkie trzy równe boki.
Właściwości
Podkreślają główne właściwości charakterystyczne dla każdego typu trójkąta:
- naprzeciw większego boku zawsze jest większy kąt i na odwrót;
- przeciwległe boki o równym rozmiarze są równymi kątami i na odwrót;
- dowolny trójkąt ma dwa kąty ostre;
- narożnik zewnętrzny jest większy niż jakikolwiek narożnik wewnętrzny, który do niego nie przylega;
- suma dowolnych dwóch kątów jest zawsze mniejsza niż 180 stopni;
- zewnętrzny róg jest równy sumie dwóch pozostałych rogów, które się z nim nie przecinają.
Twierdzenie o sumie kątów trójkąta
Twierdzenie mówi, że jeśli zsumujesz wszystkie kąty danej figury geometrycznej, która znajduje się na płaszczyźnie euklidesowej, to ich suma wyniesie 180 stopni. Spróbujmy udowodnić to twierdzenie.
Zróbmy dowolny trójkąt z wierzchołkami KMN.
Przez wierzchołek M narysuj linię prostą równoległą do linii prostej KN (ta linia jest również nazywana prostą euklidesową). Zaznaczamy na nim punkt A w taki sposób, aby punkty K i A znajdowały się po różnych stronach prostej MN. Otrzymujemy kąty równe AMN i KNM, które podobnie jak kąty wewnętrzne leżą w poprzek i są utworzone przez sieczną MN wraz z liniami prostymi KN i MA, które są równoległe. Z tego wynika, że suma kątów trójkąta znajdującego się na wierzchołkach M i H jest równa wielkości kąta KMA. Wszystkie trzy kąty tworzą sumę, która jest równa sumie kątów KMA i MKN. Ponieważ te kąty są wewnętrzne jednostronne w stosunku dorównoległe proste KN i MA z sieczną KM, ich suma wynosi 180 stopni. Twierdzenie sprawdzone.
Konsekwencja
Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek: każdy trójkąt ma dwa kąty ostre. Aby to udowodnić, załóżmy, że dana figura geometryczna ma tylko jeden kąt ostry. Można również założyć, że żaden z kątów nie jest ostry. W takim przypadku muszą istnieć co najmniej dwa kąty równe lub większe niż 90 stopni. Ale wtedy suma kątów będzie większa niż 180 stopni. Ale tak nie może być, ponieważ zgodnie z twierdzeniem suma kątów trójkąta wynosi 180 ° - nie więcej i nie mniej. To trzeba było udowodnić.
Właściwość narożników zewnętrznych
Jaka jest suma zewnętrznych kątów trójkąta? Na to pytanie można odpowiedzieć na dwa sposoby. Po pierwsze, konieczne jest znalezienie sumy kątów, które są brane po jednym na każdym wierzchołku, czyli trzech kątach. Druga oznacza, że musisz znaleźć sumę wszystkich sześciu kątów na wierzchołkach. Najpierw zajmijmy się pierwszą opcją. Tak więc trójkąt zawiera sześć zewnętrznych narożników - po dwa na każdym wierzchołku.
Każda para ma równe kąty, ponieważ są pionowe:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Poza tym wiadomo, że kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które się z nim nie przecinają. Dlatego
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Z tego wynika, że suma zewnętrznychnarożniki, które są brane po jednym na każdym wierzchołku, będą równe:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Zakładając, że suma kątów wynosi 180 stopni, można argumentować, że ∟A + ∟B + ∟C=180°. A to oznacza, że ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Jeśli zostanie użyta druga opcja, suma sześciu kątów będzie odpowiednio dwa razy większa. Oznacza to, że suma zewnętrznych kątów trójkąta wyniesie:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Prawy trójkąt
Jaka jest suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego? Odpowiedź na to pytanie ponownie wynika z twierdzenia, które mówi, że kąty w trójkącie sumują się do 180 stopni. A nasze stwierdzenie (własność) brzmi tak: w trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do 90 stopni. Udowodnijmy jego prawdziwość.
Dajmy trójkąt KMN, w którym ∟Н=90°. Konieczne jest udowodnienie, że ∟K + ∟M=90°.
Więc, zgodnie z twierdzeniem o sumie kątów ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Nasz warunek mówi, że ∟Н=90°. Okazuje się, że ∟K + ∟M + 90°=180°. To znaczy ∟K + ∟M=180 ° - 90 °=90 °. To właśnie musieliśmy udowodnić.
Oprócz powyższych właściwości trójkąta prostokątnego, możesz dodać następujące:
- kąty przylegające do nóg są ostre;
- przeciwprostokątna jest bardziej trójkątna niż którakolwiek z nóg;
- suma nóg jest większa niż przeciwprostokątna;
- nogatrójkąt leżący naprzeciw kąta 30 stopni jest połową przeciwprostokątnej, czyli równej jej połowie.
Jako kolejną właściwość tej figury geometrycznej można wyróżnić twierdzenie Pitagorasa. Twierdzi, że w trójkącie o kącie 90 stopni (prostokątnym) suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Suma kątów trójkąta równoramiennego
Wcześniej powiedzieliśmy, że równoramienny to wielokąt z trzema wierzchołkami zawierającymi dwa równe boki. Ta właściwość danej figury geometrycznej jest znana: kąty u jej podstawy są równe. Udowodnijmy to.
Weź trójkąt KMN, który jest równoramienny, KN jest jego podstawą.
Musimy udowodnić, że ∟К=∟Н. Załóżmy więc, że MA jest dwusieczną naszego trójkąta KMN. Trójkąt MCA, biorąc pod uwagę pierwszy znak równości, jest równy trójkątowi MCA. Mianowicie, przez warunek podano, że KM=NM, MA jest stroną wspólną, ∟1=∟2, ponieważ MA jest dwusieczną. Korzystając z faktu, że te dwa trójkąty są sobie równe, możemy stwierdzić, że ∟K=∟Н. Więc twierdzenie jest udowodnione.
Ale nas interesuje jaka jest suma kątów trójkąta (równoramiennych). Ponieważ pod tym względem nie ma ona swoich osobliwości, zaczniemy od rozważanego wcześniej twierdzenia. Oznacza to, że możemy powiedzieć, że ∟K + ∟M + ∟H=180°, lub 2 x ∟K + ∟M=180° (ponieważ ∟K=∟H). Nie udowodnimy tej własności, ponieważ samo twierdzenie o sumie trójkątów zostało udowodnione wcześniej.
Z wyjątkiem omówionychwłasności o kątach trójkąta, są też takie ważne stwierdzenia:
- w trójkącie równoramiennym wysokość obniżona do podstawy jest zarówno medianą, dwusieczną kąta pomiędzy równymi bokami, jak i osią symetrii jego podstawy;
- mediany (dwusieczne, wysokości) narysowane po bokach takiej figury geometrycznej są równe.
Trójkąt równoboczny
Nazywa się to również prawym, jest to trójkąt o równych wszystkich bokach. Dlatego kąty są również równe. Każdy ma 60 stopni. Udowodnijmy tę właściwość.
Załóżmy, że mamy trójkąt KMN. Wiemy, że KM=NM=KN. A to oznacza, że zgodnie z właściwością kątów znajdujących się u podstawy w trójkącie równoramiennym ∟К=∟М=∟Н. Ponieważ zgodnie z twierdzeniem suma kątów trójkąta wynosi ∟К + ∟М + ∟Н=180°, to 3 x ∟К=180° lub ∟К=60°, ∟М=60°, ∟=60°. W ten sposób stwierdzenie jest udowodnione.
Jak widać z powyższego dowodu opartego na twierdzeniu, suma kątów trójkąta równobocznego, podobnie jak suma kątów każdego innego trójkąta, wynosi 180 stopni. Nie ma potrzeby ponownego udowadniania tego twierdzenia.
Istnieją również takie właściwości charakterystyczne dla trójkąta równobocznego:
- mediana, dwusieczna, wysokość w takiej figurze geometrycznej są takie same, a ich długość jest obliczana jako (a x √3): 2;
- jeśli opiszesz okrąg wokół danego wielokąta, to jego promień będzierówna się (a x √3): 3;
- jeśli wpiszesz okrąg w trójkąt równoboczny, to jego promień wyniesie (a x √3): 6;
- powierzchnia tej figury geometrycznej jest obliczana według wzoru: (a2 x √3): 4.
Trójkąt ostrokątny
Zgodnie z definicją trójkąta rozwartego, jeden z jego kątów wynosi od 90 do 180 stopni. Ale biorąc pod uwagę, że pozostałe dwa kąty tej figury geometrycznej są ostre, możemy wywnioskować, że nie przekraczają 90 stopni. Dlatego twierdzenie o sumie kątów trójkąta działa przy obliczaniu sumy kątów w trójkącie rozwartym. Okazuje się, że możemy śmiało powiedzieć na podstawie wspomnianego twierdzenia, że suma kątów trójkąta rozwartego wynosi 180 stopni. Ponownie, twierdzenie to nie musi być ponownie udowadniane.
