W gimnazjum i liceum uczniowie studiowali temat „Ułamki”. Pojęcie to jest jednak znacznie szersze niż podane w procesie uczenia się. Dzisiaj pojęcie ułamka pojawia się dość często i nie każdy potrafi obliczyć dowolne wyrażenie, na przykład mnożąc ułamki.
Co to jest ułamek?
Tak zdarzyło się historycznie, że liczby ułamkowe pojawiły się z powodu potrzeby mierzenia. Jak pokazuje praktyka, często istnieją przykłady określania długości odcinka, objętości prostopadłościanu prostokątnego, powierzchni prostokąta.
Na początku uczniowie zapoznają się z koncepcją dzielenia się. Na przykład, jeśli podzielisz arbuza na 8 części, każda otrzyma jedną ósmą arbuza. Ta jedna część ósemki nazywana jest udziałem.
Udział równy ½ dowolnej wartości nazywa się połową; ⅓ - trzeci; ¼ - jedna czwarta. Wpisy takie jak 5/8, 4/5, 2/4 nazywane są ułamkami zwykłymi. Wspólny ułamek dzieli się nalicznik i mianownik. Między nimi jest linia ułamkowa lub linia ułamkowa. Słupek ułamkowy można narysować jako linię poziomą lub ukośną. W tym przypadku oznacza znak podziału.
Mianownik reprezentuje liczbę równych udziałów wartości, na które dzieli się obiekt; a licznikiem jest, ile równych udziałów zostało pobranych. Licznik jest zapisany nad kreską ułamkową, mianownik jest zapisany poniżej.
Najwygodniej jest pokazać zwykłe ułamki na promieniu współrzędnych. Jeśli pojedynczy segment jest podzielony na 4 równe części, każda część jest oznaczona literą łacińską, dzięki czemu można uzyskać doskonałą pomoc wizualną. Tak więc punkt A pokazuje udział równy 1/4 całego segmentu jednostki, a punkt B oznacza 2/8 z tego segmentu.
Odmiany ułamków
Ułamki to liczby zwykłe, dziesiętne, a także mieszane. Ponadto ułamki można podzielić na właściwe i niewłaściwe. Ta klasyfikacja jest bardziej odpowiednia dla wspólnych ułamków.
Właściwy ułamek to liczba, której licznik jest mniejszy niż mianownik. W związku z tym ułamek niewłaściwy to liczba, której licznik jest większy niż mianownik. Drugi rodzaj jest zwykle zapisywany jako liczba mieszana. Takie wyrażenie składa się z części całkowitej i części ułamkowej. Na przykład 1½. 1 - część całkowita, ½ - ułamkowa. Jeśli jednak musisz wykonać pewne manipulacje wyrażeniem (dzielenie lub mnożenie ułamków, zmniejszanie lub konwertowanie), liczba mieszana jest tłumaczona naułamek niewłaściwy.
Prawidłowe wyrażenie ułamkowe jest zawsze mniejsze niż jeden, a niepoprawne jest zawsze większe lub równe 1.
Jeśli chodzi o ułamki dziesiętne, to wyrażenie jest rozumiane jako rekord, w którym reprezentowana jest dowolna liczba, a mianownik wyrażenia ułamkowego może być wyrażony przez jeden z kilkoma zerami. Jeśli ułamek jest prawidłowy, część całkowita w zapisie dziesiętnym będzie wynosić zero.
Aby zapisać ułamek dziesiętny, musisz najpierw napisać część całkowitą, oddzielić ją od części ułamkowej przecinkiem, a następnie napisać wyrażenie ułamkowe. Należy pamiętać, że po przecinku licznik musi zawierać tyle znaków numerycznych, ile jest zer w mianowniku.
Przykład. Reprezentuj ułamek 721/1000 w notacji dziesiętnej.
Algorytm zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną i odwrotnie
Niepoprawne jest zapisywanie ułamka niewłaściwego w odpowiedzi na problem, dlatego należy go zamienić na liczbę mieszaną:
- podziel licznik przez dostępny mianownik;
- w konkretnym przykładzie niepełny iloraz jest liczbą całkowitą;
- a reszta jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje niezmieniony.
Przykład. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: 47/5.
Decyzja. 47: 5. Iloraz częściowy to 9, reszta=2. Czyli 47/5 =92/5.
Czasami trzeba przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy. Następnie musisz użyćnastępujący algorytm:
- część całkowita jest mnożona przez mianownik wyrażenia ułamkowego;
- wynikowy iloczyn jest dodawany do licznika;
- wynik jest zapisywany w liczniku, mianownik pozostaje bez zmian.
Przykład. Wyraź liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy: 98/10.
Decyzja. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 to licznik.
Odpowiedź: 98/10.
Mnożenie wspólnych ułamków
Różne operacje algebraiczne można wykonywać na zwykłych ułamkach. Aby pomnożyć dwie liczby, należy pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Co więcej, mnożenie ułamków o różnych mianownikach nie różni się od iloczynu liczb ułamkowych o tych samych mianownikach.
Zdarza się, że po znalezieniu wyniku musisz zmniejszyć ułamek. Konieczne jest maksymalne uproszczenie wynikowego wyrażenia. Oczywiście nie można powiedzieć, że ułamek niewłaściwy w odpowiedzi jest błędem, ale też trudno nazwać to poprawną odpowiedzią.
Przykład. Znajdź iloczyn dwóch wspólnych ułamków: ½ i 20/18.
Jak widać na przykładzie, po znalezieniu produktu otrzymujemy zmniejszoną notację ułamkową. Zarówno licznik, jak i mianownik w tym przypadku są podzielne przez 4, a wynikiem jest odpowiedź 5/9.
Mnożenie ułamków dziesiętnych
Grafikaułamki dziesiętne różnią się zasadniczo od iloczynu zwykłych ułamków. Tak więc mnożenie ułamków jest następujące:
- dwa ułamki dziesiętne muszą być wpisane jeden pod drugim, tak aby cyfry znajdujące się najbardziej po prawej stronie znajdowały się jedna pod drugą;
- należy pomnożyć zapisane liczby, mimo przecinków, czyli jako liczby naturalne;
- oblicz liczbę cyfr po przecinku w każdej z liczb;
- w wyniku uzyskanym po mnożeniu należy policzyć tyle znaków numerycznych po prawej stronie, ile zawiera suma w obu czynnikach po przecinku i umieścić znak rozdzielający;
- jeśli w produkcie jest mniej cyfr, musisz napisać przed nimi tyle zer, aby zakryć tę liczbę, wstawić przecinek i przypisać część całkowitą równą zero.
Przykład. Oblicz iloczyn dwóch miejsc po przecinku: 2, 25 i 3, 6.
Decyzja.
Mnożenie ułamków mieszanych
Aby obliczyć iloczyn dwóch mieszanych ułamków, musisz użyć reguły mnożenia ułamków:
- konwertuj liczby mieszane na ułamki niewłaściwe;
- znajdź iloczyn liczników;
- znajdź iloczyn mianowników;
- wpisz wynik;
- uprość wyrażenie tak bardzo, jak to możliwe.
Przykład. Znajdź produkt 4½ i 62/5.
Mnożenie liczby przez ułamek(ułamki na liczbę)
Oprócz znajdowania iloczynu dwóch ułamków, liczb mieszanych, istnieją zadania, w których musisz pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek.
Aby znaleźć iloczyn ułamka dziesiętnego i liczby naturalnej, potrzebujesz:
- wpisz liczbę pod ułamkiem tak, aby cyfry z prawej strony znajdowały się jedna nad drugą;
- znajdź produkt pomimo przecinka;
- w wyniku oddziel część całkowitą od części ułamkowej za pomocą przecinka, licząc po prawej stronie liczbę znaków po przecinku w ułamku.
Aby pomnożyć zwykły ułamek przez liczbę, należy znaleźć iloczyn licznika i czynnika naturalnego. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem pomniejszonym, należy go przekonwertować.
Przykład. Oblicz iloczyn 5/8 i 12.
Decyzja. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
Odpowiedź: 71/2.
Jak widać z poprzedniego przykładu, konieczne było zmniejszenie wyniku i przekształcenie niepoprawnego wyrażenia ułamkowego na liczbę mieszaną.
Również mnożenie ułamków stosuje się również do znajdowania iloczynu liczby w postaci mieszanej i czynnika naturalnego. Aby pomnożyć te dwie liczby, należy pomnożyć część całkowitą współczynnika mieszanego przez liczbę, pomnożyć licznik przez tę samą wartość i pozostawić mianownik bez zmian. Jeśli to konieczne, uprość wynik tak bardzo, jak to możliwe.
Przykład. Znaleźćiloczyn 95/6 i 9.
Decyzja. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
Odpowiedź: 881/2.
Pomnóż przez współczynniki 10, 100, 1000 lub 0, 1; 0,01; 0, 001
Poniższa zasada wynika z poprzedniego akapitu. Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, 10000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o tyle cyfr, ile jest zer w mnożniku po jedynce.
Przykład 1. Znajdź produkt 0, 065 i 1000.
Decyzja. 0.065 x 1000=0065=65.
Odpowiedź: 65.
Przykład 2. Znajdź produkt 3, 9 i 1000.
Decyzja. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.
Odpowiedź: 3900.
Jeśli potrzebujesz pomnożyć liczbę naturalną przez 0, 1; 0,01; 0,001; 0, 0001 itd., należy przesunąć przecinek w lewo w wynikowym iloczynie o tyle cyfr, ile jest zer przed jedynką. W razie potrzeby przed liczbą naturalną zapisywana jest wystarczająca liczba zer.
Przykład 1. Znajdź produkt 56 i 0, 01.
Decyzja. 56 x 0,01=0056=0,56.
Odpowiedź: 0, 56.
Przykład 2. Znajdź produkt 4 i 0, 001.
Decyzja. 4 x 0,001=0004=0,004.
Odpowiedź: 0, 004.
Więc znalezienie iloczynu różnych ułamków nie powinno być trudne, może z wyjątkiem obliczenia wyniku; w tym przypadku po prostu nie możesz obejść się bez kalkulatora.
