W matematyce od samego początku badano różne typy liczb. Istnieje duża liczba zbiorów i podzbiorów liczb. Wśród nich są liczby całkowite, racjonalne, irracjonalne, naturalne, parzyste, nieparzyste, złożone i ułamkowe. Dzisiaj przeanalizujemy informacje o ostatnim zestawie - liczby ułamkowe.
Definicja ułamków
Ułamki to liczby składające się z części całkowitej i ułamków jedności. Podobnie jak liczby całkowite, istnieje nieskończona liczba liczb ułamkowych między dwiema liczbami całkowitymi. W matematyce wykonuje się operacje na ułamkach, tak jak na liczbach całkowitych i naturalnych. Jest to dość proste i można się tego nauczyć w kilku lekcjach.
Artykuł przedstawia dwa rodzaje ułamków zwykłych: zwykły i dziesiętny.
Ułamki zwykłe
Ułamki zwykłe to część całkowita a i dwie liczby zapisane w linii ułamkowej b/c. Typowe ułamki zwykłe mogą być niezwykle przydatne, jeśli część ułamkowa nie może być przedstawiona w racjonalnej postaci dziesiętnej. Ponadto arytmetykawygodniej jest wykonywać operacje za pomocą linii ułamkowej. Górna część to licznik, dolna to mianownik.
Działania ze zwykłymi ułamkami zwykłymi: przykłady
Główna właściwość ułamka. Mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, która nie jest zerem, otrzymujemy liczbę równą podanej. Ta właściwość ułamka pomaga wprowadzić mianownik do dodania (zostanie to omówione poniżej) lub zmniejszyć ułamek, dzięki czemu jest wygodniejszy do liczenia. a/b=ac/bc. Na przykład 36/24=6/4 lub 9/13=18/26
Redukcja do wspólnego mianownika. Aby sprowadzić mianownik ułamka, należy go przedstawić w postaci dzielników, a następnie pomnożyć przez brakujące liczby. Na przykład 7/15 i 12/30; 7/53 i 12/532. Widzimy, że mianowniki różnią się o dwa, więc mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 2. Otrzymujemy: 14/30 i 12/30.
Ułamki złożone to zwykłe ułamki z podświetloną częścią całkowitą. (A b/c) Aby przedstawić ułamek złożony jako ułamek zwykły, należy pomnożyć liczbę przed ułamkiem przez mianownik, a następnie dodać ją do licznika: (Ac + b)/c.
Operacje arytmetyczne na ułamkach
Rozważanie znanych operacji arytmetycznych tylko podczas pracy z liczbami ułamkowymi nie będzie zbyteczne.
Dodawanie i odejmowanie. Dodawanie i odejmowanie ułamków jest tak samo proste jak liczb całkowitych, z wyjątkiem jednej trudności - obecności słupka ułamkowego. Przy dodawaniu ułamków o tym samym mianowniku należy dodać tylko liczniki obu ułamków, mianowniki pozostają bezzmiany. Na przykład: 5/7 + 1/7=(5+1)/7=6/7
Jeśli mianowniki dwóch ułamków są różnymi liczbami, najpierw musisz zbliżyć je do wspólnego (jak to zrobić, omówiono powyżej). 1/8 + 3/2=1/222 + 3/2=1/8 + 34/24=1/8 + 12/8=13/8. Odejmowanie odbywa się na dokładnie tej samej zasadzie: 8/9 - 2/3=8/9 - 6/9=2/9.
Mnożenie i dzielenie. Akcje z ułamkami przez mnożenie występują zgodnie z następującą zasadą: liczniki i mianowniki mnoży się oddzielnie. Ogólnie rzecz biorąc, wzór mnożenia wygląda tak: a/b c/d=ac/bd. Ponadto, w miarę mnożenia, możesz zmniejszyć ułamek, eliminując te same czynniki z licznika i mianownika. W innym języku licznik i mianownik są podzielne przez tę samą liczbę: 4/16=4/44=1/4.
Aby podzielić jeden zwykły ułamek przez drugi, musisz zmienić licznik i mianownik dzielnika i wykonać mnożenie dwóch ułamków, zgodnie z zasadą omówioną wcześniej: 5/11: 25/11=5/1111/25=511/1125=1/5
Ułamki dziesiętne
Dziesiętne to bardziej popularna i powszechnie używana wersja liczb ułamkowych. Łatwiej je zapisać w linii lub zaprezentować na komputerze. Struktura ułamka dziesiętnego jest następująca: najpierw zapisywana jest liczba całkowita, a następnie po przecinku zapisywana jest część ułamkowa. W ich rdzeniu ułamki dziesiętne są ułamkami złożonymi, ale ich część ułamkowa jest reprezentowana przez liczbę podzieloną przez wielokrotność 10. Stąd ich nazwa. Operacje na ułamkach dziesiętnych są podobne do operacji na liczbach całkowitych, ponieważ są one równieżnapisane w notacji dziesiętnej. Ponadto, w przeciwieństwie do zwykłych ułamków zwykłych, ułamki dziesiętne mogą być nieracjonalne. Oznacza to, że mogą być nieskończone. Są napisane jako 7, (3). Odczytuje się następujący wpis: siedem całych, trzy dziesiąte w okresie.
Podstawowe operacje na liczbach dziesiętnych
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych. Wykonywanie akcji na ułamkach nie jest trudniejsze niż na pełnych liczbach naturalnych. Zasady są dokładnie takie same, jak te stosowane przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb naturalnych. Można je również uznać za kolumnę w ten sam sposób, ale w razie potrzeby zastąp brakujące miejsca zerami. Na przykład: 5, 5697 - 1, 12. Aby wykonać odejmowanie kolumnowe, należy wyrównać liczbę liczb po przecinku: (5, 5697 - 1, 1200). Tak więc wartość liczbowa nie zmieni się i będzie można liczyć w kolumnie.
Działania z ułamkami dziesiętnymi nie mogą być wykonywane, jeśli jedna z nich ma postać niewymierną. Aby to zrobić, musisz zamienić obie liczby na zwykłe ułamki, a następnie skorzystać z opisanych wcześniej sztuczek.
Mnożenie i dzielenie. Mnożenie liczb dziesiętnych jest podobne do mnożenia liczb naturalnych. Można je również pomnożyć przez kolumnę, po prostu ignorując przecinek, a następnie oddzielone przecinkiem w końcowej wartości taką samą liczbę cyfr, jak suma po przecinku w dwóch ułamkach dziesiętnych. Na przykład 1, 52, 23=3, 345. Wszystko jest bardzo proste i nie powinno sprawiać trudności, jeśli opanowałeś już mnożenie liczb naturalnych.
Podział zbiega się również z podziałem naturalnymliczb, ale z niewielką dygresją. Aby podzielić kolumnę przez liczbę dziesiętną, należy odrzucić przecinek w dzielniku i pomnożyć dzielną przez liczbę cyfr po przecinku w dzielniku. Następnie wykonaj dzielenie jak w przypadku liczb naturalnych. Przy niepełnym dzieleniu możesz dodać zera do dywidendy po prawej stronie, dodając również zero po przecinku.
Przykłady działań z ułamkami dziesiętnymi. Ułamki dziesiętne to bardzo przydatne narzędzie do liczenia arytmetycznego. Łączą wygodę naturalnych liczb całkowitych i precyzję wspólnych ułamków. Ponadto konwersja jednej frakcji na drugą jest dość prosta. Operacje na ułamkach nie różnią się od operacji na liczbach naturalnych.
- Dodawanie: 1, 5 + 2, 7=4, 2
- Odejmowanie: 3, 1 - 1, 6=1, 5
- Mnożenie: 1, 72, 3=3, 91
- Podział: 3, 6: 0, 6=6
Ponadto ułamki dziesiętne są odpowiednie do przedstawiania wartości procentowych. Tak więc 100%=1; 60%=0,6; i odwrotnie: 0,659=65,9%.
To wszystko, co trzeba wiedzieć o ułamkach. W artykule rozważono dwa rodzaje ułamków zwykłych - zwykły i dziesiętny. Oba są dość łatwe do obliczenia, a jeśli masz pełne opanowanie liczb naturalnych i operacji na nich, możesz bezpiecznie rozpocząć naukę liczb ułamkowych.
