Jeżeli liniowy ruch ciał opisuje się w mechanice klasycznej za pomocą praw Newtona, to charakterystyki ruchu układów mechanicznych po trajektoriach kołowych są obliczane za pomocą specjalnego wyrażenia, które nazywa się równaniem momentów. O jakich momentach mówimy i jakie jest znaczenie tego równania? Te i inne pytania ujawniamy w artykule.
Moment siły
Wszyscy doskonale zdają sobie sprawę z siły Newtona, która działając na ciało prowadzi do nadania mu przyspieszenia. Kiedy taka siła jest przyłożona do obiektu, który jest zamocowany na określonej osi obrotu, wówczas ta cecha jest zwykle nazywana momentem siły. Równanie momentu siły można zapisać w następujący sposób:
M¯=L¯F¯
Zdjęcie wyjaśniające to wyrażenie jest pokazane poniżej.
Tutaj widać, że siła F¯ jest skierowana na wektor L¯ pod kątem Φ. Zakłada się, że sam wektor L¯ jest skierowany od osi obrotu (wskazanej strzałką) do punktu przyłożeniaF¯.
Powyższy wzór jest iloczynem dwóch wektorów, więc M¯ jest również kierunkowe. Gdzie zostanie obrócony moment siły M¯? Można to określić za pomocą reguły prawej ręki (cztery palce są skierowane wzdłuż trajektorii od końca wektora L¯ do końca F¯, a lewy kciuk wskazuje kierunek M¯).
Na powyższym rysunku wyrażenie na moment siły w postaci skalarnej przyjmie postać:
M=LFsin(Φ)
Jeśli przyjrzysz się bliżej figurze, zobaczysz, że Lsin(Φ)=d, to mamy formułę:
M=dF
Wartość d jest ważną cechą przy obliczaniu momentu siły, ponieważ odzwierciedla skuteczność przyłożonego F do systemu. Ta wartość nazywana jest dźwignią siły.
Fizyczne znaczenie M polega na zdolności siły do obracania systemu. Każdy może poczuć tę umiejętność, jeśli otworzy drzwi za klamkę, popychając je w pobliżu zawiasów, lub jeśli spróbuje odkręcić nakrętkę krótkim i długim kluczem.
Równowaga systemu
Pojęcie momentu siły jest bardzo przydatne przy rozważaniu równowagi układu, na który oddziałuje wiele sił i ma oś lub punkt obrotu. W takich przypadkach zastosuj wzór:
∑iMi¯=0
Oznacza to, że układ będzie w równowadze, jeśli suma wszystkich przyłożonych do niego momentów sił wynosi zero. Zwróć uwagę, że w tej formule znajduje się znak wektora nad momentem, to znaczy przy rozwiązywaniu nie należy zapominać o uwzględnieniu znaku tegowielkie ilości. Ogólnie przyjętą zasadą jest to, że siła działająca, która obraca system w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, tworzy dodatnie Mi¯.
Uderzającym przykładem tego typu problemów są problemy z równowagą dźwigni Archimedesa.
Moment pędu
To kolejna ważna cecha ruchu kołowego. W fizyce opisuje się go jako iloczyn pędu i dźwigni. Równanie pędu wygląda tak:
T¯=r¯p¯
Tu p¯ jest wektorem pędu, r¯ jest wektorem łączącym wirujący punkt materialny z osią.
Poniższy rysunek ilustruje to wyrażenie.
Tutaj ω to prędkość kątowa, która pojawi się w dalszej części równania momentu. Zauważ, że kierunek wektora T¯ znajduje się według tej samej reguły co M¯. Na powyższym rysunku T¯ w kierunku zbiega się z wektorem prędkości kątowej ω¯.
Fizyczne znaczenie T¯ jest takie samo jak charakterystyka p¯ w przypadku ruchu liniowego, tzn. moment pędu opisuje wielkość ruchu obrotowego (magazynowanej energii kinetycznej).
Moment bezwładności
Trzecia ważna cecha, bez której nie można sformułować równania ruchu wirującego obiektu, jest moment bezwładności. Pojawia się w fizyce w wyniku matematycznych przekształceń wzoru na moment pędu punktu materialnego. Pokażmy Ci, jak to się robi.
Wyobraźmy sobie wartośćT¯ w następujący sposób:
T¯=r¯mv¯, gdzie p¯=mv¯
Używając zależności między prędkościami kątowymi i liniowymi, możemy przepisać to wyrażenie w następujący sposób:
T¯=r¯mr¯ω¯, gdzie v¯=r¯ω¯
Napisz ostatnie wyrażenie w następujący sposób:
T¯=r2mω¯
Wartość r2m jest momentem bezwładności I punktu o masie m, który wykonuje ruch kołowy wokół osi w odległości r od niej. Ten szczególny przypadek pozwala nam wprowadzić ogólne równanie momentu bezwładności ciała o dowolnym kształcie:
I=∫m (r2dm)
I jest wielkością addytywną, której znaczenie leży w bezwładności systemu wirującego. Im większe ja, tym trudniej jest zakręcić ciałem, a zatrzymanie tego wymaga znacznego wysiłku.
Równanie momentu
Rozważyliśmy trzy wielkości, których nazwa zaczyna się od słowa „moment”. Zostało to zrobione celowo, ponieważ wszystkie są połączone w jedno wyrażenie, zwane równaniem 3-momentowym. Wyrzućmy to.
Rozważ wyrażenie na moment pędu T¯:
T¯=Iω¯
Sprawdź, jak zmienia się wartość T¯ w czasie, mamy:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Zakładając, że pochodna prędkości kątowej jest równa prędkości liniowej podzielonej przez r i rozszerzając wartość I, otrzymujemy wyrażenie:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, gdzie a¯=dv¯/dt to przyspieszenie liniowe.
Zauważ, że iloczyn masy i przyspieszenia to nic innego jak działająca siła zewnętrzna F¯. W rezultacie otrzymujemy:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Doszliśmy do ciekawego wniosku: zmiana momentu pędu jest równa momentowi działającej siły zewnętrznej. To wyrażenie jest zwykle pisane w nieco innej formie:
M¯=Iα¯, gdzie α¯=dω¯/dt - przyspieszenie kątowe.
Ta równość nazywana jest równaniem momentów. Pozwala obliczyć dowolną charakterystykę wirującego ciała, znając parametry układu i wielkość wpływu zewnętrznego na niego.
Prawo ochrony T¯
Wniosek uzyskany w poprzednim akapicie wskazuje, że jeśli zewnętrzny moment sił jest równy zero, to moment pędu nie ulegnie zmianie. W tym przypadku piszemy wyrażenie:
T¯=const. lub I1ω1¯=I2ω2 ¯
Ten wzór nazywa się prawem zachowania T¯. Oznacza to, że wszelkie zmiany w układzie nie zmieniają całkowitego momentu pędu.
Z tego faktu korzystają łyżwiarze figurowi i baleriny podczas swoich występów. Jest również używany, jeśli konieczne jest obrócenie sztucznego satelity poruszającego się w przestrzeni wokół swojej osi.
