Jeden z aksjomatów geometrii mówi, że przez dowolne dwa punkty można narysować pojedynczą linię prostą. Aksjomat ten świadczy o tym, że istnieje unikalne wyrażenie liczbowe, które jednoznacznie opisuje określony jednowymiarowy obiekt geometryczny. Rozważ w artykule pytanie, jak napisać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
Co to jest punkt i linia?
Przed rozważeniem kwestii zbudowania w przestrzeni i na płaszczyźnie prostej równania przechodzącej przez parę różnych punktów, należy zdefiniować określone obiekty geometryczne.
Punkt jest jednoznacznie określony przez zbiór współrzędnych w danym układzie osi współrzędnych. Oprócz nich nie ma już żadnych cech charakterystycznych. Jest obiektem zerowymiarowym.
Gdy mówimy o linii prostej, każda osoba wyobraża sobie linię przedstawioną na białej kartce papieru. Jednocześnie można podać dokładną definicję geometrycznąten obiekt. Linia prosta to taki zbiór punktów, dla których połączenie każdego z nich ze wszystkimi innymi da zbiór równoległych wektorów.
Ta definicja jest używana podczas ustawiania równania wektorowego linii prostej, co zostanie omówione poniżej.
Ponieważ każdą linię można oznaczyć segmentem o dowolnej długości, mówi się, że jest to jednowymiarowy obiekt geometryczny.
Funkcja wektora liczb
Równanie przechodzące przez dwa punkty przechodzącej linii prostej można zapisać w różnych formach. W przestrzeniach trójwymiarowych i dwuwymiarowych głównym i intuicyjnie zrozumiałym wyrażeniem liczbowym jest wektor.
Załóżmy, że istnieje jakiś skierowany segment u¯(a; b; c). W przestrzeni 3D wektor u¯ może zaczynać się w dowolnym punkcie, więc jego współrzędne definiują nieskończony zbiór wektorów równoległych. Jeśli jednak wybierzemy konkretny punkt P(x0; y0; z0) i wstawimy to jako początek wektora u¯, to mnożąc ten wektor przez dowolną liczbę rzeczywistą λ, można otrzymać wszystkie punkty jednej prostej w przestrzeni. Oznacza to, że równanie wektorowe zostanie zapisane jako:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Oczywiście, dla przypadku na płaszczyźnie, funkcja numeryczna przyjmuje postać:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Zaleta tego typu równania w porównaniu z innymi (w segmentach, kanoniczne,ogólna forma) polega na tym, że wyraźnie zawiera współrzędne wektora kierunkowego. Ten ostatni jest często używany do określenia, czy linie są równoległe, czy prostopadłe.
Ogólne w segmentach i funkcja kanoniczna dla linii prostej w przestrzeni dwuwymiarowej
Podczas rozwiązywania problemów czasami trzeba napisać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w określonej formie. Dlatego też należy podać inne sposoby określenia tego obiektu geometrycznego w przestrzeni dwuwymiarowej (dla uproszczenia rozważamy przypadek na płaszczyźnie).
Zacznijmy od ogólnego równania. Ma postać:
Ax + By + C=0
Z reguły na płaszczyźnie równanie prostej jest zapisane w tej postaci, tylko y jest wyraźnie zdefiniowane przez x.
Teraz przekształć powyższe wyrażenie w następujący sposób:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
To wyrażenie nazywa się równaniem w segmentach, ponieważ mianownik dla każdej zmiennej pokazuje, jak długo segment linii odcina się na odpowiedniej osi współrzędnych względem punktu początkowego (0; 0).
Pozostaje podać przykład równania kanonicznego. Aby to zrobić, wyraźnie piszemy równość wektorów:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Wyraźmy parametr λ stąd i przyrównajmy wynikowe równości:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Ostatnia równość nazywana jest równaniem w formie kanonicznej lub symetrycznej.
Każdy z nich można przekonwertować na wektor i odwrotnie.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: technika kompilacji
Powrót do pytania artykułu. Załóżmy, że w przestrzeni są dwa punkty:
M(x1; y1; z1) i N(x 2;y2; z2)
Przechodzi przez nie jedyna prosta linia, której równanie jest bardzo łatwe do złożenia w postaci wektorowej. W tym celu obliczamy współrzędne skierowanego odcinka MN¯, mamy:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nietrudno zgadnąć, że ten wektor będzie przewodnikiem dla prostej, której równanie musi zostać uzyskane. Wiedząc, że przechodzi również przez M i N, możesz użyć współrzędnych dowolnego z nich do wyrażenia wektorowego. Następnie żądane równanie przyjmuje postać:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1;z2-z1)
Dla przypadku w przestrzeni dwuwymiarowej otrzymujemy podobną równość bez udziału zmiennej z.
Gdy tylko zostanie napisana równość wektora dla linii, można ją przetłumaczyć na dowolną inną formę, której wymaga pytanie o problem.
Zadanie:napisz ogólne równanie
Wiadomo, że linia prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych (-1; 4) i (3; 2). Konieczne jest ułożenie równania przechodzącej przez nie prostej, w postaci ogólnej, wyrażającej y w postaci x.
Aby rozwiązać problem, najpierw zapisujemy równanie w postaci wektorowej. Współrzędne wektora (przewodnika) to:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Wtedy postać wektorowa równania prostej jest następująca:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Pozostaje napisać to w formie ogólnej w formie y(x). Przepisujemy tę równość jawnie, wyrażamy parametr λ i wykluczamy go z równania:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Z otrzymanego równania kanonicznego wyrażamy y i dochodzimy do odpowiedzi na pytanie problemu:
y=-0,5x + 3,5
Ważność tej równości można sprawdzić, podstawiając współrzędne punktów określonych w opisie problemu.
Problem: linia prosta przechodząca przez środek segmentu
Teraz rozwiążmy jeden interesujący problem. Załóżmy, że dane są dwa punkty M(2;1) i N(5;0). Wiadomo, że linia prosta przechodzi przez środek odcinka łączącego punkty i jest do niego prostopadła. Napisz równanie prostej przechodzącej przez środek odcinka w postaci wektorowej.
Pożądane wyrażenie liczbowe można utworzyć, obliczając współrzędną tego środka i określając wektor kierunku, którysegment tworzy kąt 90o.
Środek segmentu to:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Teraz obliczmy współrzędne wektora MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Ponieważ wektor kierunku dla żądanej linii jest prostopadły do MN¯, ich iloczyn skalarny jest równy zero. Pozwala to obliczyć nieznane współrzędne (a; b) wektora sterowania:
a3 - b=0=>
b=3a
Teraz napisz równanie wektorowe:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Tutaj zastąpiliśmy iloczyn aλ nowym parametrem β.
W ten sposób stworzyliśmy równanie prostej przechodzącej przez środek odcinka.
