Odwrotne funkcje trygonometryczne tradycyjnie powodują trudności dla uczniów. Umiejętność obliczenia arc tangensa liczby może być wymagana w zadaniach USE w planimetrii i stereometrii. Aby pomyślnie rozwiązać równanie i problem z parametrem, musisz rozumieć właściwości funkcji arc tangens.
Definicja
Łuk tangens liczby x jest liczbą y, której tangens to x. To jest definicja matematyczna.
Funkcja arcus tangens jest zapisana jako y=arctg x.
Bardziej ogólnie: y=Carctg (kx + a).
Obliczenia
Aby zrozumieć, jak działa odwrotna funkcja trygonometryczna arcus tangensa, musisz najpierw zapamiętać, w jaki sposób określana jest wartość tangensa liczby. Przyjrzyjmy się bliżej.
Stan dla x jest stosunkiem sinusa x do cosinusa x. Jeżeli znana jest przynajmniej jedna z tych dwóch wielkości, to moduł drugiej można uzyskać z podstawowej tożsamości trygonometrycznej:
sin2 x + cos2 x=1.
Oczywiście, aby odblokować moduł, wymagana będzie ocena.
Jeśliznana jest sama liczba, a nie jej charakterystyka trygonometryczna, to w większości przypadków konieczne jest przybliżone oszacowanie tangensa liczby, odwołując się do tablicy Bradisa.
Wyjątki to tak zwane wartości standardowe.
Są one przedstawione w poniższej tabeli:
Oprócz powyższego, dowolne wartości uzyskane z danych przez dodanie liczby w postaci ½πк (к - dowolna liczba całkowita, π=3, 14) można uznać za standardowe.
Dokładnie to samo dotyczy arcus tangens: najczęściej przybliżoną wartość można zobaczyć w tabeli, ale tylko kilka wartości jest na pewno znanych:
W praktyce przy rozwiązywaniu zadań matematyki szkolnej zwyczajowo podaje się odpowiedź w postaci wyrażenia zawierającego arcus tangens, a nie jego przybliżone oszacowanie. Na przykład arctg 6, arctg (-¼).
Wykreślanie wykresu
Ponieważ tangens może przyjmować dowolną wartość, dziedziną funkcji arcus tangens jest cała oś liczbowa. Wyjaśnijmy to bardziej szczegółowo.
Ten sam tangens odpowiada nieskończonej liczbie argumentów. Na przykład nie tylko tangens zera jest równy zeru, ale także tangens dowolnej liczby w postaci π k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Dlatego matematycy zgodzili się na dobór wartości arcus tangens z przedziału od -½ π do ½ π. Tak to należy rozumieć. Zakres funkcji arcus tangens to przedział (-½ π; ½ π). Końce przerwy nie są uwzględniane, ponieważ styczne -½p i ½p nie istnieją.
W określonym przedziale czasu styczna jest ciągławzrasta. Oznacza to, że odwrotna funkcja arcus tangens również stale rośnie na całej osi liczbowej, ale jest ograniczona od góry i od dołu. W rezultacie ma dwie poziome asymptoty: y=-½ π i y=½ π.
W tym przypadku tg 0=0, inne punkty przecięcia z osią odciętych, z wyjątkiem (0;0), wykres nie może mieć ze względu na wzrost.
Jak wynika z parzystości funkcji stycznej, arcus tangens ma podobną właściwość.
Aby zbudować wykres, weź kilka punktów spośród standardowych wartości:
Pochodna funkcji y=arctg x w dowolnym punkcie jest obliczana ze wzoru:
Zauważ, że jego pochodna jest wszędzie dodatnia. Jest to zgodne z wcześniejszym wnioskiem o ciągłym wzroście funkcji.
Druga pochodna arcus tangens znika w punkcie 0, jest ujemna dla dodatnich wartości argumentu i odwrotnie.
Oznacza to, że wykres funkcji arc tangens ma punkt przegięcia na zero i jest wypukły w dół na przedziale (-∞; 0] i wypukły w górę na przedziale [0; +∞).
