Myślę, że powinniśmy zacząć od historii tak wspaniałego narzędzia matematycznego jak równania różniczkowe. Podobnie jak wszystkie rachunki różniczkowe i całkowe, równania te zostały wynalezione przez Newtona pod koniec XVII wieku. Uważał to odkrycie za tak ważne, że nawet zaszyfrował przesłanie, które dziś można przetłumaczyć mniej więcej tak: „Wszystkie prawa natury opisane są równaniami różniczkowymi”. To może wydawać się przesadą, ale to prawda. Za pomocą tych równań można opisać dowolne prawo fizyki, chemii, biologii.
Matematyka Euler i Lagrange wnieśli ogromny wkład w rozwój i tworzenie teorii równań różniczkowych. Już w XVIII wieku odkryli i rozwinęli to, co obecnie studiują na wyższych kursach uniwersytetów.
Nowy kamień milowy w badaniach równań różniczkowych rozpoczął się dzięki Henri Poincare. Stworzył „jakościową teorię równań różniczkowych”, która w połączeniu z teorią funkcji zmiennej zespolonej wniosła istotny wkład w powstanie topologii – nauki o przestrzeni i jejwłaściwości.
Czym są równania różniczkowe?
Wiele osób boi się jednego wyrażenia „równanie różniczkowe”. Jednak w tym artykule szczegółowo opiszemy całą istotę tego bardzo przydatnego aparatu matematycznego, który w rzeczywistości nie jest tak skomplikowany, jak się wydaje z nazwy. Aby zacząć mówić o równaniach różniczkowych pierwszego rzędu, powinieneś najpierw zapoznać się z podstawowymi pojęciami, które są nieodłącznie związane z tą definicją. I zaczniemy od różnicy.
Różnicowy
Wiele osób zna tę koncepcję ze szkoły. Przyjrzyjmy się jednak temu bliżej. Wyobraź sobie wykres funkcji. Możemy ją zwiększyć do tego stopnia, że którykolwiek z jej odcinków przyjmie postać linii prostej. Na nim bierzemy dwa punkty, które są nieskończenie blisko siebie. Różnica między ich współrzędnymi (x lub y) będzie nieskończenie małą wartością. Nazywa się ona różniczką i jest oznaczana znakami dy (różnica od y) i dx (różnica od x). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że różnica nie jest wartością skończoną i to jest jej znaczenie i główna funkcja.
A teraz musimy rozważyć kolejny element, który przyda się nam w wyjaśnieniu pojęcia równania różniczkowego. To jest pochodna.
Pochodna
Prawdopodobnie wszyscy słyszeliśmy w szkole i tę koncepcję. Mówi się, że pochodną jest tempo wzrostu lub spadku funkcji. Jednak z tej definicjiwiele staje się niejasne. Spróbujmy wyjaśnić pochodną w kategoriach różniczkowych. Wróćmy do nieskończenie małego odcinka funkcji z dwoma punktami, które znajdują się w minimalnej odległości od siebie. Ale nawet na tej odległości funkcja potrafi się zmienić o pewną wartość. Aby opisać tę zmianę, wymyślili pochodną, którą inaczej można zapisać jako stosunek różniczkowy: f(x)'=df/dx.
Teraz warto rozważyć podstawowe własności pochodnej. Są tylko trzy z nich:
- Pochodną sumy lub różnicy można przedstawić jako sumę lub różnicę pochodnych: (a+b)'=a'+b' i (a-b)'=a'-b'.
- Druga właściwość dotyczy mnożenia. Pochodną iloczynu jest suma iloczynów jednej funkcji i pochodnej innej funkcji: (ab)'=a'b+ab'.
- Pochodną różnicy można zapisać jako następującą równość: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Wszystkie te właściwości będą przydatne do znajdowania rozwiązań równań różniczkowych pierwszego rzędu.
Istnieją również pochodne cząstkowe. Powiedzmy, że mamy funkcję z, która zależy od zmiennych x i y. Aby obliczyć pochodną cząstkową tej funkcji, powiedzmy, względem x, musimy wziąć zmienną y jako stałą i po prostu zróżnicować.
Integralna
Kolejną ważną koncepcją jest całka. W rzeczywistości jest to bezpośrednie przeciwieństwo pochodnej. Istnieje kilka rodzajów całek, ale aby rozwiązać najprostsze równania różniczkowe, potrzebujemy najbardziej trywialnych całek nieoznaczonych.
Więc czym jest całka? Powiedzmy, że mamy pewną zależność fod x. Bierzemy z niej całkę i otrzymujemy funkcję F(x) (często nazywaną funkcją pierwotną), której pochodna jest równa funkcji pierwotnej. Zatem F(x)'=f(x). Wynika z tego również, że całka pochodnej jest równa funkcji pierwotnej.
Rozwiązując równania różniczkowe, bardzo ważne jest zrozumienie znaczenia i funkcji całki, ponieważ będziesz musiał je często wykorzystywać, aby znaleźć rozwiązanie.
Równania różnią się w zależności od ich natury. W następnym rozdziale rozważymy rodzaje równań różniczkowych pierwszego rzędu, a następnie nauczymy się je rozwiązywać.
Klasy równań różniczkowych
"Diffury" są podzielone zgodnie z kolejnością powiązanych z nimi pochodnych. Tak więc istnieje kolejność pierwsza, druga, trzecia i kolejne. Można je również podzielić na kilka klas: pochodne zwykłe i cząstkowe.
W tym artykule rozważymy równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu. W kolejnych sekcjach omówimy również przykłady i sposoby ich rozwiązania. Rozważymy tylko ODE, ponieważ są to najczęstsze typy równań. Zwykłe dzielą się na podgatunki: o zmiennych rozdzielnych, jednorodne i niejednorodne. Następnie dowiesz się, czym się od siebie różnią i nauczysz się je rozwiązywać.
Ponadto równania te można łączyć, aby otrzymać układ równań różniczkowych pierwszego rzędu. Rozważymy również takie systemy i nauczymy się je rozwiązywać.
Dlaczego rozważamy tylko pierwsze zamówienie? Bo trzeba zacząć od prostego i opisać wszystko, co dotyczy różnicyrównania, w jednym artykule jest po prostu niemożliwe.
Równania na zmienne separowalne
Są to prawdopodobnie najprostsze równania różniczkowe pierwszego rzędu. Należą do nich przykłady, które można zapisać w ten sposób: y'=f(x)f(y). Aby rozwiązać to równanie, potrzebujemy formuły przedstawiającej pochodną jako stosunek różniczki: y'=dy/dx. Używając go otrzymujemy następujące równanie: dy/dx=f(x)f(y). Teraz możemy przejść do metody rozwiązywania standardowych przykładów: podzielimy zmienne na części, czyli przeniesiemy wszystko ze zmienną y do części, w której znajduje się dy, a ze zmienną x zrobimy to samo. Otrzymujemy równanie postaci: dy/f(y)=f(x)dx, które rozwiązujemy biorąc całki obu części. Nie zapomnij o stałej, którą należy ustawić po wzięciu całki.
Rozwiązanie każdej "różnicy" jest funkcją zależności x od y (w naszym przypadku) lub, jeśli istnieje warunek liczbowy, odpowiedź ma postać liczby. Przeanalizujmy cały przebieg rozwiązania na konkretnym przykładzie:
y'=2ysin(x)
Przenieś zmienne w różnych kierunkach:
dy/y=2sin(x)dx
Teraz bierzemy całki. Wszystkie można znaleźć w specjalnej tabeli całek. I otrzymujemy:
ln(y)=-2cos(x) + C
W razie potrzeby możemy wyrazić „y” jako funkcję „x”. Teraz możemy powiedzieć, że nasze równanie różniczkowe jest rozwiązane, jeśli nie zostanie podany żaden warunek. Można podać warunek, na przykład y(n/2)=e. Następnie po prostu podstawiamy wartość tych zmiennych do rozwiązania iznajdź wartość stałej. W naszym przykładzie jest to 1.
Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu
Teraz przejdźmy do trudniejszej części. Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu można zapisać w postaci ogólnej następująco: y'=z(x, y). Należy zauważyć, że właściwa funkcja dwóch zmiennych jest jednorodna i nie można jej podzielić na dwie zależności: z od x i z od y. Sprawdzenie, czy równanie jest jednorodne czy nie, jest dość proste: dokonujemy podstawienia x=kxi y=ky. Teraz anulujemy wszystkie k. Jeśli wszystkie te litery zostaną zredukowane, równanie jest jednorodne i możesz bezpiecznie przystąpić do jego rozwiązania. Patrząc w przyszłość, powiedzmy: zasada rozwiązywania tych przykładów jest również bardzo prosta.
Musimy dokonać podstawienia: y=t(x)x, gdzie t jest funkcją, która również zależy od x. Następnie możemy wyrazić pochodną: y'=t'(x)x+t. Podstawiając to wszystko do naszego oryginalnego równania i upraszczając je, otrzymujemy przykład z rozdzielnymi zmiennymi t i x. Rozwiązujemy go i otrzymujemy zależność t(x). Kiedy to otrzymaliśmy, po prostu podstawiamy y=t(x)x do naszego poprzedniego zamiennika. Wtedy otrzymujemy zależność y od x.
Aby było jaśniej, spójrzmy na przykład: xy'=y-xey/x.
Podczas sprawdzania z wymianą wszystko jest zredukowane. Więc równanie jest naprawdę jednorodne. Teraz dokonujemy kolejnego podstawienia, o którym mówiliśmy: y=t(x)x i y'=t'(x)x+t(x). Po uproszczeniu otrzymujemy następujące równanie: t'(x)x=-et. Wynikowy przykład rozwiązujemy za pomocą rozdzielonych zmiennych i otrzymujemy: e-t=ln(Cx). Wystarczy zamienić t na y/x (w końcu jeśli y=tx, to t=y/x) i otrzymujemyodpowiedź: e-y/x=ln(xC).
Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu
Czas na kolejny duży temat. Przeanalizujemy niejednorodne równania różniczkowe pierwszego rzędu. Czym różnią się od dwóch poprzednich? Rozwiążmy to. Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu w postaci ogólnej można zapisać następująco: y' + g(x)y=z(x). Warto wyjaśnić, że z(x) i g(x) mogą być stałymi.
A teraz przykład: y' - yx=x2.
Są dwa sposoby rozwiązania tego problemu i zajmiemy się obydwoma w kolejności. Pierwsza z nich to metoda zmienności dowolnych stałych.
Aby rozwiązać równanie w ten sposób, musisz najpierw przyrównać prawą stronę do zera i rozwiązać wynikowe równanie, które po przesunięciu części przyjmie postać:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Teraz musimy zastąpić stałą C1 funkcją v(x), którą musimy znaleźć.
y=vex2/2.
Zmieńmy pochodną:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
I wstaw te wyrażenia do oryginalnego równania:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Po lewej stronie widać, że dwa terminy anulują się. Jeśli w jakimś przykładzie tak się nie stało, to zrobiłeś coś złego. Kontynuuj:
v'ex2/2 =x2.
Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie, w którym musimy oddzielić zmienne:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Aby wyodrębnić całkę, musimy tutaj zastosować całkowanie przez części. Nie jest to jednak temat naszego artykułu. Jeśli jesteś zainteresowany, możesz sam nauczyć się wykonywać takie czynności. Nie jest to trudne, a przy wystarczających umiejętnościach i uwadze nie zajmuje dużo czasu.
Przejdźmy do drugiej metody rozwiązywania równań niejednorodnych: metody Bernoulliego. To, które podejście jest szybsze i łatwiejsze, zależy od Ciebie.
Więc rozwiązując równanie tą metodą, musimy dokonać zamiany: y=kn. Tutaj k i n to niektóre funkcje zależne od x. Wtedy pochodna będzie wyglądać tak: y'=k'n+kn'. Zastąp oba podstawienia równaniem:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grupa:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Teraz musimy zrównać ze sobą to, co jest w nawiasach. Teraz, jeśli połączysz dwa wynikowe równania, otrzymasz układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, który musisz rozwiązać:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Pierwsza równość jest rozwiązywana jak normalne równanie. Aby to zrobić, musisz oddzielić zmienne:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Weź całkę i uzyskaj: ln(n)=x2/2. Wtedy, jeśli wyrazimy n:
n=ex2/2.
Teraz podstawiamy wynikową równość do drugiego równania układu:
k'ex2/2=x2.
I przekształcając, otrzymujemy taką samą równość jak w pierwszej metodzie:
dk=x2/ex2/2.
Nie będziemy też wchodzić w dalsze kroki. Warto powiedzieć, że na początku rozwiązanie równań różniczkowych pierwszego rzędu nastręcza znaczne trudności. Jednak w miarę zagłębiania się w temat zaczyna się on stawać coraz lepszy.
Gdzie są używane równania różniczkowe?
Równania różniczkowe są bardzo aktywnie wykorzystywane w fizyce, ponieważ prawie wszystkie podstawowe prawa są zapisane w formie różniczkowej, a wzory, które widzimy, są rozwiązaniami tych równań. W chemii używa się ich z tego samego powodu: wyprowadza się z nich podstawowe prawa. W biologii równania różniczkowe są używane do modelowania zachowania systemów, takich jak drapieżnik-ofiara. Mogą być również wykorzystywane do tworzenia modeli reprodukcji, powiedzmy, kolonii mikroorganizmów.
Jak równania różniczkowe pomogą w życiu?
Odpowiedź na to pytanie jest prosta: nie ma mowy. Jeśli nie jesteś naukowcem ani inżynierem, prawdopodobnie nie będą ci przydatne. Jednak dla ogólnego rozwoju nie zaszkodzi wiedzieć, czym jest równanie różniczkowe i jak je rozwiązać. A potem pytanie syna lub córki „co to jest równanie różniczkowe?” nie zmyli cię. Cóż, jeśli jesteś naukowcem lub inżynierem, sam rozumiesz znaczenie tego tematu w każdej nauce. Ale najważniejsze jest to, że teraz pytanie „jak rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu?” zawsze możesz odpowiedzieć. Zgadzam się, zawsze jest fajniekiedy zrozumiesz to, co ludzie boją się zrozumieć.
Główne problemy w nauce
Głównym problemem w zrozumieniu tego tematu jest słaba umiejętność całkowania i różnicowania funkcji. Jeśli jesteś kiepski w liczeniu pochodnych i całek, to prawdopodobnie powinieneś dowiedzieć się więcej, opanować różne metody całkowania i różniczkowania, a dopiero potem zacząć studiować materiał, który został opisany w artykule.
Niektórzy ludzie są zaskoczeni, gdy dowiadują się, że dx można przenieść, ponieważ wcześniej (w szkole) mówiono, że ułamek dy/dx jest niepodzielny. Tutaj musisz przeczytać literaturę na temat pochodnej i zrozumieć, że jest to stosunek nieskończenie małych wielkości, którymi można manipulować podczas rozwiązywania równań.
Wielu nie od razu zdaje sobie sprawę, że rozwiązanie równań różniczkowych pierwszego rzędu jest często funkcją lub całką, której nie można wziąć, a to złudzenie sprawia im wiele kłopotów.
Co jeszcze można zbadać, aby lepiej zrozumieć?
Najlepsze zanurzenie się w świat rachunku różniczkowego najlepiej rozpocząć od specjalistycznych podręczników, np. z rachunku różniczkowego dla studentów specjalności niematematycznych. Następnie możesz przejść do bardziej specjalistycznej literatury.
Należy powiedzieć, że oprócz równań różniczkowych istnieją również równania całkowe, więc zawsze będziesz miał do czego dążyć i coś do studiowania.
Wniosek
Mamy nadzieję, że po przeczytaniuTen artykuł dał ci wyobrażenie o tym, czym są równania różniczkowe i jak je poprawnie rozwiązać.
W każdym razie matematyka przyda się nam w życiu. Rozwija logikę i uwagę, bez której każdy człowiek jest jak bez rąk.
