Powierzchnie drugiego rzędu: przykłady

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Na pierwszym roku student najczęściej styka się z powierzchniami II rzędu. Na początku zadania na ten temat mogą wydawać się proste, ale kiedy studiujesz wyższą matematykę i zagłębiasz się w stronę naukową, możesz w końcu przestać orientować się w tym, co się dzieje. Aby temu zapobiec, konieczne jest nie tylko zapamiętanie, ale także zrozumienie, w jaki sposób uzyskuje się tę lub inną powierzchnię, jak zmiana współczynników wpływa na nią i jej położenie względem pierwotnego układu współrzędnych oraz jak znaleźć nowy układ (taka, w której jej środek pokrywa się ze współrzędnymi początkowymi, a oś symetrii jest równoległa do jednej z osi współrzędnych). Zacznijmy od początku.

Definicja

GMT nazywana jest powierzchnią drugiego rzędu, której współrzędne spełniają ogólne równanie o następującej postaci:

F(x, y, z)=0.

Oczywiste jest, że każdy punkt należący do powierzchni musi mieć trzy współrzędne w określonej podstawie. Chociaż w niektórych przypadkach umiejscowienie punktów może zdegenerować się, na przykład, w płaszczyznę. Oznacza to jedynie, że jedna ze współrzędnych jest stała i jest równa zeru w całym zakresie dopuszczalnych wartości.

Pełna namalowana forma równości, o której mowa powyżej, wygląda tak:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – niektóre stałe, x, y, z – zmienne odpowiadające współrzędnym afinicznym jakiegoś punktu. W takim przypadku co najmniej jeden ze stałych czynników nie może być równy zero, to znaczy żaden punkt nie będzie odpowiadał równaniu.}

W zdecydowanej większości przykładów wiele czynników numerycznych jest nadal identycznie równych zero, a równanie jest znacznie uproszczone. W praktyce ustalenie, czy dany punkt należy do powierzchni, nie jest trudne (wystarczy podstawić do równania jego współrzędne i sprawdzić, czy zaobserwowano identyczność). Kluczowym punktem w takiej pracy jest doprowadzenie tego ostatniego do formy kanonicznej.

Wpisane powyżej równanie definiuje dowolne (wszystkie wymienione poniżej) powierzchnie drugiego rzędu. Poniżej rozważymy przykłady.

Rodzaje powierzchni II rzędu

Równania powierzchni drugiego rzędu różnią się tylko wartościami współczynników A_{nm. Z ogólnego punktu widzenia, dla pewnych wartości stałych można uzyskać różne powierzchnie, sklasyfikowane w następujący sposób:}

Cylindry.
Typ eliptyczny.
Typ hiperboliczny.
Typ stożkowy.
Typ paraboliczny.
Samoloty.

Każdy z wymienionych typów ma formę naturalną i urojoną: w formie urojonej miejsce punktów rzeczywistych albo degeneruje się do prostszej figury, albo jest nieobecne.

Cylindry

Jest to najprostszy typ, ponieważ stosunkowo złożona krzywa leży tylko u podstawy, pełniąc rolę przewodnika. Generatory to linie proste prostopadłe do płaszczyzny, na której leży podstawa.

Wykres przedstawia okrągły walec, szczególny przypadek walca eliptycznego. W płaszczyźnie XY jego rzutem będzie elipsa (w naszym przypadku okrąg) - prowadnica, aw XZ - prostokąt - ponieważ generatory są równoległe do osi Z. Aby uzyskać to z ogólnego równania, potrzebujesz aby nadać współczynnikom następujące wartości:

Zamiast zwykłych symboli x,y,z,x z numerem seryjnym - to nie ma znaczenia.

W rzeczywistości 1/a2i inne wskazane tutaj stałe są tymi samymi współczynnikami wskazanymi w ogólnym równaniu, ale zwyczajowo zapisuje się je w tej formie - jest to reprezentacja kanoniczna. Ponadto będzie używany tylko taki zapis.

Tak definiuje się cylinder hiperboliczny. Schemat jest taki sam - hiperbola będzie przewodnikiem.

y2=2px

Walec paraboliczny jest zdefiniowany nieco inaczej: jego forma kanoniczna zawiera współczynnik p, zwany parametrem. W rzeczywistości współczynnik jest równy q=2p, ale zwyczajowo dzieli się go na dwa przedstawione czynniki.

Istnieje inny typ cylindra: wyobrażony. Taki cylinder nie ma żadnego sensu. Opisuje to równaniewalec eliptyczny, ale zamiast jednostki jest -1.

Typ eliptyczny

Elipsoidę można rozciągnąć wzdłuż jednej z osi (wzdłuż której zależy to od wartości stałych a, b, c wskazanych powyżej; oczywiste jest, że większy współczynnik będzie odpowiadał większej osi).

Istnieje również wyimaginowana elipsoida - pod warunkiem, że suma współrzędnych pomnożona przez współczynniki wynosi -1:

Hiperboloidy

Gdy w jednej ze stałych pojawia się minus, równanie elipsoidy zamienia się w równanie hiperboloidy jednowarstwowej. Należy rozumieć, że ten minus nie musi znajdować się przed współrzędną x₃! Określa tylko, która z osi będzie osią obrotu hiperboloidy (lub równoległą do niej, ponieważ gdy w kwadracie pojawią się dodatkowe wyrażenia (na przykład (x-2)^{2)) środek figury przesuwa się, w wyniku czego powierzchnia porusza się równolegle do osi współrzędnych). Dotyczy to wszystkich powierzchni drugiego rzędu.}

Poza tym musisz zrozumieć, że równania są przedstawione w formie kanonicznej i można je zmieniać, zmieniając stałe (z zachowaniem znaku!); podczas gdy ich forma (hiperboloida, stożek itd.) pozostanie taka sama.

To równanie jest już podane przez hiperboloidę z dwoma arkuszami.

Powierzchnia stożkowa

W równaniu stożka nie ma żadnej jednostki - równość do zera.

Tylko ograniczona powierzchnia stożkowa nazywana jest stożkiem. Poniższy rysunek pokazuje, że w rzeczywistości na wykresie będą dwa tak zwane stożki.

Ważna uwaga: we wszystkich rozważanych równaniach kanonicznych stałe są domyślnie przyjmowane jako dodatnie. W przeciwnym razie znak może wpłynąć na ostateczny wykres.

Płaszczyzny współrzędnych stają się płaszczyznami symetrii stożka, środek symetrii znajduje się w początku.

Istnieją tylko plusy w wyimaginowanym równaniu stożka; posiada jeden prawdziwy punkt.

Paraboloidy

Powierzchnie drugiego rzędu w przestrzeni mogą przybierać różne kształty, nawet przy podobnych równaniach. Na przykład istnieją dwa rodzaje paraboloidów.

x²/a²+y²/b^2=2z

Eliptyczna paraboloida, gdy oś Z jest prostopadła do rysunku, zostanie rzutowana na elipsę.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hiperboliczna paraboloida: sekcje z płaszczyznami równoległymi do ZY stworzą parabole, a sekcje z płaszczyznami równoległymi do XY stworzą hiperbolę.

Przecinające się płaszczyzny

Zdarzają się przypadki, gdy powierzchnie drugiego rzędu ulegają degeneracji w płaszczyznę. Płaszczyzny te można układać na różne sposoby.

Najpierw rozważ przecinające się płaszczyzny:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Ta modyfikacja równania kanonicznego daje w wyniku tylko dwie przecinające się płaszczyzny (wyimaginowane!); wszystkie punkty rzeczywiste znajdują się na osi współrzędnej, której brakuje w równaniu (w kanonicznej osi Z).

Samoloty równoległe

y²=a²

Gdy istnieje tylko jedna współrzędna, powierzchnie drugiego rzędu degenerują się w parę równoległych płaszczyzn. Pamiętaj, że każda inna zmienna może zająć miejsce Y; wtedy zostaną uzyskane płaszczyzny równoległe do innych osi.

y²=−a²

W tym przypadku stają się wyimaginowane.

Zbiegające się samoloty

y2=0

Przy tak prostym równaniu para płaszczyzn degeneruje się w jedną - pokrywają się.

Nie zapominaj, że w przypadku bazy trójwymiarowej powyższe równanie nie definiuje prostej y=0! Brakuje pozostałych dwóch zmiennych, ale to po prostu oznacza, że ich wartość jest stała i równa zero.

Budynek

Jednym z najtrudniejszych zadań dla ucznia jest budowa nawierzchni II rzędu. Jeszcze trudniej jest przejść z jednego układu współrzędnych do drugiego, biorąc pod uwagę kąty krzywej w stosunku do osi i przesunięcie środka. Powtórzmy, jak konsekwentnie określać przyszły widok rysunku za pomocą analitycznegosposób.

Aby zbudować powierzchnię drugiego rzędu, potrzebujesz:

przyprowadź równanie do postaci kanonicznej;
określić rodzaj badanej powierzchni;
konstrukcja oparta na wartościach współczynników.

Poniżej znajdują się wszystkie rozważane typy:

Aby skonsolidować, opiszmy szczegółowo jeden przykład tego typu zadania.

Przykłady

Załóżmy, że istnieje równanie:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Sprowadźmy to do formy kanonicznej. Wyróżnijmy pełne kwadraty, to znaczy ułóżmy dostępne wyrazy w taki sposób, aby były rozwinięciem kwadratu sumy lub różnicy. Na przykład: jeśli (a+1)²=a²+2a+1 to a²+2a +1=(a+1)^{2. Przeprowadzimy drugą operację. W takim przypadku nie jest konieczne otwieranie nawiasów, ponieważ skomplikuje to tylko obliczenia, ale konieczne jest usunięcie wspólnego współczynnika 6 (w nawiasach z pełnym kwadratem Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Zmienna z występuje w tym przypadku tylko raz - możesz ją na razie zostawić w spokoju.

Na tym etapie analizujemy równanie: wszystkie niewiadome są poprzedzone znakiem plus; po podzieleniu przez sześć pozostaje jeden. Dlatego mamy równanie, które definiuje elipsoidę.

Zauważ, że 144 zostało rozłożone na 150-6, po czym -6 zostało przesunięte w prawo. Dlaczego musiało to być zrobione w ten sposób? Oczywiście największym dzielnikiem w tym przykładzie jest -6, więc po podzieleniu przez niegojeden jest po prawej stronie, należy „odłożyć” dokładnie 6 od 144 (o tym, że należy być po prawej stronie, wskazuje obecność wolnego terminu - stała nie pomnożona przez nieznaną).

Podziel wszystko przez sześć i uzyskaj kanoniczne równanie elipsoidy:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

W poprzednio stosowanej klasyfikacji powierzchni drugiego rzędu, szczególny przypadek jest brany pod uwagę, gdy środek figury znajduje się w początku współrzędnych. W tym przykładzie jest to przesunięcie.

Zakładamy, że każdy nawias z niewiadomymi jest nową zmienną. Czyli: a=x-1, b=y+5, c=z. W nowych współrzędnych środek elipsoidy pokrywa się z punktem (0, 0, 0), stąd a=b=c=0, skąd: x=1, y=-5, z=0. We współrzędnych początkowych środek figury leży w punkcie (1, -5, 0).

Elipsoida zostanie uzyskana z dwóch elips: pierwszej w płaszczyźnie XY i drugiej w płaszczyźnie XZ (lub YZ - to nie ma znaczenia). Współczynniki, przez które dzielone są zmienne, są podnoszone do kwadratu w równaniu kanonicznym. Dlatego w powyższym przykładzie bardziej poprawne byłoby podzielenie przez pierwiastek z dwóch, jeden i pierwiastek z trzech.

Mniejsza oś pierwszej elipsy, równoległa do osi Y, to dwa. Oś wielka równoległa do osi x to dwa pierwiastki z dwóch. Oś mała drugiej elipsy, równoległa do osi Y, pozostaje taka sama - równa się dwóm. A główna oś, równoległa do osi Z, jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.

Za pomocą danych uzyskanych z oryginalnego równania poprzez konwersję do postaci kanonicznej możemy narysować elipsoidę.

Podsumowanie

Opisane w tym artykuletemat jest dość obszerny, ale w rzeczywistości, jak teraz widać, niezbyt skomplikowany. Jego rozwój w rzeczywistości kończy się w momencie, gdy zapamiętasz nazwy i równania powierzchni (i oczywiście, jak wyglądają). W powyższym przykładzie szczegółowo omówiliśmy każdy krok, ale doprowadzenie równania do postaci kanonicznej wymaga minimalnej znajomości matematyki wyższej i nie powinno przysporzyć uczniowi żadnych trudności.

Analiza przyszłego harmonogramu pod kątem istniejącej równości jest już trudniejszym zadaniem. Ale dla udanego rozwiązania wystarczy zrozumieć, jak zbudowane są odpowiednie krzywe drugiego rzędu - elipsy, parabole i inne.

Przypadki degeneracji - jeszcze prostsza sekcja. Ze względu na brak niektórych zmiennych uproszczono nie tylko obliczenia, jak wspomniano wcześniej, ale także samą konstrukcję.

Gdy tylko będziesz mógł śmiało nazwać wszystkie rodzaje powierzchni, zmieniaj stałe, zmieniając wykres w taki lub inny kształt - temat zostanie opanowany.

Sukces w nauce!