Jednym z najtrudniejszych i niezrozumiałych tematów matematyki uniwersyteckiej jest rachunek całkowy i różniczkowy. Musisz znać i rozumieć te pojęcia, a także umieć je zastosować. Wiele uniwersyteckich dyscyplin technicznych jest powiązanych z różniczkami i całkami.
Krótka informacja o równaniach
Te równania są jednym z najważniejszych pojęć matematycznych w systemie edukacyjnym. Równanie różniczkowe to równanie, które wiąże zmienne niezależne, funkcję, którą należy znaleźć, i pochodne tej funkcji ze zmiennymi, które, jak się zakłada, są niezależne. Rachunek różniczkowy do znajdowania funkcji jednej zmiennej nazywa się zwykłym. Jeśli pożądana funkcja zależy od kilku zmiennych, mówi się o równaniu różniczkowym cząstkowym.
W rzeczywistości znalezienie określonej odpowiedzi na równanie sprowadza się do całkowania, a metoda rozwiązania jest określona przez typ równania.
Równania pierwszego rzędu
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie, które może opisywać zmienną, pożądaną funkcję i jej pierwszą pochodną. Takie równania można podać w trzech postaciach: jawnej, niejawnej, różniczkowej.
Koncepcje potrzebne do rozwiązania
Warunek początkowy - ustawienie wartości żądanej funkcji dla danej wartości zmiennej, która jest niezależna.
Rozwiązanie równania różniczkowego - każda funkcja różniczkowalna, dokładnie podstawiona do pierwotnego równania, zamienia je w identycznie równe. Otrzymane rozwiązanie, które nie jest jawne, jest całką z równania.
Ogólne rozwiązanie równań różniczkowych to funkcja y=y(x;C), która może spełniać następujące osądy:
- Funkcja może mieć tylko jedną dowolną stałą С.
- Wynikowa funkcja musi być rozwiązaniem równania dla dowolnych wartości dowolnej stałej.
- Przy danym warunku początkowym można zdefiniować dowolną stałą w unikalny sposób, tak aby wynikowe konkretne rozwiązanie było zgodne z podanym wczesnym warunkiem początkowym.
W praktyce często używany jest problem Cauchy'ego - znalezienie rozwiązania, które jest konkretne i można je porównać z warunkiem ustawionym na początku.
Twierdzenie Cauchy'ego to twierdzenie, które podkreśla istnienie i jednoznaczność konkretnego rozwiązania w rachunku różniczkowym.
Zmysł geometryczny:
- Rozwiązanie ogólne y=y(x;C)równanie to całkowita liczba krzywych całkowych.
- Rachunek różniczkowy umożliwia połączenie współrzędnych punktu na płaszczyźnie XOY i stycznej narysowanej do krzywej całkowej.
- Ustawienie warunków początkowych oznacza ustawienie punktu na płaszczyźnie.
- Rozwiązanie problemu Cauchy'ego oznacza, że z całego zbioru krzywych całkowych reprezentujących to samo rozwiązanie równania należy wybrać jedyną przechodzącą przez jedyny możliwy punkt.
- Spełnienie warunków twierdzenia Cauchy'ego w punkcie oznacza, że krzywa całkowa (w dodatku tylko jedna) koniecznie przechodzi przez wybrany punkt na płaszczyźnie.
Równanie zmiennej separowalnej
Z definicji równanie różniczkowe to równanie, którego prawa strona opisuje lub jest odzwierciedlona jako iloczyn (czasem stosunek) dwóch funkcji, jednej zależnej tylko od „x”, a drugiej - tylko od „y”. Jasny przykład tego rodzaju: y'=f1(x)f2(y).
Aby rozwiązać równania o określonej postaci, musisz najpierw przekształcić pochodną y'=dy/dx. Następnie, manipulując równaniem, musisz doprowadzić je do postaci, w której możesz zintegrować dwie części równania. Po niezbędnych przekształceniach integrujemy obie części i upraszczamy wynik.
Równania jednorodne
Z definicji równanie różniczkowe można nazwać jednorodnym, jeśli ma następującą postać: y'=g(y/x).
W tym przypadku najczęściej używana jest zamiana y/x=t(x).
Aby rozwiązać takie równania, konieczne jest zredukowanie równania jednorodnego do postaci z rozdzielnymi zmiennymi. Aby to zrobić, musisz wykonać następujące operacje:
- Wyświetlaj pochodną oryginalnej funkcji z dowolnej oryginalnej funkcji jako nowe równanie.
- Następnym krokiem jest przekształcenie wynikowej funkcji do postaci f(x;y)=g(y/x). Mówiąc prościej, niech równanie zawiera tylko stosunek y/x i stałe.
- Dokonaj następującej zamiany: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Dokonane podstawienie pomoże podzielić zmienne w równaniu, stopniowo doprowadzając je do prostszej postaci.
Równania liniowe
Definicja takich równań jest następująca: liniowe równanie różniczkowe to równanie, w którym jego prawa strona jest wyrażona jako wyrażenie liniowe w odniesieniu do pierwotnej funkcji. Żądana funkcja w tym przypadku: y'=a(x)y + b(x).
Przeformułujmy definicję w następujący sposób: każde równanie pierwszego rzędu stanie się liniowe w swojej postaci, jeśli pierwotna funkcja i jej pochodna są zawarte w równaniu pierwszego stopnia i nie są przez siebie mnożone. „Klasyczna postać” równania różniczkowego liniowego ma następującą strukturę: y' + P(x)y=Q(x).
Przed rozwiązaniem takiego równania należy je przekonwertować do "postaci klasycznej". Kolejnym krokiem będzie wybór metody rozwiązania: metoda Bernoulliego lub metoda Lagrange'a.
Rozwiązywanie równania za pomocązastosowanie metody wprowadzonej przez Bernoulliego oznacza podstawienie i redukcję liniowego równania różniczkowego do dwóch równań z osobnymi zmiennymi w odniesieniu do funkcji U(x) i V(x), które zostały podane w ich pierwotnej postaci.
Metoda Lagrange'a polega na znalezieniu ogólnego rozwiązania pierwotnego równania.
- Konieczne jest znalezienie tego samego rozwiązania równania jednorodnego. Po przeszukaniu mamy funkcję y=y(x, C), gdzie C jest dowolną stałą.
- Szukamy rozwiązania pierwotnego równania w tej samej postaci, ale rozważamy C=C(x). Podstawiamy funkcję y=y(x, C(x)) do pierwotnego równania, znajdujemy funkcję C(x) i zapisujemy rozwiązanie ogólnego pierwotnego równania.
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego - jeśli prawa strona rachunku ma postać f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, gdzie k jest dowolną możliwą wymierną wartością liczbową, nie przyjmując jako przykładowe przypadki, gdy k=0 i k=1.
Jeżeli k=1, rachunek staje się rozdzielny, a gdy k=0, równanie pozostaje liniowe.
Rozważmy ogólny przypadek rozwiązania tego typu równania. Mamy standardowe równanie Bernoulliego. Musi zostać zredukowane do liniowego, w tym celu należy podzielić równanie przez yk. Po tej operacji zamień z(x)=y1-k. Po serii przekształceń równanie zostanie zredukowane do liniowego, najczęściej metodą podstawienia z=UV.
Równania różnic całkowitych
Definicja. Równanie o strukturze P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 nazywamy równaniem w całościróżnic, jeśli spełniony jest następujący warunek (w tym warunku „d” jest różniczką częściową): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Wszystkie równania różniczkowe pierwszego rzędu omówione wcześniej mogą być wyświetlane jako różniczki.
Takie obliczenia można rozwiązać na kilka sposobów. Jednak wszystkie zaczynają się od sprawdzenia stanu. Jeżeli warunek jest spełniony, to skrajnie lewy obszar równania jest różniczką całkowitą nieznanej jeszcze funkcji U(x;y). Następnie, zgodnie z równaniem, dU (x; y) będzie równe zeru, a zatem ta sama całka równania w różniczkach całkowitych zostanie wyświetlona w postaci U (x; y) u003d C. Dlatego rozwiązanie równania sprowadza się do znalezienia funkcji U (x; y).
Czynnik integrujący
Jeżeli warunek dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx nie jest spełniony w równaniu, to równanie nie ma postaci, którą rozważaliśmy powyżej. Czasem jednak można wybrać jakąś funkcję M(x;y), po pomnożeniu przez którą równanie przybiera postać równania w pełnych „dyfuzjach”. Funkcja M (x;y) jest nazywana czynnikiem całkującym.
Integrator można znaleźć tylko wtedy, gdy staje się funkcją tylko jednej zmiennej.
