Matematyka wywodzi się ze starożytności. Dzięki niej architektura, budownictwo i wojskowość dały nowy krąg rozwoju, osiągnięcia uzyskane przy pomocy matematyki doprowadziły do ruchu postępu. Do dziś matematyka pozostaje główną nauką, którą można znaleźć we wszystkich innych gałęziach.
Aby uzyskać wykształcenie, dzieci z pierwszej klasy zaczynają stopniowo wtapiać się w to środowisko. Bardzo ważne jest zrozumienie matematyki, ponieważ w takim czy innym stopniu przytrafia się ona każdemu człowiekowi przez całe życie. W tym artykule przeanalizujemy jeden z kluczowych elementów - znajdowanie i stosowanie instrumentów pochodnych. Nie każda osoba może sobie wyobrazić, jak szeroko stosowana jest ta koncepcja. Rozważ więcej niż 10 zastosowań pochodnych w określonych dziedzinach lub naukach.
Zastosowanie pochodnej do badania funkcji
Pochodna jest taką granicąstosunek przyrostu funkcji do przyrostu jej argumentu, gdy wykładnik argumentu dąży do zera. Pochodna jest nieodzowną rzeczą w badaniu funkcji. Na przykład można go wykorzystać do określenia wzrostu i spadku tego ostatniego, ekstremów, wypukłości i wklęsłości. Rachunek różniczkowy jest objęty obowiązkowym programem nauczania dla studentów I i II roku uczelni matematycznych.
Zera zakresu i funkcji
Pierwszy etap każdego badania wykresu rozpoczyna się od ustalenia dziedziny definicji, w rzadszych przypadkach - wartości. Dziedzina definicji jest ustawiona wzdłuż osi odciętych, czyli są to wartości liczbowe na osi OX. Często zakres jest już ustawiony, ale jeśli tak nie jest, należy ocenić wartość argumentu x. Załóżmy, że jeśli dla niektórych wartości argumentu funkcja nie ma sensu, to ten argument jest wykluczony z zakresu.
Zera funkcji znajdują się w prosty sposób: funkcję f(x) należy przyrównać do zera, a wynikowe równanie należy rozwiązać względem jednej zmiennej x. Otrzymane pierwiastki równania są zerami funkcji, czyli w tych x funkcja wynosi 0.
Zwiększanie i zmniejszanie
Wykorzystanie pochodnej do badania funkcji dla monotoniczności można rozpatrywać z dwóch pozycji. Funkcja monotoniczna to kategoria, która posiada tylko dodatnie wartości pochodnej lub tylko ujemne wartości. W prostych słowach funkcja tylko rośnie lub maleje w całym badanym przedziale:
- Zwiększ parametr. Funkcjonowaćf(x) wzrośnie, jeśli pochodna f`(x) jest większa od zera.
- Parametr malejący. Funkcja f(x) zmniejszy się, jeśli pochodna f`(x) będzie mniejsza od zera.
Styczna i nachylenie
Zastosowanie pochodnej do badania funkcji jest również określone przez styczną (prostą skierowaną pod kątem) do wykresu funkcji w danym punkcie. Styczna do punktu (x0) - prosta przechodząca przez punkt i należąca do funkcji o współrzędnych (x0, f(x 0 )) i nachylenie f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - równanie stycznej do danego punktu wykresu funkcji.
Geometryczne znaczenie pochodnej: pochodna funkcji f(x) jest równa nachyleniu utworzonej stycznej do wykresu tej funkcji w danym punkcie x. Z kolei współczynnik kątowy jest równy tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi OX (odcięta) w kierunku dodatnim. Ten wniosek ma fundamentalne znaczenie dla zastosowania pochodnej do wykresu funkcji.
Ekstremalne punkty
Zastosowanie pochodnej do badania polega na znalezieniu wysokich i niskich punktów.
Aby znaleźć i określić minimalną i maksymalną liczbę punktów, musisz:
- Znajdź pochodną funkcji f(x).
- Ustaw wynikowe równanie na zero.
- Znajdź pierwiastki równania.
- Znajdź najwyższe i najniższe punkty.
Aby znaleźć skrajnościcechy:
- Znajdź minimalną i maksymalną liczbę punktów, korzystając z powyższej metody.
- Wstaw te punkty do oryginalnego równania i oblicz ymax i ymin
Maksymalny punkt funkcji to największa wartość funkcji f(x) w przedziale, innymi słowy xmax.
Minimalny punkt funkcji to najmniejsza wartość funkcji f(x) w przedziale, innymi słowy xnazwa
Ekstrema są takie same jak maksymalne i minimalne punkty oraz ekstremum funkcji (ymaks. i yminimum) - wartości funkcji odpowiadające ekstremom.
Wypukłość i wklęsłość
Można określić wypukłość i wklęsłość, korzystając z pochodnej do wykreślania:
- Funkcja f(x) badana na przedziale (a, b) jest wklęsła, jeśli funkcja znajduje się poniżej wszystkich stycznych w tym przedziale.
- Funkcja f(x) badana na przedziale (a, b) jest wypukła, jeśli funkcja znajduje się ponad wszystkimi jej stycznymi wewnątrz tego przedziału.
Punkt oddzielający wypukłość od wklęsłości nazywany jest punktem przegięcia funkcji.
Aby znaleźć punkty przegięcia:
- Znajdź punkty krytyczne drugiego rodzaju (druga pochodna).
- Punkty przegięcia to te punkty krytyczne, które oddzielają dwa przeciwstawne znaki.
- Oblicz wartości funkcji w punktach przegięcia funkcji.
Częściowe instrumenty pochodne
AplikacjaIstnieją pochodne tego typu w problemach, w których używana jest więcej niż jedna nieznana zmienna. Najczęściej takie pochodne spotyka się przy kreśleniu wykresu funkcji, a dokładniej, powierzchni w przestrzeni, gdzie zamiast dwóch osi są trzy, a więc trzy wielkości (dwie zmienne i jedna stała).
Podstawową zasadą przy obliczaniu pochodnych cząstkowych jest wybranie jednej zmiennej i potraktowanie reszty jako stałych. Dlatego przy obliczaniu pochodnej cząstkowej stała staje się wartością liczbową (w wielu tabelach pochodnych oznacza się je jako C=const). Znaczenie takiej pochodnej to szybkość zmian funkcji z=f(x, y) wzdłuż osi OX i OY, czyli charakteryzuje ona stromość zagłębień i wybrzuszeń budowanej powierzchni.
Pochodna w fizyce
Zastosowanie pochodnej w fizyce jest szeroko rozpowszechnione i ważne. Znaczenie fizyczne: pochodną ścieżki względem czasu jest prędkość, a przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu. Z fizycznego znaczenia, wiele gałęzi można wyciągnąć do różnych gałęzi fizyki, całkowicie zachowując znaczenie pochodnej.
Za pomocą pochodnej można znaleźć następujące wartości:
- Prędkość w kinematyce, gdzie obliczana jest pochodna przebytej odległości. Jeżeli zostanie znaleziona druga pochodna toru lub pierwsza pochodna prędkości, to zostanie znalezione przyspieszenie ciała. Ponadto możliwe jest wyznaczenie prędkości chwilowej punktu materialnego, ale do tego niezbędna jest znajomość przyrostu ∆t i ∆r.
- W elektrodynamice:obliczenie chwilowej siły prądu przemiennego, a także pola elektromagnetycznego indukcji elektromagnetycznej. Obliczając pochodną, możesz znaleźć maksymalną moc. Pochodną ilości ładunku elektrycznego jest natężenie prądu w przewodniku.
Pochodna w chemii i biologii
Chemia: pochodna służy do określenia szybkości reakcji chemicznej. Chemiczne znaczenie pochodnej: funkcja p=p(t), w tym przypadku p to ilość substancji, która wchodzi w reakcję chemiczną w czasie t. ∆t - przyrost czasu, ∆p - przyrost ilości substancji. Granica stosunku ∆p do ∆t, przy której ∆t dąży do zera, nazywana jest szybkością reakcji chemicznej. Średnia wartość reakcji chemicznej to stosunek ∆p/∆t. Przy określaniu prędkości należy dokładnie znać wszystkie niezbędne parametry, warunki, znać stan skupienia substancji i medium przepływającego. Jest to dość duży aspekt w chemii, który jest szeroko stosowany w różnych gałęziach przemysłu i działalności człowieka.
Biologia: pojęcie pochodnej służy do obliczania średniego współczynnika reprodukcji. Znaczenie biologiczne: mamy funkcję y=x(t). ∆t - przyrost czasu. Następnie, za pomocą pewnych przekształceń, otrzymujemy funkcję y`=P(t)=x`(t) - aktywność życiowa populacji w czasie t (średni współczynnik reprodukcji). Takie użycie pochodnej pozwala na prowadzenie statystyk, śledzenie tempa reprodukcji i tak dalej.
Pochodna w geografii i ekonomii
Pochodna pozwala geografom decydowaćzadania takie jak znajdowanie populacji, obliczanie wartości w sejsmografii, obliczanie radioaktywności jądrowych wskaźników geofizycznych, obliczanie interpolacji.
W ekonomii ważną częścią obliczeń jest rachunek różniczkowy i obliczanie pochodnej. Przede wszystkim pozwala nam to określić granice niezbędnych wartości ekonomicznych. Na przykład najwyższa i najniższa wydajność pracy, koszty, zyski. Zasadniczo wartości te są obliczane z wykresów funkcji, na których znajdują ekstrema, określają monotoniczność funkcji w żądanym obszarze.
Wniosek
Rola tego rachunku różniczkowego jest zaangażowana, jak wspomniano w artykule, w różnych strukturach naukowych. Wykorzystanie funkcji pochodnych jest ważnym elementem praktycznej części nauki i produkcji. Nie bez powodu w szkole średniej i na uniwersytecie uczono nas budować złożone wykresy, badać i pracować nad funkcjami. Jak widać, bez pochodnych i obliczeń różniczkowych niemożliwe byłoby obliczenie istotnych wskaźników i wielkości. Ludzkość nauczyła się modelować różne procesy i badać je, aby rozwiązywać złożone problemy matematyczne. Rzeczywiście, matematyka jest królową wszystkich nauk, ponieważ ta nauka leży u podstaw wszystkich innych dyscyplin przyrodniczych i technicznych.
