Temat „postęp arytmetyczny” jest przedmiotem ogólnego kursu algebry w szkołach w 9 klasie. Temat ten jest ważny dla dalszych pogłębionych badań matematyki szeregów liczbowych. W tym artykule zapoznamy się z postępem arytmetycznym, jego różnicami, a także typowymi zadaniami, jakie mogą napotkać dzieci w wieku szkolnym.
Pojęcie progresji algebraicznej
Progresja liczbowa to ciąg liczb, w którym każdy kolejny element można uzyskać z poprzedniego, jeśli zastosuje się jakieś prawo matematyczne. Istnieją dwa proste typy progresji: geometryczne i arytmetyczne, zwane również algebraicznymi. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.
Wyobraźmy sobie liczbę wymierną, oznaczmy ją symbolem a1, gdzie indeks wskazuje jej liczbę porządkową w rozważanym szeregu. Dodajmy inną liczbę do a1 , oznaczmy ją jako d. Potem drugielement serii może być odzwierciedlony w następujący sposób: a2=a1+d. Teraz dodaj d ponownie, otrzymujemy: a3=a2+d. Kontynuując tę matematyczną operację, możesz otrzymać całą serię liczb, która będzie nazywana postępem arytmetycznym.
Jak można zrozumieć z powyższego, aby znaleźć n-ty element tej sekwencji, musisz użyć wzoru: a =a1+ (n-1)d. Rzeczywiście, zastępując n=1 w wyrażeniu, otrzymujemy a1=a1, jeśli n=2, to formuła implikuje: a2=a1 + 1d i tak dalej.
Na przykład, jeśli różnica ciągu arytmetycznego wynosi 5, a a1=1, oznacza to, że szereg liczb danego typu wygląda następująco: 1, 6, 11, 16, 21, … Jak widać, każdy z jego wyrazów jest większy od poprzedniego o 5.
Wzory na różnicę postępu arytmetycznego
Z powyższej definicji rozważanego ciągu liczb wynika, że aby go określić, musisz znać dwie liczby: a1 id. To ostatnie nazywa się różnicą tego progresji. W unikalny sposób determinuje zachowanie całej serii. Rzeczywiście, jeśli d jest dodatnie, to szereg liczb będzie stale rósł, przeciwnie, w przypadku ujemnego d liczby w szeregu będą rosły tylko modulo, podczas gdy ich wartość bezwzględna będzie malała wraz ze wzrostem liczby n.
Jaka jest różnica w postępie arytmetycznym? Rozważ dwie główne formuły używane do obliczenia tej wartości:
- d=an+1-a , ten wzór wynika bezpośrednio z definicji serii liczb, o której mowa.
- d=(-a1+a)/(n-1), to wyrażenie jest otrzymywane przez wyrażenie d z podanego wzoru w poprzednim akapicie artykułu. Zauważ, że to wyrażenie staje się nieokreślone (0/0), jeśli n=1. Wynika to z faktu, że aby określić jego różnicę, konieczna jest znajomość co najmniej 2 elementów szeregu.
Te dwie podstawowe formuły służą do rozwiązywania każdego problemu polegającego na znalezieniu różnicy progresji. Jest jednak inna formuła, o której również musisz wiedzieć.
Suma pierwszych elementów
Formuła, której można użyć do określenia sumy dowolnej liczby elementów postępu algebraicznego, zgodnie z dowodami historycznymi, została po raz pierwszy uzyskana przez „księcia” matematyki XVIII wieku, Carla Gaussa. Niemiecki naukowiec, będąc jeszcze chłopcem w podstawówce wiejskiej szkoły, zauważył, że aby w ciągu od 1 do 100 dodać liczby naturalne, należy najpierw zsumować pierwszy i ostatni element (wynikowa wartość będzie równa do sumy przedostatniego i drugiego, przedostatniego i trzeciego elementu itd.), a następnie tę liczbę należy pomnożyć przez liczbę tych kwot, czyli przez 50.
Formuła, która odzwierciedla podany wynik na konkretnym przykładzie, może być uogólniona na przypadek arbitralny. Będzie to wyglądać tak: S =n/2(a +a1). Należy pamiętać, że w celu znalezienia określonej wartości znajomość różnicy d nie jest wymagana,jeśli znane są dwa warunki progresji (a i a1).
Przykład 1. Określ różnicę, znając dwa wyrazy szeregu a1 i an
Pokażmy, jak zastosować formuły wymienione powyżej w artykule. Podajmy prosty przykład: różnica w postępie arytmetycznym jest nieznana, konieczne jest określenie, jaka będzie równa, jeśli a13=-5, 6 i a1 =-12, 1.
Ponieważ znamy wartości dwóch elementów ciągu liczbowego, a jeden z nich jest pierwszą liczbą, możemy użyć wzoru nr 2 do wyznaczenia różnicy d. Mamy: d=(-1(-12, 1)+(-5,6))/12=0,54167. W wyrażeniu użyliśmy wartości n=13, ponieważ pręt o tym numerze seryjnym jest znany.
Wynikowa różnica wskazuje, że progresja rośnie, mimo że elementy podane w stanie problemu mają wartość ujemną. Widać, że a13>a1, chociaż |a13|<|a 1 |.
Przykład 2. Pozytywni członkowie progresji w przykładzie 1
Wykorzystajmy wynik uzyskany w poprzednim przykładzie do rozwiązania nowego problemu. Jest on sformułowany w następujący sposób: od jakiego numeru sekwencyjnego elementy progresji w przykładzie 1 zaczynają przybierać wartości dodatnie?
Jak pokazano, progresja, w której a1=-12, 1 i d=0,54167 rośnie, więc od pewnej liczby liczby zaczną przyjmować tylko wartości dodatnie wartości. Aby wyznaczyć tę liczbę n, należy rozwiązać prostą nierówność, którą jestmatematycznie zapisane w następujący sposób: a >0 lub stosując odpowiedni wzór przepisujemy nierówność: a1 + (n-1)d>0. Konieczne jest znalezienie nieznanego n, wyrażmy to: n>-1a1/d + 1. Teraz pozostaje zastąpić znane wartości różnicy i pierwszego członka sekwencji. Otrzymujemy: n>-1(-12, 1) /0,54167 + 1=23, 338 lub n>23, 338. Ponieważ n może przyjmować tylko wartości całkowite, wynika z nierówności, że dowolne elementy szeregu, które będą mieć liczbę większą niż 23 będzie dodatnia.
Sprawdź swoją odpowiedź, używając powyższego wzoru, aby obliczyć 23 i 24 element tego ciągu arytmetycznego. Mamy: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (liczba ujemna); a24=-12, 1 + 230,54167=0,3584 (wartość dodatnia). Zatem otrzymany wynik jest poprawny: począwszy od n=24, wszystkie elementy szeregu liczb będą większe od zera.
Przykład 3. Ile logów zmieści się?
Podajmy jeden ciekawy problem: podczas wyrębu zdecydowano się ułożyć jeden na drugim przetarte kłody, jak pokazano na poniższym rysunku. Ile kłód można ułożyć w ten sposób, wiedząc, że w sumie zmieści się 10 rzędów?
W ten sposób układania dzienników można zauważyć jedną ciekawą rzecz: każdy kolejny wiersz będzie zawierał o jeden dziennik mniej niż poprzedni, czyli istnieje postęp algebraiczny, którego różnica wynosi d=1. Zakładając, że liczba logów w każdym wierszu należy do tej progresji,a także biorąc pod uwagę, że a1=1 (tylko jeden dziennik zmieści się na samej górze), znajdujemy liczbę a10. Mamy: a10=1 + 1(10-1)=10. Oznacza to, że w dziesiątym rzędzie, który leży na ziemi, będzie 10 kłód.
Całkowitą ilość tej „piramidalnej” konstrukcji można uzyskać za pomocą wzoru Gaussa. Otrzymujemy: S10=10/2(10+1)=55 logów.
