Co to jest arytmetyka? Kiedy ludzkość zaczęła używać liczb i pracować z nimi? Gdzie idą korzenie takich codziennych pojęć jak liczby, ułamki, odejmowanie, dodawanie i mnożenie, które dana osoba uczyniła nieodłączną częścią swojego życia i światopoglądu? Starożytne greckie umysły podziwiały nauki takie jak matematyka, arytmetyka i geometria jako najpiękniejsze symfonie ludzkiej logiki.
Może arytmetyka nie jest tak głęboka jak inne nauki, ale co by się z nimi stało, gdyby ktoś zapomniał o elementarnej tabliczce mnożenia? Przyzwyczajone do nas logiczne myślenie za pomocą liczb, ułamków i innych narzędzi nie było dla ludzi łatwe i przez długi czas było niedostępne dla naszych przodków. W rzeczywistości przed rozwojem arytmetyki żadna dziedzina ludzkiej wiedzy nie była prawdziwie naukowa.
Arytmetyka to ABC matematyki
Arytmetyka to nauka o liczbach, dzięki której każda osoba zaczyna poznawać fascynujący świat matematyki. Jak powiedział M. V. Łomonosow, arytmetyka jest bramą nauki, otwierającą nam drogę do wiedzy o świecie. Ale on ma racjęCzy wiedzę o świecie można oddzielić od znajomości liczb i liter, matematyki i mowy? Być może w dawnych czasach, ale nie we współczesnym świecie, gdzie szybki rozwój nauki i technologii dyktuje własne prawa.
Słowo „arytmetyka” (gr. „arytmos”) pochodzenia greckiego oznacza „liczbę”. Studiuje liczby i wszystko, co można z nimi połączyć. To jest świat liczb: różne operacje na liczbach, reguły liczbowe, rozwiązywanie problemów związanych z mnożeniem, odejmowaniem itp.
Ogólnie przyjmuje się, że arytmetyka jest pierwszym krokiem w matematyce i solidną podstawą dla jej bardziej złożonych sekcji, takich jak algebra, analiza matematyczna, matematyka wyższa itp.
Główny obiekt arytmetyki
Podstawą arytmetyki jest liczba całkowita, której właściwości i wzory są rozważane w wyższej arytmetyce lub teorii liczb. W rzeczywistości siła całego budynku - matematyka - zależy od tego, jak słuszne jest podejście do uznania tak małego klocka za liczbę naturalną.
Dlatego na pytanie, czym jest arytmetyka, można odpowiedzieć po prostu: jest to nauka o liczbach. Tak, o zwykłej siódmej, dziewiątej i całej tej różnorodnej społeczności. I tak jak nie da się napisać dobrej czy nawet najprzeciętniejszej poezji bez elementarnego alfabetu, tak nie da się rozwiązać nawet elementarnego problemu bez arytmetyki. Dlatego wszystkie nauki rozwinęły się dopiero po rozwoju arytmetyki i matematyki, a wcześniej były tylko zbiorem założeń.
Arytmetyka to fantomowa nauka
Czym jest arytmetyka - nauka przyrodnicza czy fantom? W rzeczywistości, jak argumentowali starożytni greccy filozofowie, w rzeczywistości nie istnieją ani liczby, ani liczby. To tylko fantom, który powstaje w ludzkim myśleniu, gdy rozważamy środowisko z jego procesami. Rzeczywiście, czym jest liczba? Nigdzie nie widzimy czegoś takiego, co można by nazwać liczbą, a raczej liczba jest sposobem ludzkiego umysłu na badanie świata. A może jest to badanie siebie od środka? Filozofowie spierają się o to przez wiele stuleci z rzędu, więc nie podejmujemy się wyczerpującej odpowiedzi. Tak czy inaczej arytmetyka zdołała zająć swoje miejsce tak mocno, że we współczesnym świecie nikogo nie można uznać za przystosowanego społecznie bez znajomości jej podstaw.
Jak pojawiła się liczba naturalna
Oczywiście głównym obiektem, na którym operuje arytmetyka, jest liczba naturalna, taka jak 1, 2, 3, 4, …, 152… itd. Arytmetyka liczb naturalnych jest wynikiem liczenia zwykłych obiektów, takich jak krowy na łące. Jednak definicja „dużo” lub „mało” przestała kiedyś odpowiadać ludziom i musieli wymyślić bardziej zaawansowane techniki liczenia.
Ale prawdziwy przełom nastąpił, gdy myśl ludzka osiągnęła punkt, w którym można oznaczyć 2 kilogramy, 2 cegły i 2 części tą samą liczbą "dwa". Faktem jest, że musisz abstrahować od form, właściwości i znaczenia obiektów, a następnie możesz wykonać pewne czynności z tymi obiektami w postaci liczb naturalnych. Tak narodziła się arytmetyka liczb, któradalej rozwijany i rozbudowywany, zajmując coraz większe pozycje w życiu społeczeństwa.
Tak dogłębne koncepcje liczby, jak liczba zerowa i ujemna, ułamki, oznaczenia liczb przez liczby i w inny sposób, mają bogatą i interesującą historię rozwoju.
Arytmetyka i praktyczni Egipcjanie
Dwóch najstarszych ludzkich towarzyszy w odkrywaniu otaczającego nas świata i rozwiązywaniu codziennych problemów to arytmetyka i geometria.
Uważa się, że historia arytmetyki wywodzi się ze starożytnego Wschodu: w Indiach, Egipcie, Babilonie i Chinach. Tak więc papirus Rinda pochodzenia egipskiego (nazwany tak, ponieważ należał do właściciela o tej samej nazwie), datowany na XX wiek. BC, oprócz innych cennych danych, zawiera rozwinięcie jednego ułamka na sumę ułamków o różnych mianownikach i liczniku równym jeden.
Na przykład: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Ale jaki jest sens tak złożonego rozkładu? Faktem jest, że egipskie podejście nie tolerowało abstrakcyjnych myśli o liczbach, wręcz przeciwnie, obliczenia były dokonywane tylko w celach praktycznych. Oznacza to, że Egipcjanin zaangażuje się w coś takiego, jak obliczenia, wyłącznie po to, aby na przykład zbudować grobowiec. Konieczne było obliczenie długości krawędzi konstrukcji, a to zmusiło osobę do usiąść za papirusem. Jak widać, egipski postęp w obliczeniach był spowodowany raczej masową budową niż miłością do nauki.
Z tego powodu obliczeń znalezionych na papirusach nie można nazwać refleksjami na temat ułamków. Najprawdopodobniej jest to praktyczny preparat, który pomógł w przyszłości.rozwiązywać problemy z ułamkami. Starożytni Egipcjanie, którzy nie znali tabliczki mnożenia, dokonywali dość długich obliczeń, rozłożonych na wiele podzadań. Być może jest to jedno z tych podzadań. Łatwo zauważyć, że obliczenia z takimi przedmiotami są bardzo pracochłonne i mało obiecujące. Może z tego powodu nie widzimy wielkiego wkładu starożytnego Egiptu w rozwój matematyki.
Starożytna Grecja i arytmetyka filozoficzna
Wiele wiedzy o starożytnym Wschodzie zostało z powodzeniem opanowane przez starożytnych Greków, słynnych miłośników abstrakcyjnych, abstrakcyjnych i filozoficznych refleksji. Nie mniej interesowała ich praktyka, ale trudno znaleźć najlepszych teoretyków i myślicieli. Przyniosło to korzyść nauce, ponieważ niemożliwe jest zagłębienie się w arytmetykę bez oderwania jej od rzeczywistości. Jasne, możesz pomnożyć 10 krów i 100 litrów mleka, ale daleko nie zajdziesz.
Głęboko myślący Grecy pozostawili znaczący ślad w historii, a ich pisma dotarły do nas:
- Euclid i żywioły.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratostenes.
- Zeno.
- Anaksagoras.
I oczywiście Grecy, którzy wszystko zamienili w filozofię, a zwłaszcza następcy dzieła Pitagorasa, byli tak zafascynowani liczbami, że uważali je za tajemnicę harmonii świata. Liczby zostały zbadane i zbadane do tego stopnia, że niektórym z nich i ich parom przypisano specjalne właściwości. Na przykład:
- Liczby doskonałe to te, które są równe sumie wszystkich ich dzielników, z wyjątkiem samej liczby (6=1+2+3).
- Przyjazne liczby to te liczby, z których jedenrówna się sumie wszystkich dzielników drugiego i odwrotnie (Pitagorejczycy znali tylko jedną taką parę: 220 i 284).
Grecy, którzy wierzyli, że naukę należy kochać, a nie być z nią dla zysku, osiągnęli wielki sukces, badając, grając i dodając liczby. Należy zauważyć, że nie wszystkie ich badania były szeroko wykorzystywane, niektóre z nich pozostały jedynie „dla urody”.
Wschodni myśliciele średniowiecza
W ten sam sposób w średniowieczu arytmetyka zawdzięcza swój rozwój współczesnym wschodnim. Indianie przekazali nam liczby, których aktywnie używamy, takie pojęcie jak „zero” i pozycyjną wersję rachunku różniczkowego, znaną współczesnej percepcji. Od Al-Kashi, który pracował w Samarkandzie w XV wieku, odziedziczyliśmy ułamki dziesiętne, bez których trudno wyobrazić sobie współczesną arytmetykę.
Pod wieloma względami poznanie w Europie zdobyczy Wschodu stało się możliwe dzięki pracy włoskiego naukowca Leonardo Fibonacciego, który napisał dzieło „Księga liczydła”, wprowadzające wschodnie innowacje. Stała się podstawą rozwoju algebry i arytmetyki, działalności badawczej i naukowej w Europie.
Arytmetyka rosyjska
I wreszcie arytmetyka, która znalazła swoje miejsce i zakorzeniła się w Europie, zaczęła rozprzestrzeniać się na ziemie rosyjskie. Pierwsza rosyjska arytmetyka została opublikowana w 1703 roku - była to książka o arytmetyce Leonty Magnitsky'ego. Przez długi czas był jedynym podręcznikiem do matematyki. Zawiera początkowe momenty algebry i geometrii. Liczby użyte w przykładach w pierwszym podręczniku do arytmetyki w Rosji są arabskie. Chociaż cyfry arabskie były widywane już wcześniej, na rycinach datowanych na XVII wiek.
Sama książka jest ozdobiona wizerunkami Archimedesa i Pitagorasa, a na pierwszym arkuszu - wizerunek arytmetyki w postaci kobiety. Zasiada na tronie, pod nią jest napisane po hebrajsku słowo oznaczające imię Boga, a na stopniach prowadzących do tronu wypisane są słowa „podział”, „pomnożenie”, „dodanie” itp. prawdy które są obecnie uważane za powszechne.
600-stronicowy podręcznik obejmuje zarówno podstawy, jak tabliczki dodawania i mnożenia, a także zastosowania w naukach nawigacyjnych.
Nic dziwnego, że autor wybrał do swojej książki wizerunki myślicieli greckich, bo sam był urzeczony pięknem arytmetyki, mówiąc: „Arytmetyka jest licznikiem, jest sztuka uczciwa, nie do pozazdroszczenia…”. Takie podejście do arytmetyki jest całkiem uzasadnione, ponieważ to jej powszechne wprowadzenie można uznać za początek szybkiego rozwoju myśli naukowej w Rosji i edukacji ogólnej.
Niepierwsze liczby pierwsze
Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma tylko 2 dodatnie dzielniki: 1 i samą siebie. Wszystkie inne liczby, z wyjątkiem 1, nazywane są złożonymi. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11 i wszystkie inne, które nie mają dzielników innych niż 1 i siebie.
Jeśli chodzi o numer 1, to jest on na specjalnym koncie - istnieje zgoda, że nie należy go traktować jako prostego ani złożonego. Na pierwszy rzut oka prosta, prosta liczba kryje w sobie wiele nierozwiązanych tajemnic.
Twierdzenie Euklidesa mówi, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych, a Eratostenes wynalazł specjalne „sito” arytmetyczne, które eliminuje liczby inne niż pierwsze, pozostawiając tylko proste.
Jego istotą jest podkreślenie pierwszej nie przekreślonej liczby, a następnie wykreślenie tych, które są jej wielokrotnościami. Powtarzamy tę procedurę wiele razy - i otrzymujemy tablicę liczb pierwszych.
Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki
Wśród obserwacji dotyczących liczb pierwszych w szczególny sposób należy wspomnieć o podstawowym twierdzeniu arytmetyki.
Podstawowe twierdzenie arytmetyki mówi, że każda liczba całkowita większa niż 1 jest albo liczbą pierwszą, albo można ją rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych aż do rzędu czynników i w unikalny sposób.
Główne twierdzenie o arytmetyce okazało się dość kłopotliwe, a zrozumienie go nie wygląda już jak najprostsze podstawy.
Na pierwszy rzut oka liczby pierwsze są podstawowym pojęciem, ale tak nie jest. Fizyka też kiedyś uważała atom za elementarny, dopóki nie znalazła w nim całego wszechświata. Wspaniała historia matematyka Don Tzagira „Pierwsze pięćdziesiąt milionów liczb pierwszych” jest poświęcona liczbom pierwszym.
Od „trzech jabłek” do praw dedukcyjnych
To, co naprawdę można nazwać wzmocnionym fundamentem wszelkiej nauki, to prawa arytmetyki. Nawet w dzieciństwie każdy ma do czynienia z arytmetykami, studiując liczbę nóg i ramion lalek,liczba kostek, jabłek itp. W ten sposób uczymy się arytmetyki, która następnie przechodzi w bardziej złożone zasady.
Całe nasze życie zapoznaje nas z zasadami arytmetyki, które dla zwykłego człowieka stały się najbardziej użyteczne ze wszystkiego, co daje nauka. Nauka o liczbach to „arytmetyka-dziecko”, która wprowadza osobę w świat liczb w postaci liczb we wczesnym dzieciństwie.
Wyższa arytmetyka to nauka dedukcyjna, która bada prawa arytmetyki. Większość z nich znamy, chociaż możemy nie znać ich dokładnego sformułowania.
Prawo dodawania i mnożenia
Dwie dowolne liczby naturalne a i b można wyrazić jako sumę a+b, która również będzie liczbą naturalną. Następujące przepisy mają zastosowanie do dodatku:
- Przemienność, która mówi, że suma nie zmienia się po przekształceniu wyrazów, czyli a+b=b+a.
- Skojarzenie, które mówi, że suma nie zależy od sposobu, w jaki terminy są pogrupowane w miejscach, lub a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Zasady arytmetyki, takie jak dodawanie, należą do najbardziej elementarnych, ale są używane przez wszystkie nauki, nie wspominając o życiu codziennym.
Dwie dowolne liczby naturalne a i b można wyrazić jako iloczyn ab lub ab, który jest również liczbą naturalną. Do produktu mają zastosowanie te same prawa przemienne i asocjacyjne, co do dodawania:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Zastanawiam sięże istnieje prawo, które łączy dodawanie i mnożenie, zwane także prawem rozdzielczym lub rozdzielczym:
a(b+c)=ab+ac
To prawo faktycznie uczy nas pracy z nawiasami poprzez ich rozwinięcie, dzięki czemu możemy pracować z bardziej złożonymi formułami. Oto prawa, które poprowadzą nas przez dziwaczny i złożony świat algebry.
Prawo porządku arytmetycznego
Prawo porządku jest używane przez ludzką logikę każdego dnia, porównując zegarki i licząc banknoty. A mimo to musi być sformalizowany w postaci konkretnych sformułowań.
Jeśli mamy dwie liczby naturalne a i b, to możliwe są następujące opcje:
- a równa się b lub a=b;
- a jest mniejsze niż b lub a < b;
- a jest większe niż b lub a > b.
Spośród trzech opcji tylko jedna może być uczciwa. Podstawowe prawo rządzące porządkiem mówi: jeśli a < b i b < c, to a< c.
Istnieją również prawa odnoszące się do mnożenia i dodawania: jeśli a< jest b, to a + c < b+c i ac< bc.
Prawa arytmetyki uczą nas pracować z liczbami, znakami i nawiasami, zmieniając wszystko w harmonijną symfonię liczb.
Rachunek różniczkowy pozycyjny i niepozycyjny
Można powiedzieć, że liczby to język matematyczny, od którego wygody wiele zależy. Istnieje wiele systemów liczbowych, które, podobnie jak alfabety różnych języków, różnią się od siebie.
Rozważmy systemy liczbowe z punktu widzenia wpływu pozycji na wartość ilościowąliczby w tej pozycji. Na przykład system rzymski jest niepozycyjny, gdzie każda liczba jest zakodowana przez pewien zestaw znaków specjalnych: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Są one odpowiednio równe liczbom 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. W takim systemie liczba nie zmienia swojej definicji ilościowej w zależności od tego, na jakiej pozycji się znajduje: pierwsza, druga itd. Aby uzyskać inne liczby, musisz dodać podstawowe. Na przykład:
- DCC=700.
- CCM=800.
System liczbowy, który jest nam bardziej znany przy użyciu cyfr arabskich, jest pozycyjny. W takim systemie cyfra liczby określa liczbę cyfr, na przykład liczby trzycyfrowe: 333, 567 itd. Waga dowolnej cyfry zależy od pozycji, w której znajduje się ta lub inna cyfra, np. liczba 8 na drugiej pozycji ma wartość 80. Jest to typowe dla systemu dziesiętnego, istnieją inne systemy pozycyjne, np., binarny.
Arytmetyka binarna
Znamy system dziesiętny, składający się z liczb jednocyfrowych i wielocyfrowych. Liczba po lewej stronie liczby wielocyfrowej jest dziesięciokrotnie ważniejsza niż liczba po prawej. Tak więc jesteśmy przyzwyczajeni do czytania 2, 17, 467 itd. Sekcja o nazwie „arytmetyka binarna” ma zupełnie inną logikę i podejście. Nie jest to zaskakujące, ponieważ arytmetyka binarna została stworzona nie dla ludzkiej logiki, ale dla logiki komputerowej. Jeśli arytmetyka liczb pochodzi z liczenia obiektów, które zostały następnie wyabstrahowane z właściwości obiektu do „czystej” arytmetyki, to nie będzie działać z komputerem. Aby móc się dzielićznając komputer, człowiek musiał wymyślić taki model rachunku różniczkowego.
Arytmetyka binarna działa z alfabetem binarnym, który składa się tylko z 0 i 1. A użycie tego alfabetu nazywa się systemem binarnym.
Różnica między arytmetyką binarną a arytmetyką dziesiętną polega na tym, że znaczenie pozycji po lewej stronie nie jest już 10, ale 2 razy. Liczby binarne mają postać 111, 1001 itd. Jak rozumieć takie liczby? Rozważmy więc liczbę 1100:
- Pierwsza cyfra po lewej to 18=8, pamiętając, że czwarta cyfra, co oznacza, że należy ją pomnożyć przez 2, otrzymujemy pozycję 8.
- Druga cyfra 14=4 (pozycja 4).
- Trzecia cyfra 02=0 (pozycja 2).
- Czwarta cyfra 01=0 (pozycja 1).
- Więc nasza liczba to 1100=8+4+0+0=12.
Oznacza to, że po przejściu do nowej cyfry po lewej stronie jej znaczenie w systemie dwójkowym jest mnożone przez 2, a w systemie dziesiętnym przez 10. Taki system ma jeden minus: jest to zbyt duży wzrost cyfry potrzebne do pisania liczb. Przykłady przedstawiania liczb dziesiętnych jako liczb binarnych można znaleźć w poniższej tabeli.
Liczby dziesiętne w formie binarnej są pokazane poniżej.
Wykorzystywane są również systemy ósemkowe i szesnastkowe.
Ta tajemnicza arytmetyka
Co to jest arytmetyka, „dwa razy dwa” lub niezbadane tajemnice liczb? Jak widać, arytmetyka na pierwszy rzut oka może wydawać się prosta, ale jej nieoczywista łatwość jest zwodnicza. Mogą go również studiować dzieci wraz z ciocią Sową zkreskówka "Arytmetyka-dziecko" i możesz zanurzyć się w głęboko naukowych badaniach o prawie filozoficznym porządku. W historii przeszła od liczenia przedmiotów do kultu piękna liczb. Tylko jedno jest pewne: wraz z ustaleniem podstawowych postulatów arytmetyki, cała nauka może polegać na swoim mocnym ramieniu.
