Seria Maclaurin i rozszerzenie niektórych funkcji

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Studenci matematyki wyższej powinni mieć świadomość, że suma pewnych szeregów potęgowych należących do przedziału zbieżności danego szeregu okazuje się funkcją ciągłą i nieograniczoną liczbę razy różniczkowaną. Powstaje pytanie: czy można stwierdzić, że dana arbitralna funkcja f(x) jest sumą pewnego szeregu potęgowego? To znaczy, w jakich warunkach funkcja f(x) może być reprezentowana przez szereg potęgowy? Znaczenie tego pytania polega na tym, że możliwe jest w przybliżeniu zastąpienie funkcji f(x) sumą kilku pierwszych wyrazów szeregu potęgowego, czyli wielomianem. Takie zastąpienie funkcji dość prostym wyrażeniem - wielomianem - jest również wygodne przy rozwiązywaniu niektórych problemów analizy matematycznej, a mianowicie: przy rozwiązywaniu całek, przy obliczaniu równań różniczkowych itp.

Udowodniono, że dla pewnej funkcji f(х), w której pochodne do (n+1) rzędu, włączając w to ostatnią, można obliczyć w sąsiedztwie (α _{- R; x}0 _{+ R) pewnego punktu x=α wzór jest poprawny:}

Ta formuła została nazwana na cześć słynnego naukowca Brooka Taylora. Seria uzyskana z poprzedniej nazywa się serią Maclaurina:

Zasada, która umożliwia rozszerzenie w serii Maclaurina:

1. Określ pochodne pierwszego, drugiego, trzeciego… rzędu.
2. Oblicz, ile pochodne przy x=0 są równe.
3. Zapisz szereg Maclaurina dla tej funkcji, a następnie określ przedział jego zbieżności.
4. Określ przedział (-R;R), w którym pozostała część wzoru Maclaurina

R (x) -> 0 dla n -> nieskończoności. Jeśli taki istnieje, funkcja f(x) w nim musi pokrywać się z sumą szeregu Maclaurina.

Teraz rozważ serię Maclaurin dla poszczególnych funkcji.

1. Tak więc pierwszy będzie f(x)=e^x. Oczywiście, zgodnie z jej cechami, taka funkcja ma pochodne różnych rzędów, a f^(k)(x)=e^x, gdzie k jest równe wszystkim liczby naturalne. Podstawmy x=0. Otrzymujemy f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{wyglądałoby tak:}

2. Szereg Maclaurina dla funkcji f(x)=sin x. Natychmiast wyjaśnij, że funkcja dla wszystkich niewiadomych będzie miała pochodne, oprócz f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), gdzie k jest równe dowolnej liczbie naturalnej. Oznacza to, że po wykonaniu prostych obliczeń możemy dojść do wniosku, że szereg dla f(x)=sin x będzie wyglądał następująco:}

3. Teraz spróbujmy rozważyć funkcję f(x)=cos x. Ona jest dla wszystkich nieznanychma pochodne dowolnego rzędu, a |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Ponownie, po wykonaniu pewnych obliczeń, otrzymujemy, że szereg dla f(x)=cos x będzie wyglądał tak:

Tak więc wymieniliśmy najważniejsze funkcje, które można rozszerzyć w szeregu Maclaurina, ale dla niektórych funkcji są one uzupełniane szeregiem Taylora. Teraz je wymienimy. Warto również zauważyć, że szeregi Taylora i Maclaurina są ważną częścią praktyki rozwiązywania szeregów w matematyce wyższej. A więc seria Taylora.

1. Pierwszym będzie szereg dla f-ii f(x)=ln(1+x). Podobnie jak w poprzednich przykładach, mając f (x)=ln (1 + x), możemy dodać szereg używając ogólnej postaci szeregu Maclaurina. jednak dla tej funkcji serię Maclaurin można uzyskać znacznie prościej. Po scałkowaniu pewnego szeregu geometrycznego otrzymujemy szereg dla f(x)=ln(1+x) tej próbki:

2. A druga, która będzie ostateczna w naszym artykule, będzie serią dla f (x) u003d arctg x. Dla x należącego do przedziału [-1;1], interpretacja jest prawidłowa:

To wszystko. W tym artykule przeanalizowano najczęściej używane szeregi Taylora i Maclaurina w matematyce wyższej, w szczególności na uniwersytetach ekonomicznych i technicznych.