Jak obliczyć powierzchnię piramidy: podstawę, bok i pełną?

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Przygotowując się do egzaminu z matematyki, uczniowie muszą usystematyzować swoją wiedzę z algebry i geometrii. Chciałbym połączyć wszystkie znane informacje, na przykład jak obliczyć powierzchnię piramidy. Co więcej, począwszy od podstawy i ścian bocznych po całą powierzchnię. Jeśli sytuacja jest jasna w przypadku ścian bocznych, ponieważ są to trójkąty, podstawa jest zawsze inna.

Jak znaleźć obszar podstawy piramidy?

Może mieć absolutnie dowolny kształt: od dowolnego trójkąta do n-kąta. A ta podstawa, oprócz różnicy w liczbie kątów, może być liczbą zwykłą lub nieprawidłową. W zadaniach USE interesujących dzieci w wieku szkolnym u podstawy znajdują się tylko zadania z prawidłowymi liczbami. Dlatego porozmawiamy tylko o nich.

Regularny trójkąt

To jest równoboczne. Taki, w którym wszystkie boki są równe i oznaczone literą „a”. W tym przypadku powierzchnia podstawy piramidy jest obliczana według wzoru:

S=(a2√3) / 4.

Kwadrat

Formuła obliczania jego powierzchni jest najprostsza,tutaj „a” jest znowu stroną:

S=a2.

Dowolny regularny n-kąt

Bok wielokąta ma to samo oznaczenie. Jako liczbę rogów stosuje się łacińską literę n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Jak obliczyć powierzchnię boczną i całkowitą?

Ponieważ podstawa jest regularną figurą, wszystkie boki piramidy są równe. Co więcej, każdy z nich jest trójkątem równoramiennym, ponieważ krawędzie boczne są równe. Następnie, aby obliczyć boczną powierzchnię piramidy, potrzebujesz wzoru składającego się z sumy identycznych jednomianów. Liczba terminów zależy od liczby boków podstawy.

Powierzchnia trójkąta równoramiennego jest obliczana według wzoru, w którym połowa iloczynu podstawy jest mnożona przez wysokość. Ta wysokość w piramidzie nazywa się apotem. Jego oznaczenie to „A”. Ogólny wzór na powierzchnię boczną to:

S=½ PA, gdzie P jest obwodem podstawy piramidy.

Są sytuacje, w których boki podstawy nie są znane, ale podane są krawędzie boczne (c) i kąt płaski w jej wierzchołku (α). Następnie należy użyć tego wzoru do obliczenia powierzchni bocznej piramidy:

S=n/2in2 sin α.

Problem 1

Warunek. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy, jeśli jej podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 4 cm, a apotem ma √3 cm.

Decyzja. JegoMusisz zacząć od obliczenia obwodu bazy. Ponieważ jest to trójkąt regularny, to P \u003d 34 \u003d 12 cm Ponieważ apotem jest znany, możesz natychmiast obliczyć pole całej powierzchni bocznej: ½12√3=6 √3 cm 2.

Dla trójkąta u podstawy otrzymasz następującą wartość pola: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Aby określić całkowitą powierzchnię, musisz dodać dwie wynikowe wartości: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Odpowiedź. 10√3cm2.

Problem 2

Warunek. Istnieje regularna czworokątna piramida. Długość boku podstawy 7 mm, krawędź boczna 16 mm. Musisz znać jego powierzchnię.

Decyzja. Ponieważ wielościan jest czworokątny i regularny, jego podstawa jest kwadratem. Po poznaniu obszarów podstawy i ścian bocznych możliwe będzie obliczenie obszaru piramidy. Wzór na kwadrat podano powyżej. A na bocznych ścianach znane są wszystkie boki trójkąta. Dlatego możesz użyć wzoru Herona do obliczenia ich powierzchni.

Pierwsze obliczenia są proste i prowadzą do tej liczby: 49 mm². Dla drugiej wartości musisz obliczyć półobwód: (7 + 162): 2=19,5 mm. Teraz możesz obliczyć powierzchnię trójkąta równoramiennego: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 mm ^{2. Istnieją tylko cztery takie trójkąty, więc obliczając ostateczną liczbę, musisz ją pomnożyć przez 4.}

Okazuje się: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Odpowiedź. Wartość pożądana 267, 576mm2.

Problem 3

Warunek. W przypadku zwykłej piramidy czworokątnej musisz obliczyć powierzchnię. Zna bok kwadratu - 6 cm i wysokość - 4 cm.

Decyzja. Najprostszym sposobem jest użycie wzoru z iloczynem obwodu i apotem. Pierwsza wartość jest łatwa do znalezienia. Drugi jest trochę trudniejszy.

Będziemy musieli zapamiętać twierdzenie Pitagorasa i rozważyć trójkąt prostokątny. Tworzy ją wysokość piramidy i apotem, czyli przeciwprostokątna. Druga noga jest równa połowie boku kwadratu, ponieważ wysokość wielościanu przypada na jego środek.

Pożądany apotem (przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego) to √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Teraz możesz obliczyć wymaganą wartość: ½(46)5+6²=96 (patrz^2).

Odpowiedź. 96 cm2.

Problem 4

Warunek. Biorąc pod uwagę regularną sześciokątną piramidę. Boki jego podstawy mają 22 mm, boczne żebra 61 mm. Jaka jest powierzchnia boczna tego wielościanu?

Decyzja. Rozumowanie w nim jest takie samo, jak opisane w zadaniu nr 2. Tylko tam została podana piramida z kwadratem u podstawy, a teraz jest to sześciokąt.

Po pierwsze, powierzchnia podstawy obliczana jest według powyższego wzoru: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Teraz musisz znaleźć półobwód trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm Pozostaje obliczyć powierzchnię każdego takiegotrójkąt, a następnie pomnóż go przez sześć i dodaj do tego, który okazał się dla bazy.

Obliczanie według wzoru Herona: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm^{2. Obliczenia, które dadzą pole powierzchni bocznej: 6606=3960 cm}2^{. Pozostaje je dodać, aby poznać całą powierzchnię: 5217, 47≈5217 cm}2^.

Odpowiedź. Podstawa - 726√3cm², powierzchnia boczna - 3960cm², powierzchnia całkowita - 5217cm^2.